"Toán học" - 10 năm

49

Trong trường hợp này, bài toán rất dễ giải quyết.

Tuy nhiên, mọi thứ có thể xảy ra khác nhau. Ví dụ, chúng ta có thể nén chặt cát vào cơ thể, thêm “kẹt” cát khi không rung lắc nhiều sẽ giúp ích - lực ép lên tường có thể lớn hơn nhiều lần.

Nếu chúng ta đổ cát từ từ và cẩn thận, theo hình nón, sau đó cẩn thận lấp đầy các cạnh và cẩn thận tránh rung lắc, thì lực ép có thể nhỏ hơn đáng kể so với trường hợp “thủy tĩnh”. Nói chung, không xác định tĩnh bài toán có một tập hợp đúng (và tất nhiên là không phải trên cùng) lời giải.

Việc lựa chọn mô hình hợp lý có thể giảm bớt đáng kể vấn đề lời giải serbez khi thực hiện trong “Toán học - 80”.

1. Một tờ giấy có diện tích 60 cm2 được phủ ba vết màu nhiều màu có diện tích 30 cm2. Chứng minh rằng có hai ô có tổng diện tích ít nhất là 10 cm2.

2. Nhà ảo thuật mời bạn viết ra một số có ba chữ số bất kỳ. Sau đó, anh ta tiến lên và nhìn vào số được viết, ngay lập tức cộng ba chữ số để số có sáu chữ số chia hết cho 37. Anh ta làm điều này như thế nào?

3. Tìm tất cả các cặp số nguyên có tổng bằng tích của chúng.

4. Số năm của một người nào đó vào năm 1962 bằng tổng các chữ số của năm sinh của người đó. Anh ấy sinh năm bao nhiêu?

5. Tìm giá trị cụ thể nhất của một số mà ba chữ số đầu tiên tạo thành một số đại diện cho một hình vuông hoàn hảo và ba chữ số cuối cùng tạo thành một số lập phương hoàn hảo.

6. Được biết, $x + 1/x$ là một số nguyên. Chứng minh rằng số $x^8 + 1/x^8$ cũng là số nguyên.

7. Người ta biết rằng $a + b + c < 0$ và phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực sự. Số $c$ có ​​dấu hiệu gì?

8. Được biết, $a, b, c$ là các số phân biệt và $a^3 + b^3 + pc + q = 0$; $c^3 + pc + q = 0$. Chứng minh rằng $a + b + c = 0$.

9. Cho một góc nhọn và một điểm $A$ bên trong góc đó. Vẽ một tam giác $ABC$ có chu vi tối thiểu, các đỉnh $B$ và $C$ nằm trên các cạnh của một góc đã cho.

10. Có ba loại góc trong một tứ giác. Chứng minh rằng đường chéo lớn hơn trong hai đường chéo của nó là đường chéo vẽ từ đỉnh của góc nhọn.

11. Điểm $M$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh tâm đường tròn đi qua điểm $A, M, C$ nằm trên phân giác của góc $B$.

12. Tại giá trị nào của $k$ thì các phương trình $x^3 + kx + 1 = 0$ và $x^4 + kx^2 + 1 = 0$ có ​​chung một nghiệm? Tìm gốc này.

13. Chứng minh rằng một số viết bằng 81 đơn vị thì chia hết cho 81.

14. Đối với $c$ thì phương trình $4x^3 - 3x = c$ có một, hai, ba nghiệm?

15. Chứng minh tính đúng của bất đẳng thức $(n \in N)$

$$\frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} > \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Yu. Lomakin, V. Gorbunova