Геометрические задачи наших читателей

11

зано на рисунке 5, 2, где добавлено отражающие зеркало за вторым поляризатором, а верхний электрод имеет контур необходимой цифры. При padении сверху на этот циферблат свет свободно проходит до зеркала и отражается всюду, кроме участка, соответствующего цифре электроду (если цепь замкнута). На участкеже электрода свет, поглощаясь, не доходит до зеркала, и это место каждого темным — так появляется, скажем, черная цифра или буква на светлом фоне циферблатандикатора. На подобном принципе работают буквенно-цифровые индикаторы в часах, калькуляторх, электронных переводчиках, в качестве шкаал изменительных прибора и настройки, в разнообразных таблию и т. п. Добавка краситель в слой жидкого кристалла делает эти индикаторы цветными. Кроме того, жидкокристаллические устройства с большим числом точек-электродов и сложной электриной схемой управления могут служить в качестве телевизionных экранов (плоский телевизор без электринойлечевой трубки), преобразователь изображения (приборыочного видения), средств модуляции и сканирования светового луча в системах оптической связи, светолокации, оптической обработки информации в быстродействующих ЭВМ.

Нематические жидкости нашли широкое применение и в современном плане. Оказывается, полимерные нити, получаемые из хорошего ориентированного нематического растора полимерных молекул, приобретают огромную прочность. Это объясняет тем, что в таких нитях практические все молекулы хорошо «подогнены» друг к другу, то есть их главные оси паралельны между собой, а это многоократно усиливает межмолекулярное сцепление. Такие полимерные нити служат прекрасным средством прочнения самых ответственных узлов в механизмах, машинах и аэрокосмических конструкциях, работающих в экстремальных условиях, то есть при очень высоких температурах и нагрузках. Есть, однако, и другие типы жидкокристаллических структур и материалов, имеющие не менеешее значение, но мы поговорим о них в следующей статье.

Геометрические задачи
наших читателей

1. a) Докажите, что для любой точки N окружности, описанной около правильного треугольника ABC, разность между квадратом длины наибольшего из отрезков AN, BN, CN и произведением длины двух других из этих отрезков равна квадрату длины сторон треугольника.

6. Пусть длина сторон треугольника равна a, а длина наибольшего из упомянутых отрезков равна t. Чему равны длины двух других отрезков?
   A. Дупло

2. Треугольник ABC разбит медиана AA1, BB1, CC1 на шесть треугольников, в каждой из которых вписана окружность. Пусть r1, r2,…, r6 — радиус этих отрезков (рис. 1). Докажите, что

$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_4} + \frac{1}{r_5}.$$

P. Мазов

3. В треугольнике ABC величины угла C равна 120°. Пусть M — точка на стороне AB. Докажите, что отрезок CM является биссеектрисной угла C в том и только в том случае, когда

$$\frac{1}{|CM|} = \frac{1}{|AC|} + \frac{1}{|BC|}.$$

C. Сефибеков

4. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через середину M

Рис. 1

боковой стороны CD проведена прямая MO, пересекающая сторону AB в точке N. Пусть K — точка пересечения прямой AM с диагональю BD. Известно, что (BM) || (NK). Найдите отношение |AD|:|BC| (AD и BC — основания трапеции).

Э. Абдулаев

5. Внутри четырехугольника ABCD взяты точки P и R так, что (AP) || (CR), (DP) || (BR) и APD = 120° (рис. 2). Докажите, что если |RC| — |AP| = |DP| — |RB| = |DC| — |AB|, то четырехугольник ABCD — трапеция.

Ф. Кабдикairoв