Hãy nhân các phương trình

62

Hãy nhân các phương trình

Các học giả cổ điển biết rằng phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng $y = kx + b$. Có thể định nghĩa hai hoặc ba số nguyên tố bằng một phương trình không?

Đặt phương trình của dòng đầu tiên là $y = k_1x + b_1$, phương trình thứ hai $y = k_2x + b_2$. Chúng ta hãy giao nhau tất cả các số hạng ở vế trái trong cả hai phương trình: $y = k_1x - b_1 = 0$ và $y = k_2x - b_2 = 0$. Bây giờ hãy đánh đồng tích của vế trái bằng 0:

$$(y - k_1x - b_1)(y - k_2x - b_2) = 0.$$

(1)

Rõ ràng là phương trình (1) sẽ được thỏa mãn nếu có ít nhất một thừa số bằng 0. Các điểm thuộc dòng gốc thứ nhất và thứ hai được giảm về 0 theo hệ số thứ nhất, sau đó là hệ số thứ hai. Sau khi mở ngoặc, chúng ta đi đến một thực tế nổi tiếng là trong trường hợp một phần, phương trình bậc hai có thể chỉ ra hai đường thẳng song song hoặc hai đường cắt nhau.

Theo cách tương tự, bạn có thể giải được ba hoặc bốn phương trình. Ví dụ: bạn có thể cân bằng phương trình của hai đường tròn hoặc đường thẳng và đường tròn:

$$(y - kx - b)((x - a)^2 + (y - c)^2 - R^2) = 0$$

(2)

(ở đây $a$ và $c$ là tọa độ tâm hình tròn, $R$ là bán kính của hình tròn). Phương trình (2) chỉ định một đường cong thứ tự tertbero “chia” thành một đường thẳng và một đường tròn. Bằng cách chọn các hệ số tương ứng, bạn có thể đảm bảo rằng các số liệu này tiếp xúc hoặc giao nhau.

Bằng cách nhân các phương trình của các đường khác, có thể hình thành các tổ hợp phức tạp hơn.

Bây giờ chúng ta có một số phương trình được cho bởi một đường - đơn giản hoặc bao gồm một số thành phần. Nếu chúng ta thay đổi một chút trong các hệ số trong phương trình, chúng ta sẽ thu được các vật thể gần giống nhau về mặt hình học. Do đó, bằng cách thay đổi tham số $b$ trong phương trình của đường thẳng, chúng ta thu được một đường thẳng song song với nó và gần với nó. Bây giờ chúng ta hãy thử các phương trình thu được bằng cách nhân các phương trình đơn giản hơn, thay thế các giá trị nhỏ - dương và âm - cùng với các số 0 ở vế phải. Kết quả là, chúng ta sẽ thu được các họ dòng dần dần rời xa các họ ban đầu (khi giá trị abscille của giá trị ở phía bên phải tăng lên) và nằm ở “phía” này hoặc “phía” khác của chúng tùy thuộc vào dấu của phép cộng.

Nếu chúng ta thực hiện thao tác được chỉ định với phương trình (1) của hai đường thẳng giao nhau, chúng ta thu được các hyperbol mà các đường thẳng ban đầu là đường tiệm cận.

Hình 1.

Hình 2.

Sử dụng đồ thị hyperbol để trợ giúp, chúng ta hãy xây dựng các đường cong theo cách này dựa trên phương trình (2), được cho bởi đường tròn giao nhau và đường thẳng. Trong Hình 1 cho thấy các đường cong tương ứng với các “chất phụ gia” dương có màu đỏ và các đường cong âm có màu xanh lam. Tất cả đều không có điểm đặc biệt.

Từ một họ đường trên một mặt phẳng, không khó để xây dựng một bề mặt trong không gian - bạn chỉ cần nhập tọa độ thứ ba (z) cùng với “tham số họ” (tức là “phụ gia” của chúng ta). Hãy thử tưởng tượng hình dạng của một bề mặt được xây dựng bằng cách sử dụng họ như trong Hình 1!

Hình vẽ cho thấy ba vòng tròn này nằm trong mặt phẳng $z = \text{const} = 0$, nhưng không được hiển thị trong hình. Bản thân bề mặt được thể hiện bằng các đường thẳng và một phần của mặt phẳng $y = \text{const}$. Điều tò mò là tại những điểm giao nhau của các vòng tròn, bề mặt lại nhẵn.

Thay vì z, bạn có thể thay thế $z^2, -z^2, \text{или } z^n, -z^n$ ở vế phải của phương trình. Hãy nghĩ xem bề mặt trong Hình 2 sẽ có hình dạng như thế nào nếu có $z^2$ ở phía bên phải.

Trang thứ tư của trang bìa cho thấy một bề mặt khá gần đạt được bằng cách thay biểu thức $A - z^2$ vào vế phải của cùng một phương trình, trong đó $A$ là một hằng số nào đó. (Cả phần nhìn thấy được và phần vô hình của các đường giao nhau của các đường thẳng đứng của mặt phẳng đều được mô tả trên bề mặt, nhưng các đường nối giữa các phần nhìn thấy liền kề của các đường thẳng được tô màu). Thay đổi $A$, bạn có thể có được các bề mặt hơi khác nhau - không có “lỗ” hoặc chia thành ba thành phần riêng biệt. Cấu hình của bề mặt cũng thay đổi tùy thuộc vào vị trí tương đối của các vòng tròn ban đầu.

Những vấn đề tương tự đã được thảo luận trong bài “Hình bầu dục, đỉnh, hai hình bầu dục” («Kvant», 1979, số 8).