Và nếu... thì sao?

39

Và nếu…,
sau đó thì sao?

Ứng viên khoa học sư phạm
I. L. NIKOLSKAYA,
N. G. SABLINA

Kết thúc buổi học cuối cùng, Tatyana Ivanovna, giáo viên chủ nhiệm của họ, bước vào lớp nơi Petya đang học.

“Các bạn,” cô nói, “Tôi có một tin vui cho các bạn: 20 học sinh trong lớp sẽ đến Moscow vào mùa hè.”

“Hoan hô!” mọi người hét lên.
– Ai sẽ đến Moscow? - Petya hỏi.

Tatyana Ivanovna trả lời: “Để đến Moscow, chỉ cần kết thúc năm học không có điểm C là đủ.

Petya phấn khích trở về nhà. Kata ngay lập tức nhận ra điều này và hỏi có chuyện gì vậy. Petya kể cho cô nghe về chuyến đi Moscow.

“Chà,” Kata dài giọng, “năm nay cậu sẽ đạt điểm C môn tiếng Nga và có thể cả môn toán nữa.”

“Katka nói đúng,” Petya nghĩ. “Năm nay tôi vẫn có thể đạt điểm B môn toán, nhưng môn tiếng Nga… Tôi sẽ đến gặp Mitya; anh ấy là sinh viên, anh ấy phải nghĩ ra được điều gì đó.

Mitya chăm chú lắng nghe Petya và khuyên anh đừng bỏ cuộc quá sớm.

“Đúng,” Petya buồn bã nói, “Tatyana Ivanovna, bạn biết cô ấy là người như thế nào: nếu cô ấy đã nói rồi thì chắc chắn cô ấy sẽ làm được.”

Mitya nói: “Đợi đã, chúng ta hãy tìm hiểu xem”. “Câu “Để đến Moscow, tất cả những gì bạn phải làm là kết thúc năm học mà không có điểm C?” Điều tương tự có thể được nói như thế này:

“Nếu một học sinh kết thúc năm học mà không đạt điểm C, anh ta sẽ đến Moscow.” Câu phức tạp này được hình thành bằng cách sử dụng liên kết logic “nếu… thì…” từ hai câu đơn giản: “Học sinh sẽ kết thúc năm học mà không đạt điểm C” và “Anh ấy sẽ đến Moscow”. Chúng ta hãy biểu thị câu đầu tiên bằng chữ A và câu thứ hai bằng chữ B. Tuy nhiên, điều đó thật dễ dàng - suy cho cùng, tính đúng hay sai của những câu này phụ thuộc vào học sinh mà họ đăng ký: một học sinh có thể kết thúc năm học với điểm C, và một học sinh khác không có điểm C; một người sẽ đến Moscow, còn người kia thì không

40

det. Vì vậy, những cụm từ này là những câu có một biến, không phải một câu lệnh; đặt nó - bạn đã đọc về điều này trong Đại số 6 chưa? Chúng ta hãy biểu thị chúng không phải bằng $A$ và $B$ mà bằng $A(x)$ và $B(x)$, trong đó $x$ có thể là bất kỳ học sinh nào trong lớp. Bây giờ, bằng cách sử dụng các dấu hiệu của logic toán học, chúng ta sẽ viết cụm từ của Tatyana Ivanovna như thế này:

$(\forall x)[A(x) \Rightarrow B(x)]$; (1)

Dấu $\forall$ được sử dụng trong toán học cùng với các từ “any”, “any”, “every”. Do đó, cụm từ của Tatyana Ivanovna ở dạng (1) có thể được đọc như sau: “Bất kỳ học sinh nào kết thúc năm học mà không có dấu vết sẽ được đón ở Moscow.” Tuy nhiên, trong công thức bằng lời nói, các từ “bất kỳ”, v.v. thường bị bỏ qua - chúng được ngụ ý. Đó là lý do tại sao chúng ta có thể nói: “Nếu một học sinh kết thúc năm học mà không có thành tích, thì anh ta sẽ bị từ chối ở Moscow,” tức là $A(x) \Rightarrow B(x)$ (2)

Thay vì “Nếu $A(x)$ thì $B(x)$” họ cũng nói “Từ $A(x)$ theo sau $B(x)$”. Bạn nghĩ khi nào chúng ta có thể nói rằng giáo viên đã không giữ lời hứa?

Petya trả lời: “Nếu có một sinh viên kết thúc năm học không thành tích, nhưng ở Moscow, anh ấy không trượt.

— Đúng vậy, đối với một học sinh như vậy, câu $A(x)$ là đúng và $B(x)$ là sai; do đó khẳng định (2) là sai. Bây giờ hãy cho tôi biết trong trường hợp nào Tatyana Ivanovna sẽ thực hiện lời hứa của mình.

— Nếu tất cả học sinh đã hoàn thành năm học không có dấu vết sẽ được đưa đến Moscow.

• Phải. Tatyana Ivanovna nên làm gì với những học sinh đạt điểm “C” hàng năm? Nếu cô ấy không nhận một học sinh như vậy ở Moscow, tất nhiên cô ấy sẽ không thất hứa (do đó, khi $A(x)$ và $B(x)$ là sai, thì $A(x) \Rightarrow B(x)$ là đúng). Nhưng, nếu Tatyana Ivanovna vẫn nhận một học sinh như vậy ở Moscow, cô ấy cũng sẽ không thất hứa! Hãy nhớ những gì cô ấy nói: “Để đến Moscow, chỉ cần kết thúc một năm học không có dấu vết là đủ”.

Đủ, nhưng không cần thiết! Bạn có thể khác biệt trong một số vấn đề khác. Nhưng bạn là môn thể thao của chúng tôi!

• Chuyện gì đang xảy ra thế này! - Petya kêu lên. — Hãy áp dụng $A(x)$ và đúng $B(x)$ lần nữa $A(x) \Rightarrow B(x)$ có ​​đúng không? Điều này có nghĩa là tôi vẫn còn cơ hội đến Moscow.

“Vì vậy,” Mitya tiếp tục, “câu (1) chỉ sai trong một trường hợp: nếu có $x$ mà $A(x)$ là đúng và $B(x)$ là sai.” Hãy ghi lại “nghiên cứu” của chúng ta vào một bảng:

| $A(x)$ | $B(x)$ | $A(x) \Rightarrow B(x)$ |
| :— | :— | :— |
| VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | L |
| L | VÀ | VÀ |
| L | L | VÀ |

Theo nghĩa này, từ nối “If…, then…” được sử dụng trong toán học: câu $A \Rightarrow B$ sai khi và chỉ nếu $A$ đúng và $B$ sai; trong ba trường hợp còn lại thì đúng. Bảng của chúng tôi xác định chính xác định nghĩa của từ kết hợp “If…, then…”. Lấy ví dụ: câu lệnh “Mọi số $n$ chia hết cho 4 đều là số chẵn”. Tất nhiên bạn hiểu rằng nó có dạng (1). Ở dạng (2), nó sẽ trông như thế này: “Nếu $n$ chia hết cho 4 thì nó là số chẵn.” Bạn có nghĩ điều này là đúng?

“Tôi hiểu rồi, đúng vậy,” Petya trả lời, “ngay cả một học sinh lớp ba cũng biết điều đó.”

• Vậy hãy cho tôi biết câu nói “Nếu 18 chia hết cho 4 thì 18 là số chẵn” có đúng không?

“Nhưng 18 không chia hết cho 4,” Petya nghi ngờ.

“Chà, những gì không được chia sẻ,” Mitya phản đối, “đó không phải là những gì tôi đang chia sẻ!” Suy cho cùng, chính bạn đã nói rằng câu “Nếu $n$ chia hết cho 4 thì nó là số chẵn” là đúng, tức là đúng với mọi giá trị của $n$. Và nếu vậy thì câu “Nếu 18 chia hết cho 4 thì 18 là số chẵn” (hàng thứ ba của bảng), và câu “Nếu 17 chia hết cho 4 thì 17 là số chẵn” (dòng thứ tư của bảng), và câu “Nếu 16 chia hết cho 4 thì 16 là số chẵn” (dòng đầu tiên của bảng) là đúng. Và chỉ phục vụ

41

Sẽ không có “A(n) true, B(n) false” (hàng thứ hai của bảng) cho câu lệnh này đối với bất kỳ giá trị nào của n; đó là lý do tại sao tuyên bố này là đúng. Nói cách khác, từ khẳng định “Số n chia hết cho 4” sẽ dẫn đến khẳng định “Số n chẵn”. Bạn nghĩ sao, câu đầu tiên có tiếp nối câu thứ hai không?

“Không,” Petya nói nhanh, “dù sao thì 2 cũng là số chẵn, nhưng không chia hết cho 4.”

“Làm tốt lắm,” người bạn Mitya chúc mừng anh.

“Sấm sét sẽ tấn công tôi nếu tôi không sửa chữ C trong môn toán!” Petya vui mừng hét lên.

“Tất nhiên, bạn sẽ sửa chữ C trong toán học và sấm sét sẽ không đánh trúng bạn,” Mitya cười. “Hãy hy vọng rằng câu cảm thán của bạn là một câu nói đúng với A và B sai. Kozma Prutkov khôn ngoan nhất thích thốt ra những câu đúng như vậy.” Ông thường nói: “Nếu bóng của các vật thể không phụ thuộc vào kích thước của chúng mà phụ thuộc vào sự phát triển tùy ý của chúng, thì có lẽ sẽ sớm không còn một điểm sáng nào trên toàn cầu”.

Nhưng hãy quay lại với toán học. Tôi thấy bạn hiểu rõ ý nghĩa của từ “Từ A đến B”. Nếu hai câu lệnh nối tiếp nhau thì các câu lệnh đó được gọi là tương đương.

Bạn biết đấy, bố mẹ tôi đã từng nói với tôi, chị gái Galya và anh trai Kolya của tôi: “Nếu chúng ta vào nhà nghỉ, thì các bạn sẽ vào trại”. Ở trường người ta hỏi chúng tôi sẽ đi đâu vào mùa hè. Galya trả lời: “Nếu chúng ta đến trại thì bố mẹ sẽ về nhà nghỉ. Kolya nói, “Nếu mẹ và mẹ không đến nhà nghỉ thì chúng ta sẽ không đến trại.” “Anh nhầm lẫn mọi thứ rồi,” tôi nói. “Người ta nói: “Nếu chúng ta không đi cắm trại thì bố mẹ sẽ không về nhà nghỉ”.

“Đúng, nhưng bạn cũng không nói điều đó giống bố mẹ mình,” Petya lưu ý.

• Đúng vậy, - Mitya đáp, - nhưng cùng một điều có thể được nói theo nhiều cách khác nhau. Hãy làm lại cái bàn. Gọi A là viết tắt của câu “Bố mẹ sẽ đi đến nhà nghỉ dưỡng”, và B là viết tắt của “Chúng ta sẽ đi cắm trại”. Khi đó những gì cha mẹ nói sẽ được viết là “If A, then B,” đáp số Gali sẽ được viết là “If B, then A,” đáp số Koli sẽ được viết là “If not A, then not B,” và đáp số của tôi sẽ được viết là “If not B, then not A.”

Bây giờ chúng ta hãy tạo một bảng, hãy nhìn vào bảng trước. Vì mỗi câu A, B có thể đúng hoặc sai nên nó sẽ có 4 dòng. Để dễ đếm hơn, chúng tôi viết sau các cột cho A và B các cột “không phải A” và “không phải B” (“không phải A” đúng khi A sai và sai khi A đúng; tương tự, “không phải B”). Chúng ta chỉ cần viết lại cột cho “nếu A thì B” từ bảng trước đó. Và các cột cho ba câu còn lại được điền theo quy tắc chung: “L” được viết khi và chỉ nếu tiền đề (nằm giữa “if” và “then”) là đúng và kết luận (cái đứng sau “then”) là sai. Kết quả là chúng ta có được bảng sau:

| A | B | không phải A | không phải B | nếu A thì B | nếu B thì A | nếu không phải A thì không phải B | nếu không phải B thì không phải A |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| VÀ | VÀ | L | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |

Bạn thấy rằng câu “If A, then B” (điều bố mẹ nói) chỉ tương đương với câu “If not B, then not A” (điều tôi nói). Vậy là chỉ có tôi mới truyền đạt đúng ý nghĩa lời cha mẹ tôi nói. Galya và Kolya cũng nói những điều tương tự, nhưng không giống bố mẹ họ.

“À,” Petya dài giọng, “điều đó có nghĩa là lẽ ra tôi không nên bị Katya xúc phạm.” Mẹ nói với tôi: “Nếu tuần này con đi xem phim thì hãy làm hết bài tập về nhà trước đã” và Katka nói: “Nếu con không làm bài tập về nhà thì con sẽ không đi xem phim”. Hóa ra họ cũng nói điều tương tự!

“Tất nhiên,” Mitya mỉm cười, “Cả hai đều nói rằng để đi xem phim, trước tiên bạn phải làm hết bài tập về nhà.”

42

Petya, sau khi nhanh chóng hoàn thành bài tập về nhà, đi xem phim và đối với bạn, độc giả, chúng tôi đề nghị bạn giải một số bài toán.

Bài tập

1. Khẳng định nào sau đây là đúng và khẳng định nào sai?
   a) Nếu Paris nằm trên sông Seine thì Úc nằm ở bán cầu bắc.
   b) Nếu Úc ở Bắc bán cầu thì Paris nằm bên sông Seine.
   c) Nếu Úc ở Bắc bán cầu thì Paris nằm trên sông Thames.
   d) Nếu 1 = 0 thì 2 = 1.
   e) Nếu 1 = 0 thì 2 = 2.

2. Với mọi x và y các mệnh đề sau đều đúng:
   a) “Nếu x là anh trai của y thì y là anh trai của x”?
   b) “Nếu x là anh em của y thì x và y là họ hàng”?

3. Câu nói “Nếu một học sinh học nhiều thì cậu ấy sẽ đậu kỳ thi thành công” có bắt nguồn từ câu nói “Một học sinh thi trượt là không học nhiều” không?

Thay đổi hình dạng của Trái đất và chuyển động quay của nó
(Để bắt đầu, xem trang 25)

Thứ hai, điều này là chưa đủ, mà độ dài ngày tăng liên tục còn cộng thêm sự thay đổi theo mùa trong chuyển động quay của Trái đất, gây ra bởi các chuyển động khác nhau của khối lượng khí quyển và đại dương. Thứ ba, tốc độ quay của Trái đất thay đổi (thường là theo bước nhảy) trong các trận động đất làm di chuyển khối lượng bên trong Trái đất. Ví dụ, những chuyển động này, như một quy luật, có xu hướng làm cho hình Trái đất trở nên hình cầu hơn (như được thể hiện bằng các mũi tên trong hình), trong khi tốc độ quay của Trái đất tăng lên.

Đặc biệt, tốc độ quay tăng lên như vậy được quan sát thấy trong khoảng thời gian từ 1973 đến 1978, khi độ dài của ngày giảm đi 0,006 s. Trong những quan sát này, người ta thu được thông tin về sự thay đổi đều đặn của gia tốc rơi tự do.

Khi Trái đất có hình dạng gần giống hình cầu, lực gia tốc cũng có xu hướng đạt giá trị trung bình là 9,7977 m/s², tăng ở vĩ độ thấp và giảm dần về phía bắc và nam ở vĩ độ 35°. Bây giờ đã rõ tại sao những thay đổi đầu tiên cho thấy tốc độ giảm dần: Moscow, Novosibirsk và Potsam nằm ở vĩ độ từ 52 đến 56°.