Ý nghĩa vật lý của hằng số khí phổ quát

37

$$\Delta P = 2 \cdot \frac{1}{2} n S v_x t \cdot m v_x = n S m v_x^2 t.$$

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy xung từ lớp của chúng tôi đến từ đâu, hướng dọc theo trục $X$ và bằng $F_x t$. Vì vậy, $F_x t = n S m v_x^2 t$.

Giảm $t$ và chia cả hai vế của đẳng thức này cho $S$, chúng ta thu được biểu thức cho áp suất khí trên thành bên phải của bình:

$$p = \frac{F_x}{S} = n m v_x^2.$$

(1)

Lặp lại lý luận cho tường vuông góc với trục $Y$ và $Z$, ta thu được

$$p = n m v_y^2,$$

(2)

$$p = n m v_z^2.$$

(3)

Tất nhiên, áp suất $p$ lên tất cả các bức tường là như nhau. Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) theo từng số hạng, ta thu được

$$3 p = n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right),$$

hoặc

$$p = \frac{1}{3} n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right).$$

(4)

Trên thực tế, các giá trị của $v_x$, $v_y$ và $v_z$ là khác nhau đối với các phân tử khác nhau (do tính chất ngẫu nhiên trong chuyển động của chúng). Do đó, ở vế phải của đẳng thức (4) cần thay thế các giá trị trung bình của chúng $\bar{v}_x^2$, $\bar{v}_y^2$ và $\bar{v}_z^2$ thay vì $v_x^2$, $v_y^2$ và $v_z^2$. Tổng của $\bar{v}_x^2 + \bar{v}_y^2 + \bar{v}_z^2$ bằng $\bar{v}^2$ thì cuối cùng

$$p = \frac{1}{3} n m \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n \frac{m \bar{v}^2}{2}.$$

Ý nghĩa vật lý của hằng số khí phổ quát

Phương trình trạng thái của khí lý tưởng (phương trình Mendeleev-Clapeyron)

$$p V = \frac{m}{M} RT$$

bao gồm hằng số khí phổ quát $R$. Nó được biết là bằng tích của hai hằng số khác—số Avogadro $N_A$ và hằng số $k$:

$$R = N_A k.$$

Các hằng số $N_A$ và $k$ có ý nghĩa rõ ràng: $N_A$ là số phân tử hoặc nguyên tử có trong một đơn vị chất, tức là mol; $k$ là hằng số xác định mối quan hệ giữa nhiệt độ tính bằng kelvin và nhiệt độ tính bằng đơn vị năng lượng. Nhưng sự kết hợp của $N_A$ và $k$—hằng số $R$—có một ý nghĩa vật lý nhất định (có lẽ nhiều người sẽ thấy bất ngờ).

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng 1 mol khí lý tưởng đựng trong một bình có pít-tông chuyển động và khi đưa một vật vào nó hoặc lấy một vật ra khỏi bình, nhiệt độ của nó thay đổi 1 kelvin. Do bình được đóng lại bằng một pít-tông chuyển động nên áp suất khí sẽ không đổi (và bằng áp suất bên ngoài).

Viết phương trình trạng thái của khí trước và sau khi đun nóng:

trước khi đun nóng $p V_1 = RT$,

sau khi nung nóng $p V_2 = R (T + \Delta T)$, trong đó $\Delta T = 1$ K. Trừ đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai, chúng ta nhận được

$$p \left( V_2 - V_1 \right) = RT + R \Delta T - RT = R \Delta T.$$

Vế trái của phương trình này biểu thị công do lực áp suất khí (hoặc ngoại lực tác dụng lên lực áp suất) thực hiện khi, ở áp suất không đổi $p$, thể tích khí tăng (hoặc giảm) từ $V_1$ đến $V_2$. Do đó, hằng số khí $R$ bằng công thực hiện bởi 1 mol khí lý tưởng, nở ra khi đun nóng thêm 1 K ở áp suất không đổi.

Tất nhiên, với việc làm lạnh đẳng áp 1 mol khí đi 1 K, ngoại lực tác dụng lên piston cũng bằng độ hoàn hảo.