«Математику» — 10 лет

49

В этом случае задачу легко решить.

Однако все может произходить иначе. Мы можем, например, плотно набить песок в кузов, добавясь «заклинивания» песчнок, когда уже никакая тряска не поможет — сила давления на стенку может при этом оказаться во много раз больше.

Если же мы насыпаем песок медленно и аккуратно, конусом, а потом осторожно заполняем края и тщательно избегаем тряски, то сила давления может оказаться существенно меньше, чем в «гидростатическом» случае. В обшем, статически неопределенные задачи имеют множество верных (и неверхых, разумется) решений.

Разумный выбор модели может очень облегчить решение серbezной проблемы, при проведению в «Математике — 80».

1. Лист бумаги плошадью 60 см² покрыт tremя разноцветными кляксами плошадью по 30 см². Доказать, что найдется две кляксы, у которых плошадь обещей части не меньше 10 см².

2. Фокусник предлагает вам записать любое трехначное число. Затем он подходит и, взглянув на написанное число, сразу приписывает три цифры так, что образовавшееся шестизначное число делится на 37. Как он это делает?

3. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

4. Число лет неокоторого человека в 1962 году равнялось сумме цифр его года рождения. В каком году он родился?

5. Найти наиболее частное значение числа, первый три цифры которого образуют число, представляющее точный квадрат, а последние три цифры — точный куб.

6. Известно, что $x + 1/x$ — целое число. Доказите, что тогда число $x^8 + 1/x^8$ — тоже целое.

7. Известно, что $a + b + c < 0$ и что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Какой знак имеет число $c$?

8. Известно, что $a, b, c$ — различные числа, причем $a^3 + b^3 + pc + q = 0$; $c^3 + pc + q = 0$. Доказать, что $a + b + c = 0$.

9. Дан острый угол и точка $A$ внутри него. Построить треугольник $ABC$ минимального перimetра, вершины $B$ и $C$ которого лежат на сторонах данного угла.

10. В четырехугольнике три типы угла. Доказать, что из двух его диагоналей больше является та, которая проведена из вершины острою угла.

11. Точка $M$ — центр кругла, вписанного в треугольник $ABC$. Доказать, что центр окружности, проходящей через точки $A, M, C$, лежит на биссеktrice угла $B$.

12. При каком значении $k$ уравнения $x^3 + kx + 1 = 0$ и $x^4 + kx^2 + 1 = 0$ имеет общий корень? Найти этот корень.

13. Доказать, что число, которое записывается 81 единицами, делится на 81.

14. При каких $c$ уравнение $4x^3 - 3x = c$ имеет один, два, три корня?

15. Доказать справедливость неравенства $(n \in N)$

$$\frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} > \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Ю. Ломакин, В. Горбунова