Viện thủy lợi Moscow

45

Mátxcơva
thủy phân
viện

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tìm cosin của các góc tạo thành vectơ $\vec{a} = 6\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$ với các vectơ cơ sở.
2. Giải phương trình
   $$7 \cdot 10^{2x+3} - 5 \cdot 4^{2x+3} = 2 \cdot 25^{2x+3}.$$
3. Giải phương trình
   $$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \sin \frac{x}{2}.$$
4. Tiếp tuyến vẽ với parabol $y = x^2$ tại điểm $A(1; 1)$ quay quanh trục $Ox$. Tìm thể tích của vật thu được khi quay một đoạn tiếp tuyến giới hạn bởi điểm tiếp tuyến và giao điểm của tiếp tuyến với trục $Ox$.
5. Thể tích của hình tam giác thẳng là $V$. Tại đáy của sự nhận biết nằm cạnh của đáy sao cho tổng bề mặt của sự nhận biết là nhỏ nhất?

Tùy chọn 2

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm vectơ $\vec{b}$ vuông góc với vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 5\vec{k}$ và có cùng độ dài.

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$2^{1+2x} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0,$$
   thỏa mãn điều kiện $\cos \frac{5x-2}{2+x} < 0$.

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $y = x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ trên khoảng $[-2; +2]$ và vẽ đồ thị.

4. Giải phương trình
   $$\sqrt{6 - \sin x - 7 \cos^2 x} + \sin x = 0.$$

5. Trong hệ tọa độ góc thẳng Descartes $Oxy$, một hàm $F$ được cho, giới hạn bởi các đường $y = 0, x = 6, y = \frac{4}{x}$ và tiếp tuyến với đường cong $y = \frac{4}{x}$ tại điểm $A(x_0; y_0)$, tại đó $x_0 = 2$. Tìm diện tích của hàm $F$. Bài toán thi vấn đáp

6. Tìm $f(g(x))$ và $g(f(x))$ nếu $f(x) = 2^x$, $g(x) = x^2$.

7. Tìm hàm tuyến tính $f(x)$ nếu $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$.

8. Tìm hàm bậc hai $f(x)$ nếu $f(0) = 1$, $f(1) = 0$, $f(3) = 5$.

9. Tìm hàm nghịch đảo của a) $y = 2x - 4$;

6. $y = \lg \frac{x}{2}$;
   b) $y = x^2 - 1, x \in ] - \infty; 0]$.

5. Tìm hiểu xem hàm số chẵn hay lẻ
   a) $f(x) = \frac{1}{2}(2^x + 2^{-x})$;
   b) $f(x) = \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}$;
   b) $f(x) = \lg \frac{1+x}{1-x}$.

6. Tìm miền xác định của hàm
   a) $y = \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$;
   b) $y = \sqrt{6x-x^2}-5$;
   b) $y = \log_2 \frac{x^2-3x+2}{x+1}$;
   d) $y = \log_{|x|-4} 2$;
   e) $y = \sqrt{\frac{3^x-4^x}{2x^2-x+5}}$.

7. Vẽ đồ thị hàm số
   a) $y = \frac{1-2x}{3}$;
   b) $y = |x^2-x-6|$;
   b) $y = |x|+|x-1|$.

8. Tìm giới hạn
   a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+5x-6}{x-x^2}$;
   b) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{3}}$;
   b) $\lim_{x \to 0} \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$.

9. Tìm một hàm tùy ý
   a) $y = (\sin 2x+8)^3$;
   b) $y = \sqrt{\ln x}$;
   b) $y = \sqrt{\sin 2x}$.

10. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2 - 7x + 3$ nếu tiếp tuyến này song song với đường thẳng $5x+y-3=0$.

11. Tìm hàm phản đạo hàm
    $$\left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2.$$

12. Tại giá trị dương nào của tham số $a$ của hàm diện tích được giới hạn bởi các đường $y = \cos ax$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6a}$, $x = \frac{\pi}{2a}$ lớn hơn 3?

13. Tìm tất cả các giá trị của $a$ mà bội số
    $$\{(x; y)|x^2+y^2+2x \leq 1\} \cap \{(x; y)|x-y+a=0\}$$ chỉ chứa một dấu chấm. Tìm điểm này.

14. Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ cho trước $\vec{b} = (3; -2; 1)$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$ và $\vec{a} \parallel \vec{b}$.

15. Một đoạn $AB$ có chiều dài đều là dây cung của hình cầu có bán kính 1 và nằm hợp một góc $\frac{\pi}{3}$ với đường kính $CD$ của hình cầu này. Khoảng cách từ đầu $C$ của đường kính $CD$ đến đầu $A$ của dây cung $AB$ gần với nó là $\sqrt{2}$. Xác định $|BD|$.