Tôi có cần tìm ODZ không?

39

Tôi có cần tìm ODZ không?

Hình thức truyền thống của bài toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học là phương trình, bất đẳng thức, hệ thống (phương trình hay bất đẳng thức).

Nhiều sách hướng dẫn dành cho học sinh và người nộp đơn có lời giải thường đưa ra khuyến nghị vô điều kiện: “Đầu tiên chúng ta tìm ODZ!” Rõ ràng, tiếng vang của khuyến nghị này là sự công nhận nghệ thuật “Hãy nhớ ODZ!”, Được treo tại một trong những trường dạy nghề Leningrad.

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng chữ viết tắt ODZ không có trong sách giáo khoa phổ thông hiện nay. Cụm từ “Lĩnh vực Giá trị Chấp nhận được” có nghĩa là “lĩnh vực định nghĩa”.

OD của một phương trình hoặc bất đẳng thức, theo định nghĩa, là giao điểm của OD bên trái và bên phải của nó.

Vì vậy, có cần thiết phải bắt đầu các phương trình lời giải (bất đẳng thức, hệ thống) với ODZ của Nhật Bản không? Khi giải một phương trình (bất đẳng thức, hệ) có nhất thiết phải tìm ODZ, nhất là bắt đầu lời giải với ODZ của Nhật Bản thì không cần thiết; theo quy định, tức là trong hầu hết các phương trình (bất phương trình, hệ thức) thường được đề xuất trong kỳ thi tuyển sinh, không cần phải bắt đầu lời giải bằng ODZ tiếng Nhật; đôi khi, trong một số phương trình được chọn đặc biệt hoặc khó hơn (bất đẳng thức, hệ), sẽ rất hữu ích khi bắt đầu lời giải với ODZ của Nhật Bản.

Về nguyên tắc thì không cần

$$\sqrt{x^2-3x+4}=1-3x. \tag{1}$$

Phương trình (1) tương đương với hệ

$$\begin{cases} x^2-3x+4=(1-3x)^2 \\ 1-3x\geq 0, \end{cases}$$

điều đó không còn khó giải quyết nữa. (Nhân tiện, bất đẳng thức $x^2-3x+4\geq 0$, xác định ODZ của phương trình (1), xuất phát từ phương trình có trong hệ (2).) Nếu muốn, bạn cũng có thể chuyển từ phương trình (1) sang phương trình dẫn xuất*) $x^2-3x+4=(1-3x)^2$ và kiểm tra các nghiệm tìm được. (Đã giải các phương trình (1) và hệ (2) tương đương với nó, tất nhiên không cần phải kiểm tra.) Ví dụ này: không đi đến phương trình tương đương mà đi đến phương trình suy luận, và việc thực hiện kiểm tra phải được ghi nhớ trong các ví dụ khác đang được xem xét.

Dễ dàng chứng minh rằng mọi phương trình có dạng

$$\sqrt{f(x)}=g(x) \tag{3}$$

tương đương với hệ thống

$$\begin{cases} f(x)=[g(x)]^2 \\ g(x)\geq 0. \end{cases}$$

Thực vậy. Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình (3), tức là phương trình số $\sqrt{f(x_0)}=g(x_0)$ hợp lệ thì $f(x_0)=[g(x_0)]^2$ và $g(x_0)\geq 0$; Điều này có nghĩa là $x_0$ là nghiệm của hệ (4). Ngược lại, nếu $x_0$ là nghiệm của hệ (4), tức là phương trình số $f(x_0)=[g(x_0)]^2$ và $g(x_0)\geq 0$ là hợp lệ, thì $\sqrt{f(x_0)}=\sqrt{[g(x_0)]^2}=|g(x_0)|$; kể từ $g(x_0)\geq 0$, $|g(x_0)|=g(x_0)$; do đó, $x_0$ là nghiệm của phương trình (3).

Trong phương trình (1), việc tìm kiếm ODZ dẫn đến một phép tính không cần thiết nhưng dễ thực hiện. Tuy nhiên, đôi khi những khó khăn không thể vượt qua lại nảy sinh đối với những ứng viên đã quen với việc luôn tìm kiếm trình độ học vấn. Do đó, khi thiết lập phương trình ODZ $\sqrt{x^3-x+1}=\sqrt{1-x}$, ngược lại, anh ta không giải quyết được bất đẳng thức $x^3-x+1\geq 0$, trong khi phương trình được đề cập bằng

$$*) См. п. 74 пособия «Алгебра и начала ana-лиза 9—10» (М., «Просвещение», 1981).$$

40

mạnh mẽ vào hệ thống
$$\begin{cases} x^3 - x + 1 = 1 - x \\ 1 - x \geqslant 0, \end{cases}$$

giải quyết ngay lập tức.

Nói chung, mọi phương trình có dạng $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ đều tương đương với “sự lựa chọn” của từng hệ
$$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}$$

Bằng cách chọn cách “dễ dàng hơn”, bạn thường có thể thực hiện được mà không cần tìm kiếm DZ.

Phương trình $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$ tương đương với phương trình
$$\sqrt{x+4} = 1 + \sqrt{x-1},$$
(5)

đến lượt nó tương đương với phương trình
$$x+4 = (1 + \sqrt{x-1})^2.$$

Thật vậy, nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình (5), thì tất nhiên, nó cũng là nghiệm của phương trình (6): phương trình $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$ trong serdda, nghĩa là, với mọi $f$ và $g$, đều được suy ra từ phương trình $f(x) = g(x)$. Ngược lại, nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình (6), tức là đẳng thức số $x_0 + 4 = (1 + \sqrt{x_0-1})^2$ là đúng, thì trước hết, $x_0 + 4 \geqslant 0$; có nghĩa là $\sqrt{x_0+4} = \sqrt{(1 + \sqrt{x_0-1})^2} = |1 + \sqrt{x_0-1}|$; kể từ $1 + \sqrt{x_0-1} \geqslant 0$, $|1 + \sqrt{x_0-1}| = 1 + \sqrt{x_0-1}$; do đó, $x_0$ là nghiệm của phương trình (5).

Phương trình (6) tương đương với mỗi phương trình
$$x+4 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x-1,$$
$$\sqrt{x-1} = 2,$$
$$x-1 = 4.$$

Tất nhiên, phương trình $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7$ tương đương với phương trình $\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2},$ (7)
nhưng, không giống như trường hợp trước, phương trình (7) không tương đương với phương trình $x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2$; nó tương đương, xét về sự tương đương của (3) và (4) đã được chứng minh ở trên, đối với hệ
$$\begin{cases} x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2 \\ 7 - \sqrt{3x-2} \geqslant 0 \end{cases}$$
và hơn nữa, với mỗi hệ thống
$$\begin{cases} x+3 = 49 - 14\sqrt{3x-2} + 3x-2 \\ \sqrt{3x-2} \leqslant 7, \end{cases}$$
$$\begin{cases} 7\sqrt{3x-2} = x+22 \\ \sqrt{3x-2} \leqslant 7, \end{cases}$$
$$\begin{cases} 49(3x-2) = (x+22)^2 \\ 3x-2 \leqslant 49. \\ x+22 \geqslant 0. \end{cases}$$

Phương trình $\sqrt{x-2} + \sqrt{1-x} = 3$ có thể được giải theo cách tương tự, nhưng trong trường hợp này, dễ dàng hơn để nói ngay rằng ODZ của nó là một tập rỗng và do đó, nó có nghiệm.

---

Hãy chuyển sang bất đẳng thức
$$3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2.$$

Bất đẳng thức (8) tương đương với tổng
$$\begin{cases} 4x-2 \geqslant 0 \\ 9(6+x-x^2) > (4x-2)^2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 4x-2 < 0 \\ 6+x-x^2 \geqslant 0. \end{cases}$$

(Giải hệ thứ hai từ hệ (9), đồng thời tìm được ODZ của bất đẳng thức (8).)

Trên thực tế, trước tiên hãy đặt $x_0$ là nghiệm của bất đẳng thức (8), tức là bất đẳng thức số $3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2$ là đúng. Hãy chứng minh rằng $x_0$ là nghiệm của một trong các hệ (9). Hãy xem xét hai trường hợp: $4x_0-2 \geqslant 0$ và $4x_0-2 < 0$. Nếu $4x_0-2 \geqslant 0$, thì theo một trong các tính chất của bất đẳng thức số (nếu $a > b \geqslant 0$ và $n \in \mathbb{N}$, thì $a^n > b^n)$ $9(6+x-x^2) > (4x_0-2)^2$; ngoài ra, trong trường hợp này, $x_0$ là nghiệm của hệ thứ nhất (9). Nếu $4x_0-2 < 0$, thì $x_0$ là nghiệm của hệ thứ hai (9), vì nó đúng và tất nhiên là $\sqrt{6+x-x^2} \geqslant 0$; từ $4x_0-2 < 0$ theo sau $\sqrt{6+x-x^2} > 4x_0-2$, tức là $x_0$ lại là nghiệm của bất đẳng thức (8).

Dễ dàng chứng minh rằng mọi bất đẳng thức có dạng $\sqrt{f(x)} > g(x)$ đều tương đương với tổng của hệ
$$\begin{cases} g(x) \geqslant 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases}$$

(Bất đẳng thức $\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)$ có thể được giải theo cách tương tự.)

Việc giải quyết vấn đề sẽ dễ dàng hơn bằng cách giải bất đẳng thức có dạng $\sqrt{f(x)} < g(x)$; Vì thế

*) Xem skoku trên trang. 229 của lợi ích nói trên.

41

một số bất đẳng thức tương đương với một hệ thống
$$\begin{cases} f(x) < [g(x)]^2 \\ f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0. \end{cases}$$

Bất đẳng thức $\sqrt{x^3-x-1} > \sqrt{x^3-1}$ tương đương với hệ
$$\begin{cases} x^3-x-1 > x^3-1 \\ x^3-1 \geq 0. \end{cases}$$

Mọi bất đẳng thức có dạng $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ đều tương đương với hệ
$$\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \geq 0. \end{cases}$$

---

Hãy giải hai bất đẳng thức phức tạp hơn. (Kiểm tra xem bạn đã học được cách chứng minh sự tương đương chưa - hãy chứng minh từng sự tương đương bên dưới.)
$$18\sqrt{2x-3}-9\sqrt{(2x-3)(x-2)} \geq 2\sqrt{x-2}$$
$$18-9\frac{\sqrt{(2x-3)(x-2)}}{\sqrt{2x-3}} \geq 2\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}},$$
$$18-9\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}}-2\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}}\right)^2 \geq 0.$$

Tập lời giải của bất đẳng thức phụ $18-9t-2t^2 \geq 0$ bằng $[-6; \frac{3}{2}]$. Do đó, bất đẳng thức (11) tương đương với bất đẳng thức
$$0 \leq \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}} \leq \frac{3}{2}$$
$$0 \leq \frac{x-2}{2x-3} \leq \frac{3}{2}$$
$$x-2 \geq 0$$
$$2x-3 > 0$$

(để viết một hệ tương đương với các bất đẳng thức (12), chúng tôi buộc phải quy các bất đẳng thức mà ODZ thực tế đưa ra là các bất đẳng thức (10))

$$\begin{cases} 0 \leq \frac{x-2}{2x-3} \leq \left(\frac{3}{2}\right)^4 \\ x-2 \geq 0 \\ 2x-3 > 0 \end{cases}$$

lời giải xa hơn là hiển nhiên.
Bất bình đẳng
$$\frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
tương đương với tổng thể của hệ thống
$$\begin{cases} \frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7 \\ 3-\sqrt{8+x} = 0 \end{cases}$$
$$\frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
$$3-\sqrt{8+x} \neq 0.$$

Hệ thống đầu tiên trong số này có lời giải $x=1$. Hệ thứ hai tương đương với hệ

$$\begin{cases} \frac{(x-1)^2}{(3-\sqrt{8+x})^2} > x-7 \\ 3-\sqrt{8+x} \neq 0, \end{cases}$$
$$\frac{(x-1)^2}{(3-\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$
$$\frac{(3-\sqrt{8+x})^2}{(1-x)^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$
$$\frac{(3-\sqrt{8+x})^2}{(1-x)^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$

Chúng tôi đã học cách đối phó với sự bất bình đẳng $\sqrt{8+x} < 4$.

Đôi khi hữu ích

Giải phương trình
$$\sqrt{2-x}+x-3=\sqrt{x-1}$$
(13)
bằng cách bình phương “chua” (thu được một phương trình hoàn chỉnh của bốn độ). Vì vậy, trước tiên chúng ta tìm phương trình ODZ - [1; 2]. Trên ODZ
$$\sqrt{2-x}+x-3 \leq \sqrt{2-1}+x-3 = x-2 \leq 0.$$
Mặt khác, $\sqrt{x-1} \geq 0$. Do đó, phương trình (13) tương đương với hệ
$$\begin{cases} \sqrt{2-x}+x-3=\sqrt{x-1} \\ \sqrt{x-1}=0, \end{cases}$$