Phương trình bất thường

61

Khoảng cách giữa hai ô (khác nhau) bất kỳ trong không gian này là 1 hoặc 2.

Trong Hình 2, các quả bóng có bán kính 1 có sẵn trong không gian này được hiển thị bằng màu xanh lá cây. Toàn bộ bảng là một quả bóng có bán kính 2 với tâm ở bất kỳ ô nào (nhân tiện, nó cũng có thể được coi là một quả bóng có bán kính bất kỳ $r > 2!$).

Ví dụ 2. Hãy xác định khoảng cách giữa các số thực $x, y$ như sau (Hình 3):

$$\rho(x, y) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2}, & \text{ если } x \neq y, \\ 0, & \text{ если } x = y. \end{cases}$$

Dễ dàng kiểm tra được rằng tất cả các tiên đề khoảng cách đều được thỏa mãn. Trong không gian này, quả cầu có tâm 0 bán kính $r$ là đoạn $[-r; r]$. Đối với $a \neq 0$, một quả bóng có tâm $a$ bán kính $r > |a|$ được cấu tạo như trong Hình 4. Do đó, đối với $a \neq 0$, một quả bóng có tâm $a$ bán kính $r > a\sqrt{2}$ có tâm bên trong chính nó (Hình 5), đối với $r = |a|\sqrt{2}$ tâm nằm trên đường biên của quả bóng (Hình 6), đối với $|a| < r < |a|\sqrt{2}$ tâm nằm bên ngoài quả bóng (Hình 7). Tại $r = |a|$ quả bóng gồm hai điểm: 0 và $a$; cuối cùng, đối với $0 < r < |a|$ quả bóng chỉ bao gồm chính điểm $a$ (do đó, mỗi điểm $a \neq 0$ “riêng” là một quả bóng). Trong không gian này có một dãy bóng “tăng dần”

$$K_1 \subset K_2 \subset K_3 \subset \dots$$

($K_{n+1} \neq K_n$) với trình tự giảm dần

$$|O_2B| < |O_1A|$$

$$r_1 > r_2 > r_3 > \dots$$

M. Ashkalova

Phương trình bất thường

Chúng ta hãy định nghĩa tổng của tập hợp số $A$ với số $b$ là tập hợp các số có dạng $a + b$, trong đó $a \in A$. Các bộ $A - b$, $A \cdot b$, $A:b$ được xác định tương tự. Ví dụ:

$$\{1, 5, 10\} + 3 = \{4, 8, 13\},$$

$$\{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}: 2 = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}.$$

Bây giờ chúng ta có thể viết “phương trình với một tập hợp”, phương trình trong đó các giá trị “tìm kiếm” của một biến là các tập hợp số. Ví dụ, dễ dàng thấy tập hợp số là nghiệm của phương trình

$$X + 2 = X,$$

(1)

và tập hợp số $2^p(p \in \mathbb{Z})$ là nghiệm của phương trình

$$X \cdot 2 = X.$$

Nhân tiện, mỗi “phương trình bậc một với một biến” này có vô số nghiệm. Phương trình (1) bằng muối của phương trình $X - 2 = X$ và phương trình (2) bằng phương trình $X:2 = X$.

Bây giờ chúng ta định nghĩa bình phương của một tập hợp số như sau:

$$A^2 = \{a^2 | a \in A\}.$$

Bây giờ bạn có thể soạn và giải các phương trình “bậc hai”. phương trình

$$X^2 = X$$

lại có vô số nghiệm (tập $\{..., \sqrt{2}, \sqrt{2}, 2, 4, 16, \dots\}$ là một trong các nghiệm của nó) và phương trình

$$X^2 + 1 = X$$

không có gốc*). (Điều này có thể dễ dàng suy ra từ thực tế là nếu $A$ là nghiệm của nó và $a \in A$ thì $\sqrt{a-1} \in A$.) (Người nói nói rằng cô ấy không biết tại sao $a, b, c$ phương trình $aX^2 + c = X \cdot b$ có nghiệm.)

H. Golitsidze

*) Ngoại trừ tập trống. (Ghi chú của biên tập viên)