Задачи М696—М700; Ф708—Ф712

38

Задачи

M696—M700; Ф708—Ф712

M696. Можно ли таблицу 10×10 клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \leq k \leq 10$) а) суммы, б) произведение $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

A. Балинский

M697. Изовем пузаостью прямогольника отношение его меньше стороны к большей (пузаостью квадрата равна 1). Доказите, что, как бы разрезать квадрат на прямогольники, сумма их пузаностей будет не меньше 1.

C. Фомин

M698. На сторонах $a, b, c, d$ вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямогольники размерами $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Доказите, что центры этих прямогольников являются вершинами $a$) параллелограмма, $b$) прямогольника.

O. Пенкин

M699*. Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перpendикулярным $AB$, на два кривойнейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которых вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$ (рис. 1). Доказите, что $|AD| = |AF|$, $|DF|$ — биссертиса угла $BDC$, величина угла $EDF$ не зависит от выбора точки $C$ на $AB$.

B. Сендеров

M700*. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разить на $a$) два, $6$) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$)?

A. Лейдерман

Ф708. Для исследования свойств линейного резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до значения $t_1 = 100^\circ C$ мгновенно происходит скачок сопротивления от величины $R_1 = 50$ Ом до величины $R_2 = 100$ Ом; при охлажд-

39

деними обратный скачок происходил при температуре $t_2 = 99^\circ\text{C}$ (рис. 2).
Во втором опите к резистору приложили постоянное напряжение $U_1 = 60\text{ В}$, при котором его температура оказалась равной $t_3 = 80^\circ\text{C}$.
Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_2 = 80\text{ В}$, в цепи возникли самопроизвольные колебания тока. Определите период этих колебаний, а также максимальное значение тока. Температура воздуха в лаборатории постоянная и равна $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температуры и окружающей воздуха. Теплоемкость резистора $c = 3\text{ Дж}/\text{К}$. (9)

А. Буздин

Ф709. Собранна схема, показанная на рисунке 3. ЭДС батареи $\varepsilon_1$ уменьшили на 1,5 В, после чего токи на различных участках цепи изменились. Как нужно изменить ЭДС батареи $\varepsilon_2$, чтобы

1. ток через батарею $\varepsilon_1$ стал прежим?
2. ток через батарею $\varepsilon_2$ стал прежим?
   Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.

А. Зильберман

Ф710. При наблюлении в области за пределем капли, которая увеличивается в размерах, поглощая мелчайшие капельки, встречающиеся на ее пути, было установлено, что капля движется все время с постояннымускорением. Определите этоускорение, считая начальной размер капли малым. Сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.

А. Стасенко

Ф711. В таблице приведены экспериментальные данные о теплоемкости и молярных массах неокотorbых твердых тел. На основании этих данных установить неокотropy физической закономерность и заполнить три пустые клеточки таблицы. Какова предполагаемая точность ваших предсказаний (в процентах)? Универсальная газовая постоянная $R = 8,31\text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$. (9)

Е. Сурков

Таблица

| | Серебро | Аломиней | Золото | Висмут | Кобальт | Медь | Железо | Литий | Магний | Никель | Платина | Титан | Ванадий |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, Дж/(г·К) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | | 0,43 | 0,131 | | 0,484 |
| А, г/моль | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |