Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

42

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1979

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán và Cơ học)

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
   $$f(x) - af'(x) = 0,$$
   nếu $f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$, $a$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ là số thực ($x_1 < x_2 < x_3 < x_4$)?
2. Giải phương trình (tại $a \in \mathbb{R}$)
   $$\log_a(1-8a^{-x}) \geq 2(1-x).$$
3. Giải phương trình (tại $a \in \mathbb{R}$)
   $$a \cdot \sin x + \mathrm{tg} x + 1 = \frac{1}{\cos x}.$$
4. Một đường tròn bán kính $R$ nội tiếp đường cong đều $ABCD$; $K$ là giao điểm của đồ thị đường chéo, $[AB]$ là cơ sở chính của nó, $KBA = a$. Tìm bán kính của đường tròn tiếp xúc với đường tròn đã cho và các đoạn chéo $[KB]$, $[KC]$.
5. Các điểm $M, N, P, Q$ được đặt trong không gian sao cho $(MN) \perp (PQ)$, $(MP) \perp (NQ)$. Chứng minh điều đó và $(MQ) \perp (NP)$.

Tùy chọn 2
(Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển)

1. Với $a (a \in [0; 1])$ diện tích hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = f(x)$ và các đường thẳng $x = 0, x = 1, y = f(a)$ có ​​nhiều giá trị nhất và nhiều nhất, nếu $f(x) = x^a + 3x^\beta$, $a, \beta$ là số thực và $a > 1$, $\beta > 1$?
2. Đối với $a (a \in \mathbb{R})$ bất kỳ phương trình lời giải nào
   $$\log_3(x^2 - 3x + 7) / \log_3(3x + 2) < 1$$
   cũng sẽ là nghiệm của bất đẳng thức $x^2 + (5-2a)x \leq 10a$?
3. Giải phương trình (tại $a \in \mathbb{R}$)
   $$(8a^2 + 1) \sin^3 x - (4a^2 + 1) \sin x + 2a \cdot \cos^3 x = 0.$$
4. Độ dài hai chân của một tam giác vuông là $a$ và $b$, độ dài các bisserris của một góc vuông là $l$. Có đúng là $l \leq \sqrt{\frac{ab}{2}}$ không?
5. Quả cầu đi qua tâm của một quả cầu nội tiếp một tam giác đều và chạm vào ba cạnh của tam giác xuất phát từ cùng một đỉnh. Tìm bán kính của hình cầu nếu độ dài cạnh của tam giác là $a$.

Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

1. Chiều rộng của sông là $a$ m, tốc độ dòng chảy của nó là $w$ m/giây, tốc độ của người bơi trong nước tĩnh là $v$ m/giây ($v < w$) và tốc độ di chuyển của người đó trên cạn là $u$ m/giây. Trong thời gian ngắn nhất một người bơi có thể đến được điểm nằm ở bờ đối diện nơi anh ta bắt đầu vượt biển? Giả sử rằng trong nước người bơi không thay đổi chuyển động mà anh ta đã chọn khi bắt đầu băng qua và vectơ vận tốc của dòng sông song song với bờ sông, được coi là thẳng.
2. Đối với $a (a \in \mathbb{R})$ thì điểm $(a; a^2)$ nằm bên trong tam giác giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = f(x)$ và các đường $x = 0, x = 1, y = f(a)$ có nhiều giá trị nhất và nhiều nhất, nếu $f(x) = x^a + 3x^\beta$, $a, \beta$ là số thực và $a > 1$, $\beta > 1$?
3. Giải phương trình
   $$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 + \sin 4x.$$
4. Tìm $\lim_{n \to \infty} x_n$ nếu
   $$x_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$$
5. Ba vòng tròn lớn có cùng bán kính $R$ chạm vào nhau theo cặp. Ba vòng tròn nhỏ có cùng bán kính và tiếp xúc nhau theo từng cặp. Tìm bán kính của một đường tròn nhỏ nếu mỗi đường tròn nhỏ cũng tiếp xúc với hai đường tròn lớn.

A. Ponomarenko