Chia hình dạng

16

Chia hình dạng

Gần đây, hình học tổ hợp đã có sự phát triển vượt bậc - một ngành khoa học nghiên cứu các cấu hình tối ưu của một điểm hoặc các hình. Nó ngày càng được sử dụng nhiều trong vận tải (xếp hàng), xây dựng (bố trí các bộ phận), kiến ​​trúc (bố trí) và trong nhiều lĩnh vực khác của nền kinh tế quốc dân.

Để làm rõ một trong những hình học tổ hợp bài toán rất nổi tiếng, chúng tôi giới thiệu khái niệm đường kính của một hình. Đường kính của một hình là một số $d$ sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của hình không vượt quá $d$, nhưng đối với bất kỳ số nào nhỏ hơn $d$, có những điểm trong đó có khoảng cách giữa chúng vượt quá $d$. Ví dụ: một hình tròn có đường kính (theo nghĩa truyền thống) $d$ là một hình có đường kính $d$. Một tam giác đều có cạnh $d$ cũng có đường kính $d$.

Một hình phẳng (không gian) được gọi là giới hạn nếu nó nằm trong một hình tròn (quả bóng) nhất định. Nếu một hình có đường kính thì nó rất hạn chế. Có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng.

Một điểm của một hình phẳng được gọi là biên nếu trong bất kỳ đường tròn nào có tâm tại điểm này có cả các điểm thuộc hình và các điểm không thuộc hình đó. Một hình được gọi là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó. Ví dụ: hình phẳng $A_1 = \{(x; y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ bị đóng nhưng các hình $A_2 = \{(x; y) | x^2 + y^2 < 1\}$ và $A_3 = \{(x; y) | 0 < x^2 + y^2 \leq 1\}$ không bị đóng.

Hóa ra nếu một hình bị chặn là đóng thì nó chứa một cặp điểm

Ghi chú này dựa trên một báo cáo mà vào tháng 11 năm 1981, học sinh lớp chín Anton Bakov (Sverdlovsk) đã đưa ra tại Hội nghị các nhà toán học trẻ lần thứ XIII ở Batumi («Kvant», 1982, số 4).

Hình 1.

17

yêu thích". Cả “hình lục giác Pala” (bất kỳ hình phẳng nào có đường kính $d$ đều được chứa trong đó) cũng như hình tròn có đường kính $d$ (nhiều hình có đường kính $d$, ví dụ: một hình tam giác đều có cạnh $d$, sẽ không “khớp” vào nó) đều phù hợp ở đây. Các hình mong muốn hóa ra lại là cái gọi là các hình có chiều rộng không đổi.

Để chứng minh định lý của mình, Pal đã sử dụng các đường hỗ trợ. Một đường thẳng được gọi là hỗ trợ cho một hình phẳng nhất định nếu nó có ít nhất một điểm chung với hình đó và toàn bộ hình nằm trên một cạnh của hình đó (Hình 2). Số $h$ được gọi là chiều rộng của một hình nếu nó có các đường đỡ song song, khoảng cách giữa các đường đó là $h$. Nói chung, một hình có thể có nhiều “chiều rộng” (Hình 3). Nếu chiều rộng của hình không phụ thuộc vào hướng của các đường hỗ trợ thì hình đó được gọi là fidura có chiều rộng không đổi (Hình 4).

Hóa ra là bất kỳ hình phẳng nào có đường kính $d$ đều được chứa trong một số hình có chiều rộng không đổi $d$. Người ta cũng đã chứng minh rằng một hình có chiều rộng không đổi $d$ không thể có 2 phần đường kính nhỏ hơn $d$.

Những thông điệp này cho phép nhà toán học Liên Xô V. G. Boltyansky chứng minh vào năm 1969 rằng một hình phẳng có đường kính $d$ không thể chia thành 2 phần có đường kính nhỏ hơn $d$ khi và chỉ khi nó được chứa trong một hình duy nhất có chiều rộng không đổi $d$.

Lời giải được coi là bài toán làm nền tảng cho sự phát triển hơn nữa của hình học tổ hợp.

Ngày nay, bài toán này đã được giải không chỉ cho mặt phẳng: định lý tương đương với định lý Borsuk đã được chứng minh cho không gian ba chiều (4 phần luôn là đủ ở đó). Có giả thuyết cho rằng đối với không gian $n$ chiều thì luôn có đủ phần $n+1$.

Bài toán (được thêm bởi V. G. Boltyansky)

1. Chứng minh rằng đường kính của một đa giác bằng khoảng cách lớn nhất giữa các đỉnh của nó.

2. Dựa vào định lý Pal, chứng minh rằng mọi hình phẳng có đường kính $d$ đều có thể chia thành ba phần, đường kính mỗi phần không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{2} d \approx 0,866 d$.

3. Trong một đa giác đều có số cạnh lẻ, các hình tròn khác được vẽ, mỗi hình tròn chứa các đầu của các cạnh và có tâm ở đỉnh đối diện (xem Hình 4). Chứng minh rằng các hình giới hạn khác này có chiều rộng không đổi.

4. Chứng minh rằng một đa giác đều có số cạnh lẻ, đường chéo dài nhất có độ dài $d$, không thể chia thành hai phần, mỗi phần có đường kính nhỏ hơn $d$.

5. Một đoạn nhỏ hơn hình bán nguyệt được cắt ra khỏi đường tròn có đường kính $d$. Hình thu được $F$ vẫn có đường kính $d$. Có thể dễ dàng chia nó thành hai phần có đường kính nhỏ hơn $d$ (làm thế nào?. Do đó, $F$ được chứa trong các hình khác nhau có chiều rộng không đổi $d$. Hãy cho hai hình như vậy.

6. Chứng minh rằng một đa giác nội tiếp có số cạnh lẻ có thể chia thành hai phần nhỏ hơn đường kính của nó. Điều này có đúng với một đa giác tùy ý có số cạnh lẻ không?

7. Đặt $|AB| > d$ và các hình $M$ (“bigon”) biểu thị giao điểm của hai đường tròn có bán kính $d$ với tâm $A$ và $B$. Chứng minh rằng nếu một hình có đường kính $d$ nằm hoàn toàn trong hai cạnh $M$ thì có thể chia hình đó thành hai phần có đường kính nhỏ hơn $d$.