Bài toán M696—M700; F708—F712

38

Bài toán

M696—M700; F708—F712

M696. Có thể điền vào một bảng 10×10 ô với 100 số tự nhiên khác nhau sao cho với bất kỳ ô vuông $k \times k$ ($2 \leq k \leq 10$) a) tổng, b) tích của các số $k$ trên các đường chéo của nó bằng nhau không?

A. Balinsky

M697. Dựa vào đáy của một hình chữ nhật, chúng ta hãy xác định tỷ lệ giữa cạnh nhỏ và cạnh lớn hơn (bụng của hình vuông bằng 1). Chứng minh rằng, nếu cắt một hình vuông thành các hình chữ nhật thì tổng các bụng của chúng ít nhất bằng 1.

S. Fomin

M698. Trên các cạnh $a, b, c, d$ của một tứ giác nội tiếp “hướng ra ngoài” trong một hình tròn, người ta dựng các hình chữ nhật có kích thước $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Chứng minh rằng tâm của các hình chữ nhật này là các đỉnh của hình bình hành $a$), $b$) của hình chữ nhật.

O. Penkin

M699*. Một hình bán nguyệt có đường kính $AB$ được cắt bởi một đoạn $CD$ vuông góc với $AB$ thành hai tam giác cong $ACD$ và $BCD$, trong đó các đường tròn tiếp xúc với $AB$ nội tiếp tại các điểm $E$ và $F$ (Hình 1). Chứng minh rằng $|AD| = |AF|$, $|DF|$ là bissertis của góc $BDC$ thì giá trị của góc $EDF$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $C$ trên $AB$.

B. Người gửi

M700*. Có thể chia tập hợp tất cả các phân số thập phân hữu hạn thành $a$) hai, $6$) ba lớp sao cho hai số có hiệu $10^m$ (không có số nguyên $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$) không rơi vào một lớp?

A. Leiderman

F708. Để nghiên cứu các tính chất của điện trở tuyến tính, một số thí nghiệm đã được thực hiện. Đầu tiên, sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ đã được nghiên cứu. Khi nhiệt độ tăng lên giá trị $t_1 = 100^\circ C$, điện trở ngay lập tức tăng từ giá trị $R_1 = 50$ Ohm lên giá trị $R_2 = 100$ Ohm; khi làm mát

39

denim, bước nhảy ngược xảy ra ở nhiệt độ $t_2 = 99^\circ\text{C}$ (Hình 2).
Trong thí nghiệm thứ hai, một điện áp không đổi $U_1 = 60\text{ В}$ được đặt vào điện trở, tại đó nhiệt độ của nó bằng $t_3 = 80^\circ\text{C}$.
Cuối cùng, khi đặt một điện áp không đổi $U_2 = 80\text{ В}$ vào điện trở, dòng điện tự phát xuất hiện trong mạch. Xác định chu kỳ của các dao động này và giá trị dòng điện lớn nhất. Nhiệt độ không khí trong phòng thí nghiệm không đổi và bằng $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Sự truyền nhiệt từ điện trở tỷ lệ thuận với sự chênh lệch giữa nhiệt độ và không khí xung quanh. Nhiệt dung của điện trở $c = 3\text{ Дж}/\text{К}$. (9)

A. Buzdin

F709. Mạch như hình 3 đã được lắp ráp. Emf của pin $\varepsilon_1$ giảm 1,5 V, sau đó dòng điện trong các phần khác nhau của mạch thay đổi. Bạn cần thay đổi sức điện động của pin $\varepsilon_2$ như thế nào để

1. Dòng điện qua pin $\varepsilon_1$ có trở lại bình thường không?
2. Dòng điện qua pin $\varepsilon_2$ có trở lại bình thường không?
   Bỏ qua điện trở trong của pin.

A. Zilberman

F710. Khi quan sát một giọt nước trong vùng vượt quá giới hạn, hạt này tăng kích thước, hấp thụ những giọt nhỏ nhất gặp trên đường đi của nó, người ta thấy rằng giọt nước đó luôn chuyển động với gia tốc không đổi. Xác định gia tốc này, coi kích thước giọt ban đầu là nhỏ. Bỏ qua sức cản của không khí trong quá trình thả rơi.

A. Stasenko

F711. Bảng này trình bày số liệu thực nghiệm về nhiệt dung và khối lượng mol của một số chất rắn. Dựa trên những dữ liệu này, hãy thiết lập một mô hình vật lý tân hướng và điền vào ba ô trống của bảng. Độ chính xác ước tính của dự đoán của bạn là bao nhiêu (tính bằng phần trăm)? Hằng số khí phổ quát $R = 8,31\text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$. (9)

E. Surkov

Bàn

| | Bạc | Alominey | Vàng | Bismut | coban | đồng | Sắt | Liti | Magie | Niken | Bạch kim | Titan | Vanadi |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, J/(g K) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | | 0,43 | 0,131 | | 0,484 |
| A, g/mol | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |