Bài toán M776—M780; F788—F792

18

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Bài toán về toán học từ số này đã được đưa ra vào mùa hè này tại Olympic Toán học Quốc tế lần thứ XXIII. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 28 tháng 2 năm 1983 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới” ghi: “Bài toán Kvant Số 12 - 82” và các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ “M776, M777” hoặc “F788”. Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi trong các phong bì khác nhau. Kèm theo một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện cho mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản phải được gửi thành hai bản trong một phong bì riêng cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

M776 — M780; F788 — F792

M776. Lần lượt lấy các điểm M và N trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF sao cho

$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$

Biết rằng các điểm B, M và N nằm trên cùng một đường thẳng. Tìm λ.

M777. Phương trình $x^3 - 3xy^2 + y^3 = n$ được cho. Chứng minh rằng a) nếu một số tự nhiên n sao cho phương trình đã cho có số nguyên lời giải thì phương trình đó có ít nhất ba số nguyên lời giải;
6) với n=2891 phương trình này không có số nguyên lời giải.

M778*. Cho một tam giác không bằng nhau $A_1A_2A_3$. Đặt $a_i$ là cạnh của nó nằm đối diện với đỉnh $A_i$ ($i=1, 2, 3$), $M_i$ là trung điểm của cạnh $a_i$, $T_i$ điểm tiếp tuyến của cạnh với đường tròn nội tiếp trong tam giác đã cho và $S_i$ điểm đối xứng với $T_i$ đối với bissertrix của góc $A_i$ hình tam giác. Chứng minh rằng các đường thẳng $M_1S_1$, $M_2S_2$ và $M_3S_3$ có ​​điểm chung.

M779*. Xét dãy $\{x_n\}$ số dương thỏa mãn điều kiện

$$1 = x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$$

a) Chứng minh rằng với mọi dãy số $\{x_n\}$ đều tồn tại n sao cho

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} \geqslant 3,999.$$

6. Tìm một dãy $\{x_n\}$ thỏa mãn các điều kiện xác định sao cho với mọi n

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4.$$

A. Grishkov

M780*. Cho hình vuông K có cạnh 100. Cho L là hình mở không tự giao nhau