Xuất bản năm 1982

56

Đã in
vào năm 1982

CHÚC MỪNG NĂM MỚI!
Kỷ niệm một bài viết tuyệt vời 3 2
Mùa Xuân Vũ Trụ Của Con Người 4 2
Trên quỹ đạo - một bảo tàng mới 4 18
Giáo dục công ở Liên Xô 9 3

Pastukhov B. Trung thành với châm ngôn Lênin, sự nghiệp của đảng 5 2
Prokofiev M. Chúc mừng năm học mới!
9 2

Gnedenko B. Toán học ở Liên Xô
Kikon I. Vật lý ở Liên bang Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết 11 2

Geller B., Brook Y. Simeon Denis Poisson 2 14
Gnedenko B. Mikhail Vasilievich Ostrogadsky 10 5
Lishevsky V. Daniil Bernoulli 3 7
Frenkel V. Knight của cuốn sách khoa học phổ thông (nhân kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Ya. I. Perelman) 11 18
Yavelov B. Louis de Broglie 9 28

số liệu thống kê toán học
Alexandrov A. Sự ngu ngốc và thiên tài 11 12
Alexandrov P. Toán học và văn hóa con người 12 7
Bakov A. Phân vùng hình 8 2
Vasiliev N., Zelevinsky A. Chebyshev đa thức và quan hệ truy hồi 1 12
Dubrovsky V. Thuật toán khối ma thuật 7 22
Dubrovsky V. Toán học của khối ma thuật 8 22
Martynov B. Về cực đại của hàm van der Waerden 6 8
Nosin D. Ai sẽ đi uống nước chanh? 10 19
Osipov Yu. Lực hấp dẫn 9 4
Pontryazin L. Số phức 3 3
Pontryazin L. Định lý cơ bản của đại số 4 3
Tadeev V. Đơn giản, đôi, hài hòa 7 2
Tikhomirov V. Khí động học bài toán Newton 5 11
Tom A. Mất bao lâu để một cây gậy rơi? 2 10
Shubin M. Cấu trúc liên kết và … địa hình 8 10

Thống kê vật lý
Aslamazov L., Kikon I. Sóng là gì?
6 2
Bokshtein B. Các nguyên tử chuyển động quanh tinh thể 11 5
Borovoy A. Năm Phép Lạ 4 10
5 3
Buzdin A., Tugushchev V. Vật lý nhiệt độ thấp được tạo ra như thế nào 9 19
Varlamov A., Shapro A. Trong không gian đầu 3 10
Zababakhin E. Ghi chú nhỏ 12 13
Kikon K. Giếng tiềm năng là gì 8 16
Hiệu ứng Levinshtein M. Gunn 10 11
Cổ điển L. Sao chổi 7 10
Meledin G., Serbo V. Sự ngưng tụ ánh sáng thành vật chất 7 19
Middal A. Số phận của sao neutron 1 4
Mikhailov A. Ý nghĩa của thiên văn học 10 2
Stasenko A. Bay nhanh hơn và xa hơn 9 12
Surdin V. Nhật thực ngày 31 tháng 7 năm 1981 7 26
Nhà sản xuất V. Có thể hồi sinh tình trạng của voi ma mút không? 4 20
Frank-Kamenetsky M. Phân tử quan trọng nhất 8 4
Efros A. Lý thuyết bảo vệ là gì 2 2

Phòng thí nghiệm «Kvant»
Alekseev I., Svirda D. Nó tỏa sáng và sưởi ấm 3 17
Amstislavsky Ya. Hiện tượng bất thường xung quanh nguồn sáng thông thường 6 15
Borovoy A., Klimov Yu. Chuyện gì đang xảy ra ở biên giới 11 22
Varlamov A. Một trăm năm trước 10 22
Lyudomirsky M., Panfilov A. Tại sao chiếc nhẫn lại bị treo? 4 22
Mayer V. Ánh sáng, không khí và nước 8 28
Mikazlyan L. Thí nghiệm tại nhà với ánh sáng phân cực 7 32
Shshkov S. Xoáy nước 2 21
Shmelev A. Pháo hoa vật chất năm mới 1 20

vòng tròn toán học
Everafov M. Cơ học của khối ma thuật 3 20
Kamyshko I. Paul Dirac và bài toán về ba con cá 9 30
Khodulyev A. Phân tán chip 7 28

Nghệ thuật lập trình
Trường lập trình vườn thú Bài 1 1 49
Bài 18 2 48
Bài 19 3 52
Bài 20 4 50
Kỹ thuật lập trình chuẩn Bài 1 10 52
Bài 2 11 62
Bài 3 12 42
Zventserodsky G. VI Chương trình học hè toàn diện dành cho thanh thiếu niên 6 54
Pervin Yu. Sắp xếp theo phím văn bản Hợp nhất 2 51
Bao gồm và phân phối 5 51

57

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
1—6
8—12

---

Bargenev F. Xoay một khối lập phương
Bargenev F., Savin A. Phương pháp vũ phu
2 36
Tam giác Bendukidze A. Pascal
10 45
Ivanova N. Tự căn chỉnh các hình và hình học bài toán
3 40
Nhím Kalinin A. Pritsezi
4 36
Nakhshin V. Khái niệm định nghĩa và định nghĩa khái niệm
9 50
Panov A. Câu đố về số 51
12 34
Savin A. Sỏi và bàn cờ
1 36
Savin A. Câu đố vui
7 56

---

Kirillova I. Từ những cuốn sách của Ya. I. Perelman
11 42
Lueansky L. “Đứng bên phải, vượt bên trái…”
5 30
Quê hương của sức mạnh N. Archimedes và cá voi
8 50
Vấn đề «Kvant»
Bài toán M721—M780; F733—F792
Lời giải bài toán M488, M681—M758; F692—F777

---

Zilberman A. Hai phương pháp tính toán mạch điện
4 33
Zilberman A. Nguồn có điện trở trong “âm”
7 54
Krotov S. Về định lý duy nhất trong tĩnh điện
2 32
Krotov S. Về quỹ đạo chuyển động tối ưu
6 30

---

Danh sách người giải 3, 6, 9, 12
Người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
3 26
Trước «Kvant»
9 32

Xưởng của người nộp đơn
Bystry I. Về việc giảm chỉ số
6 40
Gornusha P. Sự khác biệt là gì?
8 59
Levitas G. Sử dụng đồ họa
9 54
Nazaretov A. Độ phẳng trong không gian
6 38
Ryzhik V. Có cần thiết phải tìm ODZ không?
4 39
Satyanov P. Công thức và đồ thị
11 46
Smolyak A. Tại sao lại như vậy?
8 59

---

Bakanina L. Định luật bảo toàn các biến đổi dễ chịu
7 58
Định luật Bakanina L. Newton
12 38
Danilin V. Động học. Chuyển động tương đối
10 48
Marinchik M. Phương trình bậc hai trong bài tập vật lý
8 54
Mozhaev V. Photon
3 42
Hệ thống quang học Morozov E.
5 35
Skorovarov V. Dòng điện xoay chiều
2 39
Tueushev V. Mạch điện có phần tử phi tuyến tính
1 41

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1981
Viện sư phạm bang Voroshilovgrad được đặt theo tên. T. G. Shevchenko
6 44
Đại học bang Yerevan
4 43
Học viện sư phạm bang Kyiv được đặt theo tên. A. M. Gorky
6 45
Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko
6 41
Viện kim loại màu Krasnoy được đặt theo tên. M. I. Kalinina
2 46
Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen
3 47
Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova
5 46
Viện Hàng không Moscow được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze
6 45
Viện đường tự trị Moscow
6 46
Viện kiến ​​trúc Moscow
6 48
Viện Y tế Nhà nước Moscow thứ 2 được đặt theo tên. N. I. Pirogova
6 49
Viện thủy văn Moscow
4 45
Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow
3 46
Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin
2 44
Viện thép và hợp kim Moscow
4 44
Viện Dệt may Moscow được đặt theo tên. A. N. Kosygina
3 51
Viện kỹ thuật công nghiệp nhẹ Moscow
6 51
Viện kỹ thuật chăn bông Moscow
4 46
Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
5 40
Viện Vật lý và Công nghệ Moscow
1 46
Viện Kỹ thuật Hóa học Moscow
3 48
Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow
2 43
Viện Truyền thông Kỹ thuật Điện Moscow
1 48
Học viện Năng lượng Moscow Trường Kỹ thuật Cao cấp Moscow được đặt theo tên. N. E. Bauman
6 48
Trường Kỹ thuật Hàng hải Cao cấp Murmansk được đặt theo tên. Lênin Komsomol
4 47
Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol
5 44
Viện Kỹ sư Hàng không Dân dụng Riga được đặt theo tên. Lênin Komsomol
4 48
Đại học bang Rostov được đặt theo tên. M. A. Suslava
6 42
Đại học bang Tajik được đặt theo tên. V. I. Lênin
6 43

58

Đại học bang Tashkent được đặt theo tên V. I. Lênin 5 48
Viện kỹ sư vận tải đường sắt Ural 6 51
Viện Điện tử Vô tuyến Kharkov 3 49
Đại học bang Kharkov được đặt theo tên. A. M. Gorky 6 44

Đánh giá, thư mục
Gutenhacher V. Cẩm nang toán dành cho thí sinh vào đại học 2 58
Zaidel A. Máy tính vi mô có thể làm được những gì 1 58
Yadrenko M., Kozlov M. Hành trình vào thế giới của những sự kiện ngẫu nhiên 10 56

---

Arinitei A. Thế giới mong manh mạnh mẽ này 9 29
Brook Yu. Bài toán Novosibirsk FMS 12 45
Zorits I. Thiên văn học: khoa học và những người tạo ra nó 4 58
Levinstein M. Einstein - nhà phát minh 10 56

---

Sách mới 8 15
10 43
12 44

Thông tin
Hội nghị các nhà toán học trẻ lần thứ XIII tại Batumi 4 54
Trường hè Krasnoy 3 57
III Chuyến tham quan Moscow dành cho các nhà vật lý trẻ 2 55
IV Chuyến tham quan Moscow dành cho các nhà vật lý trẻ 9 57

---

Mới được nhận vào Thang đo Toán học Thư tín Toàn Liên minh 1 53
Tuyển sinh mới vào Malyi Mekhmat 1 54
Học thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow 6 56
Trường thể chất tương ứng 4 57
Trường Đại học Vật lý và Công nghệ 1 56
12 53
Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MISiS 6 56

---

Về kết quả cuộc thi “Small Integrosmos” 4 52
Gặp gỡ độc giả 5 10
Trưởng hội thảo NOU 5 49

Thế vận hội Olympic
Olympic Toán quốc tế lần thứ XXIII 12 46
Olympic Vật lý Quốc tế lần thứ XIII 12 49

Olympic toàn liên bang lần thứ XVI
Olympic Toán 11 51
Olympic Vật Lý 11 54
Tham quan thí nghiệm Olympic Vật lý 11 57
Người chiến thắng Olympic 11 60

---

Olympic toàn Nga 10 59
Bài toán tài nguyên Olympic 2 34

tin tức khoa học
Kuznetsov V. Đồng vị nặng nhất của nguyên tố 107 3 16
Độ phóng xạ Kuznetsov V. Proton 4 42
Thiên văn học và biên niên sử cổ đại 7 38

bìa của chúng tôi
Kotov Yu. Tưởng Tượng MÁY TÍNH 2 54
Kotov Yu. 3 38
Pukhnachev Yu. 8 21

«Kvant» mỉm cười
Bernitei P. “Lời khuyên” dành cho người nộp đơn 6 53
Kryzhanovsky L. Cách tiếp cận khoa học 5 28
Patrikeeva N. Sự tò mò 11 25
Có phải tất cả họ đều nói dối về lịch? 3 19
Chỉ với chúng tôi! 4 17
Táo từ mọi phía 7 61
Từ điển học sinh 8 53
Cách xác định thể tích của một con cá voi đang bơi ngoài khơi Greenland 9 61
Xung quanh máy tính 10 55

Hỗn hợp
Jacques Y. Hai “trường học” bài toán trong cuộc đời 2 47
Mikhailenko N. Bạn nghĩ sao? 1 48
Yavelov B. 150 năm trước 10 58
Góc sưu tầm 4 53
Trò chơi, bài toán hay tranh luận? 7 25
Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky 9 18
Sự thật thú vị 9 46
Người ta nói rằng… 11 11
Số hoàn hảo mới 11 50
Chúng tôi khuyên bạn nên mua! 2 54
8 59

Hỏi - chúng tôi trả lời 6 14
8 9

Trang cờ vua (trang bìa thứ 3)
Máy tính đang chơi 1
Máy đoán điểm 2
Maya vẫn vô địch 3
Kỷ lục bế tắc 4
Cỗ máy thời gian cờ vua 5
Thang cờ vua 6
Tại giao điểm của đường 7
Sự hy sinh của Nữ hoàng trong Đại hội thể thao vô địch thế giới 8
Cách thắng khi thua 9
Một lần nữa về sự hy sinh của nữ hoàng 10
Hành trình về quá khứ 11
Những điều bất ngờ trong năm mới 12

59

định luật Newton

1. Xem hình. 1.
2. Trong trường hợp đầu tiên, sợi chỉ giữa các thanh 2 và 3 sẽ bị đứt như nhau (tất cả các thanh vẫn đứng yên). Điều này sẽ xảy ra với lực $F_1=25$ N. Trong trường hợp thứ hai, sợi chỉ giữa thanh 1 và 2 sẽ đứt với lực $F_2=37,5$ N (các thanh đang chuyển động).
3. $T=2\pi\sqrt{(L\cos\alpha)/g}$.
4. $x_M \geqslant \mu(M+m)g/k$.

Hình 1.

Olympic Vật lý quốc tế lần thứ XIII

Nhiệm vụ 1.
a) Tổng điện trở của thiết bị là $z = \frac{228,5B}{0,6A} = 380,8$ Ohm. Điện trở ohm của đèn là $R_\pi = \frac{84B}{0,6A} = 140$ Ohm, do đó tổng điện trở ohm là $R = 140$ Ohm+26,3 Ohm=166,3 Ohm. Điện trở cảm ứng của cuộn cảm là $\omega L = \sqrt{z^2-R^2} = 342,6$ Ohm, do đó,
$$L = \frac{\sqrt{z^2-R^2}}{2\pi v} = 1,09 \text{ Гн.}$$

b) Độ lệch pha được xác định từ điều kiện $tg\varphi = \omega L/R = 2,06$; tương ứng, $\varphi = 64,1^\circ$. c) Công suất hoạt động $P = I^2R = 59,87$ W.
d) Khi tiếp điểm trong bộ khởi động mở ra, một điện áp cảm ứng cao xuất hiện trên cuộn cảm, đủ để đốt cháy đèn (điện áp lưới điện nhỏ hơn điện áp đánh lửa).
e) Sự phụ thuộc của quang thông vào thời gian được thể hiện trên Hình 2.

Hình 2.

e) Thời gian tái hợp của các ion và electron trong quá trình phóng điện khí khá dài - đó là lý do tại sao đèn luôn sáng.
g) Điện dung của tụ điện có điện dung $C=4,7$ µF bằng $1/\omega C=677,3$ Ohm. Tổng điện trở của hệ thống trong trường hợp này là
$$z' = \sqrt{\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2 + R^2} = 373,7 \text{ Ом.}$$

Nó gần giống như thiết bị không có tụ điện; do đó, đèn có đặc tính phóng điện giống nhau và phát sáng theo nguyên lý giống nhau. Sự khác biệt duy nhất là sự thoát nước của pha bây giờ ngược dấu với các pha khô $\varphi$:
$$tg\varphi' = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R} = -2,01, \text{ и } \varphi' = -63,6^\circ.$$
Trong các ứng dụng có số lượng lớn đèn huỳnh quang, các tụ điện bổ sung được sử dụng để bù cho pha dwga.
Nhiệm vụ 2.
Đã biểu thị khoảng cách từ điểm tựa đến tâm khối lượng bằng $s$, khối lượng bằng $m$ và mômen quán tính so với điểm tựa bằng $I$, đối với chu kì dao động $T$ ta viết
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgs}}.$$

Trong trường hợp này, $I$ được xác định thông qua mômen quán tính $I_0$ so với tâm khối:
$$I = I_0 + ms^2.$$

Từ phương trình (1) và (2) chúng ta có
$$I_0 + ms^2 = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 mgs,$$

Hình 3.

trong đó $s = s_a$, $s_6$ và $s_B$ (Hình 3). Phương trình bậc hai này có thể có nhiều nhất hai lời giải khác nhau. Vì $s_B > 21_{cm} > s_a + s_6 = 10$ cm nên chỉ $s_a$ và $s_6$ có thể bằng nhau. Đó là lý do tại sao
$$s_a = s_6 = 5 \text{ cm}, \quad s_B = \sqrt{21^2 + 5^2} \text{ cm} = 21,6 \text{ cm}.$$
Hãy viết phương trình (3) cho trường hợp a) và b). Loại bỏ mô men quán tính $I_0$, ta thu được
$$m(s_B^2 - s_a^2) = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 mg(s_B - s_a).$$

Từ đây
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{s_B + s_a}{g}} = 1,03 \text{ c}.$$
Nhiệm vụ 3.
a) Viết điều kiện để quả bóng nổi:
$$m_{t_2} + m_0 = m_{t_1},$$

60

trong đó $m_t$ là khối lượng không khí trong thể tích của quả bóng ở nhiệt độ $t$, hoặc
$$\varrho_2 V + m_0 = \varrho_1 V.$$
Từ đây
$$\varrho_2 = \varrho_1 - \frac{m_0}{V} = 1,03 \text{ кг/м}^3.$$
Sử dụng sự tương ứng $\varrho_1/\varrho_2 = T_2/T_1$, chúng ta thu được $T_2 = T_1 \frac{\varrho_1}{\varrho_2} = 341,53$ K hoặc $t_2 = 68,38^\circ\text{C}$.
6) Lực $F$ tác dụng lên sợi cáp bằng hiệu giữa lực Archimedean $F_A$ và lực hấp dẫn $F_T$:
$$F = F_A - F_T.$$
Lực Achimedian $F_A = m_1 g = \varrho_1 V g$, trong đó $m_1 = \varrho_1 V$ là khối lượng không khí thoát ra ở mật độ $\varrho_1$. Lực hấp dẫn là $F_T = m_2 g = (\varrho_3 V + m_0) g$, trong đó $m_2$ là khối lượng không khí bên trong quả bóng ở nhiệt độ $t_3 = 110^\circ\text{C}$ và mật độ tương ứng $\varrho_3 = \varrho_1 T_1/T_3 = 0,918 \text{ кг/м}^3$ cộng với khối lượng của vỏ $m_0$. Vậy lực tác dụng lên dây cáp bằng
$$F = F_A - F_T = ((\varrho_1 - \varrho_3) V - m_0) g = 1,2 \text{ Н}.$$
c Quả bóng đạt đến độ cao $h$ sao cho mật độ không khí bên ngoài $\varrho_h$ có cùng giá trị với mật độ hiệu dụng
$$\varrho_3 = \frac{m_2}{V} = \frac{\varrho_3 V + m_0}{V} = 1,088 \text{ кг/м}^3.$$
Mật độ không khí ở độ cao $h$ được xác định theo công thức khí áp
$$\varrho_h = \varrho_1 e^{-\varrho_1 gh/p_0}.$$
Do đó với $h$ chúng ta có
$$h = \frac{p_0}{\varrho_1 g} \ln \frac{\varrho_1}{\varrho_h} = \frac{p_0}{\varrho_1 g} \ln \frac{\varrho_1}{\varrho_3} = 843,14 \text{ м}.$$
d) Đối với những chênh lệch nhỏ về chiều cao (10 m so với 843 m), sự thay đổi mật độ theo chiều cao có thể được biểu diễn gần đúng bằng hàm tuyến tính. Do đó, lực không khí hướng về vị trí cân bằng tỷ lệ thuận với độ lớn của độ lệch so với vị trí cân bằng và đây là điều kiện để xuất hiện dao động điều hòa.

Nhiệm vụ 4.
a) Để xác định tiêu cự $F$, thấu kính được đặt trên gương và cố định một cây bút chì vào ổ cắm. Thấu kính và gương chuyển động cho đến khi người nhìn vuông góc với vật quan sát thấy cây bút chì và ảnh của nó nằm cạnh nhau (Hình). Vì gương phản chiếu các tia sáng nên chúng truyền qua thấu kính hai

Hình 4.

Razza và chúng tôi nhận được một hình ảnh tương ứng với hình ảnh trong trường hợp lắp hai ống kính đằng sau ống kính kia:
$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{F}.$$
Đối với hình ảnh có độ phóng đại bằng một $d = f$; do đó $F = d$.
6) Ma trận thấu kính giả định $n$ được xác định từ phương trình
$$\frac{1}{F} = (n - 1) \frac{2}{r}.$$
Bán kính cong $r$ của một thấu kính đối xứng có thể tìm được như sau. Nếu bạn đổ một ít nước lên gương và đặt một thấu kính thủy tinh lên trên mặt nước, thì một thấu kính nước lõm phẳng sẽ hình thành giữa gương và gương (Hình.). Một trong các bán kính cong của nó bằng bán kính của thủy tinh

Hình 5.
linzy, còn cái kia thì vô cùng lớn. Đối với ống kính này
$$\frac{1}{F_B} = (n_B - 1) \left( -\frac{1}{r} \right),$$
Và
$$r = -(n_B - 1) F_B.$$
Tuy nhiên, trong một thí nghiệm (tương tự như mô tả ở điểm a)), bạn chỉ có thể thay đổi tiêu cự của sự kết hợp giữa thấu kính thủy tinh và thấu kính nước:
$$\frac{1}{F_K} = \frac{1}{F} + \frac{1}{F_B}.$$
Sau đó, chúng ta cần tính tiêu cự $F_B$ của thấu kính nước, bán kính cong $r$ của thấu kính thủy tinh và hệ số đoán của nó $n$:
$$n = \frac{(n_B - 1) F_B}{2(F_K - F)} + 1.$$
Nhiệm vụ 5.
a) Xét gia tốc trọng tâm của hình trụ (gia tốc tuyến tính của trục hình trụ) ta có
$$a = \frac{2S}{t^2},$$
trong đó $s$ là đường đi của hình trụ trong thời gian $t$.
6) Chúng ta hãy biểu thị gia tốc của một vật có khối lượng $m$ bằng $a_m$, độ căng của sợi dây bằng $T$ và viết phương trình chuyển động của vật đó:
$$ma_m = mg - T.$$ (1)
Gia tốc $a$ của trọng tâm của hình trụ được xác định bởi lực căng của dây $T$ và phản lực $F$ giữa hình trụ và mặt phẳng:
$$Ma = T - F.$$ (2)
Nếu hình trụ quay một góc $\theta$ thì vật đi được một đường $x_m = (R + r)\theta$. Posetom

61

$$a_m = (R + r) \frac{a}{R}.$$

Từ các đẳng thức (1), (2) và (3) ta thu được giá trị của phản lực:

$$F = mg - \left( M + m \left( 1 + \frac{r}{R} \right) \right) a.$$

c) Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực $F$ vào khoảng cách $r$ được thể hiện trên Hình 6. Đặc điểm là khi Hình 6.

$r = 3$ cm lực đổi dấu. Nó có thể được giải thích theo cách này. Ở các giá trị nhỏ $r$, mômen lực căng quá nhỏ không thể truyền gia tốc góc để hình trụ không trượt nên phản lực có hướng ngược với hướng chuyển động của trọng tâm của hình trụ và tạo thêm một mô men xoắn. Ở mức lớn $r$ mô men căng quá lớn và phản lực được định hướng theo cách tạo ra một mô men xoắn ngược lại.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 11)

1. Đáp số: $IV \cdot II = VIII$
   $$I \cdot IV = IV$$
   $$\parallel \parallel \parallel IV \cdot VIII = XXXII$$

2. Bạn có thể: bạn cần thắt chặt một trong các nút thắt và kéo nó qua nút thứ hai (Hình 7).

Hình 7.

$$8$$
$$48$$
$$+$$
$$648$$
$$9648$$
$$89648$$
$$189648$$
$$\frac{189648}{289648}$$

4. Nếu số bị chia, số chia và thương là số lẻ thì số dư phải là số chẵn và do đó không thể bằng 7.

Olympic trong toán học
(xem «Kvant» số 11)

Chúng tôi trình bày ở đây lời giải những bài toán không có trong Bài toán «Kvant». Vấn đề bao gồm: từ lớp 8 - bài toán 8 (-M752), từ lớp 9 - bài toán 3 (M751), 4 (M755), 6 (M758), từ lớp 10 - bài toán 1 (M753), 4 (M760), 7 (M754), 8 (M759).

lớp 8

1. Đáp số: $r_1 r_2$. Lời giải. Đường thẳng $O_1 O_2$ là trục đối xứng của góc $MO_1 K$ và cả hai đường tròn nên tứ giác $MO_1 KO_2$ được đường này chia thành hai tam giác bằng nhau và $S_{MO_1 KO_2} = 2 S_{O_1 MO_2}$. Hơn nữa, nếu bán kính $O_1 M$ được lấy làm đáy của tam giác $O_1 MO_2$, thì chiều cao của nó sẽ là bán kính $O_2 H$ của hình tròn thứ hai được vẽ đến điểm tiếp tuyến $H$ (Hình 8). Tất cả những gì còn lại là sử dụng công thức tính diện tích hình tam giác.

Hình 8.

2. Đáp số: ba số. Lời giải. Hãy viết ra một số thuật ngữ đầu tiên
   $$(a_n) = 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$$
   $$(b_n) = 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...$$

Ta thấy các số 1, 2, 3 xuất hiện ở cả hai dãy. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng tất cả các thành viên của chuỗi thứ hai, bắt đầu bằng $b_4$, không xuất hiện trong chuỗi đầu tiên và hơn nữa, được đặt trong một chuỗi giữa các thành viên lân cận của nó:
$$n \geq 4$$
$$a_{n-1} < b_n < a_n.$$

Để làm điều này, chúng ta thay thế cho $n=4$ và $n=5$ () là đúng và nếu () đúng với hai giá trị lân cận $n=k$ và $k+1$ thì (*) cũng sẽ đúng với $n=k+2$: cộng các bất đẳng thức

$$b_k < b_{k+1} < a_{k+1},$$
$$a_{k-1} < b_k < a_k$$

63

hoặc đến vào Chủ Nhật, khi không có II, hoặc vào thứ Bảy, khi cũng có II. Vẫn còn phải xem liệu cậu bé I có thể đến thư viện vào thứ bảy khi II và III ở đó hay không. Không khó để thấy rằng anh ấy có thể làm được (xem bảng). Nhiệm vụ lời giải.
2. Đáp số: $k^2$. Lời giải. Trong các ký hiệu thể hiện trong hình 9
$$\gamma = \pi - \alpha - \beta, \delta = \alpha + \beta, \varepsilon = 2\pi - 2\alpha - 2\beta = 2\gamma.$$
Chúng ta hãy nối $M$ với tâm của hình bình hành $O$.

Hình 9.

Điểm $O$ cách đều các đường thẳng $AD$ và $AM$, $BC$ và $BM$, $AD$ và $BC$ và do đó với $AM$ và $BM$ - MO là đường phân giác của góc $AMB$.

Do đó, $\widehat{OA} = \widehat{OM} = \frac{\varepsilon}{2} = \gamma$ và ta được hai cặp tam giác đồng dạng:
$$\Delta AOD \sim \Delta AMO \Rightarrow x = |OM| \cdot k$$ và $$\Delta BOC \sim \Delta BMO \Rightarrow y = |OM| \cdot \frac{1}{k}.$$
Vì vậy, $x/y = k \cdot \frac{1}{k} \cdot |OM| / \frac{1}{k} \cdot |OM| = k^2$.

5. Bằng chứng. Áp dụng bất đẳng thức về số trung bình ($\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$) cho vế trái của bất đẳng thức đang được chứng minh, ta thu được
   $$2^{1/2}x + 2^{1/4}x \geq 2 \cdot 2^{1/2}x + 2^{1/4}x.$$
   Áp dụng bất đẳng thức tương tự cho số mũ, ta có
   $$\frac{1/2x + 1/4x}{2} \geq \sqrt{1/2x \cdot 1/4x} = 5x.$$
   Từ hai bất đẳng thức này ta có chứng minh sau.
6. Bằng chứng. Hãy xem xét hình 12 ô được hiển thị trong Hình 11. Nó

Hình 10. Hình 11.

có tính chất là mỗi ô của nó được bao quanh bởi ít nhất bốn ô có cùng hình dạng. Vì vậy, ô của hình trong đó số nhỏ nhất của hình này được ghi sẽ là ô mong muốn (có thể có một số ô như vậy).

Bình luận. Thật dễ dàng để xây dựng một ví dụ cho thấy số 4 trong điều kiện bài toán không thể tăng lên: ví dụ: trong ô có tọa độ $(x, y)$ chúng ta viết số $x + 2y$.

8. Bằng chứng. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng tổng của tất cả các số đã cho không âm - nếu không thì các đối số sau đây sẽ áp dụng cho các số $-a_1, -a_2, \dots, -a_n$.

Đối với tất cả các cặp chỉ số $(i, k)$ sao cho $i, k = 0, 1, 2, i \neq k$, chúng ta biểu thị bằng $C_{ik}$ tập hợp bao gồm, thứ nhất, tất cả các số của một dãy cho trước mà các số của chúng khi chia cho 3 thì có số dư $i$, và thứ hai, là tất cả các số dương của dãy có số khi chia cho 3 thì có số dư $k$. Đối với mọi $i$ và $k$, tập hợp $C_{ik}$ thỏa mãn các điều kiện (a) và (b) bài toán. Hãy chứng minh rằng trong $C_{ik}$ có tập hợp thỏa mãn điều kiện (c).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $C_{ik}$ tổng của tất cả các số có trong $C_{ik}$. Tổng cộng
$$S = \bar{C}_{01} + \bar{C}_{02} + \bar{C}_{10} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{20} + \bar{C}_{21}$$
tất cả các số dương của một dãy đã cho được bao gồm bốn lần và tất cả các số âm được bao gồm hai lần. Vì tổng của tất cả các số không âm nên $S$ không nhỏ hơn hai lần tổng của các số dương, do đó tổng của các số dương không nhỏ hơn $|a_1| + \dots + |a_n|$. Vì thế,
$$S \geq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|,$$
và từ (*) suy ra điều đó đối với một số cặp chỉ số $(i, k)$
$$|\bar{C}_{ik}| \geq (|a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|)/6.$$

Điều cần thiết đã được chứng minh.
Bình luận. Như trình tự cho thấy
$$1, 1, 1, -1, -1, -1,$$
không thể có hằng số 1/6 trong điều kiện nhiệm vụ.

lớp 10

2. Xem lời giải bài toán 2 từ lớp 9.
3. Đáp số: không tồn tại. Lời giải. Hãy giả sử điều ngược lại. Sau đó, chúng ta chọn giá trị trung bình nhỏ nhất của tất cả các số tự nhiên chia hết cho $A = 1, 1, 1, \dots, 1$ và có tổng các chữ số nhỏ hơn $m$. Hãy biểu thị nó bằng $B$. Vì các số $A, 2A, 3A, \dots, 9A$ có tổng các chữ số không nhỏ hơn $m$ nên ta có
   $$B \geq 10A = 10 \cdot \frac{10^m - 1}{9} \geq 10^m.$$

Cho phép
$$B = k_r \cdot 10^r + \dots + k_1 \cdot 10 + k_0,$$
trong đó $k_r, k_{r-1}, \dots, k_1, k_0$ là các chữ số của số $B$, $0 \leq k_j \leq 9$, $j = 0, 1, \dots, r-1$, $1 \leq k \leq 9$. Từ (*) suy ra $r \geq m$. Vì $10^m - 1 = 9A$ chia hết cho $A$ nên số
$$B_1 = B - (10^r - 10^{r-m}) = B - 10^{r-m} \cdot (10^m - 1)$$
chia hết cho $A$. Ngoài ra, nó nhỏ hơn $B$ và khác 0 (tổng các chữ số của số tự nhiên

64

số $B$ nhỏ hơn $m$). Thật vậy, nếu $k_{r-m} < 9$ thì tổng các chữ số của số $B_1$ bằng tổng các chữ số của số $B$. Nếu $k_{r-m} = 9$ thì tổng của hình $B_1$ thậm chí còn nhỏ hơn tổng của hình $B$. Vì vậy, giả định ban đầu là không chính xác.

5. Bằng chứng. Chúng ta hãy chứng minh rằng có thể đạt được các hoán vị sao cho tất cả các ô xuất sắc đều nằm bên dưới đường chéo và di chuyển từ góc trên bên trái của bảng xuống góc dưới bên phải. Vì chỉ có $n-1$ ô hoàn hảo nên một số cột $n$ không có ô hoàn hảo nào cả—chúng tôi sắp xếp lại cột đó với cột ngoài cùng bên phải. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các hàng của bảng. Tất cả các ô bên phải của chúng sẽ không bị hủy, nhưng ở một số hàng sẽ có các ô bị hủy - hãy thay đổi hàng này từ dưới lên (xem Hình 10). Hãy thực hiện quy trình tương tự với một hình vuông gồm $(n-1) \times (n-1)$ ô liền kề với góc trên bên trái, v.v., cho đến khi tất cả các ô xuất sắc đều nằm dưới đường chéo được đề cập.

6. Bằng chứng. Chúng ta hãy biểu thị số lượng dân số $\{0, 1, 2, \dots, n\}$ bằng $a_0, a_1, \dots, a_n$ để thỏa mãn các bất đẳng thức
   $$|a-a_0| \leqslant |a-a_1| \leqslant \dots \leqslant |a-a_n|.$$
   Đối với mỗi số tự nhiên $k$, khoảng $|x-a| < k/2$ chứa tối đa $k$ số từ tập hợp của chúng ta. Do đó, đối với các giá trị $k$ từ 1 đến $n$ các bất đẳng thức sau là hợp lệ:
   $$|a-a_k| \geqslant k/2.$$
   Hơn nữa, hiển nhiên là $|a-a_0| \geqslant \langle a \rangle$. Sau khi nhân tất cả những bất đẳng thức này, chúng ta nhận được

$$|a| \cdot |a-1| \cdot \dots \cdot |a-n| = |a-a_0| \cdot |a-a_1| \cdot \dots \cdot |a-a_n| \geqslant \langle a \rangle \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n}{2} = \langle a \rangle \frac{n!}{2^n},$$
đó là những gì được yêu cầu.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 9)

Task 17 (K. Vetini, 1923). The pawn must be promoted, but into what form? 1. e8C thua? Kf6! 2. C:f7 Kh5! 3. C:h5. Black secured his pawns and won the game by suppression! 1. e8K cũng không được? Kf6! 2K:f6 h5 3. K:h7 f6 4. K:f6 h4 rồi quân Tốt của Đen lên hạng đầu tiên, biến thành quân tượng, có thể dễ dàng tách ra (tương tự như 3. K:h5). It is easy to check that Black wins in suppressions and when a white pawn is promoted to a queen or rook.

Giải 1. e8Kр! The pawn becomes the king! 1…Kf6 2. Kp:f7 Kg8 3. Kp:g8 h5 4. Kp:h7 h4 5. Kpg6 h3 6. Kpg5 h2 7. Kpg4! h1Kр! With another pawn promotion, the white king immediately comes under attack. Teller kings will not approach each other closer than 2 squares (the one who makes the next one loses). Không có gì.

Nhiệm vụ 18. Lb6! C:a2 2. Rg6 C:b1 3. g5 C:c2 4. g4 C:d3 5. Ch4! C:e4 6. g3 C:g6. White stalemate, the battle in suppression ended in their crawl.

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov
Phó tổng biên tập: M. N. Danilcheva, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Sollovev
Tuyển tập biên tập: L. G. Aslamazov, M. I. Bashmkov, V. E. Belonchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Bruk, V. V. Vavilov, N. V. Vasiliev, S. M. Voronin, B. V. Gnedenko, V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov, A. R. Zilberman, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, A. A. Mikhailov, E. M. Nikshin, S. P. Novikov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. B. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Editorial Board: A. M. Baldin, S. T. Belev, B. B. Bukhovtsev, E. P. Velikov, I. Ya. Verchenko, B. V. Vozvvizhensky, G. V. Dorofeev, N. A. Ermolaeva, A. P. Ershov, Yu. B. Ivanov, L. V. Kantorovich, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeeva, A. V. Peryshkin, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được phát hành:

Trưởng biên tập L. Chernova
Biên tập nghệ thuật T. Makarova
Người hiệu đính N. Dorokhova
103006, Mátxcơva, K-6, st. Gorki, 32/1,
«Kvant», điện thoại. 251-82-42

Giao hàng vào ngày 16/10/82. Đã ký để in 1.12.82
in offset
Giấy 70×108 1/16. Vật lý. lò 4
Lò nướng có điều kiện l. 5.60 Biên tập học thuật. tôi. 7.07 T-20950
Lưu hành 175044 bản. Giá 40 kopecks. Đặt hàng 2601

Huân chương Lao động Đỏ Zamenich
Nhà máy in Chekhov
VO “Soyuzpoligraphprom” Ủy ban Nhà nước Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Thương mại Sách
G. Chekhov, khu vực Moscow