Lời giải bài toán M811—M815; F823—F827

46

P839. Nếu đặt một cây bút chì có tiết diện lục giác trên một mặt phẳng nghiêng (tạo thành góc $a$ với mặt phẳng ngang) vuông góc với giao điểm $l$ của các mặt phẳng này thì bút chì đứng yên. Đặt song song với $l$, nó lăn xuống. Với góc $\varphi$ nào giữa trục của bút chì và $l$ (xem hình 3), bút chì sẽ giữ thăng bằng?

S. S. Krotov

P840. A flat $10 \times 10$ cm box placed horizontally contains 1000 small steel ball-bearings of mass $m = 0.5$ mg each, mixed at random. The box starts to move with velocity $v_0 = 10$ m/s perpendicularly to one of its sides. Assuming the collisions of the ball-bearings with each other and the walls of the box absolutely elastic, determine: a) what impulses will the ball-bearings communicate to each of the walls during the first 10 seconds; b) what impulses will the walls get in the 10 seconds following a sudden braking of the box to a stop.

A. R. Zilberman

P841. Tàu đổ bộ từ tàu vũ trụ tiếp cận bề mặt hành tinh với vận tốc không đổi, truyền dữ liệu về áp suất bên ngoài tới tàu mẹ. Đồ thị áp suất $p$ (theo đơn vị có điều kiện) là hàm của thời gian $t$ được vẽ trên hình 4. Sau khi hạ cánh, tàu đo nhiệt độ và gia tốc trọng trường: $T = 700$ K, $g = 10$ m/s$^2$. Xác định vận tốc đi xuống của tàu đổ bộ, nếu biết bầu khí quyển của hành tinh này có chứa carbon dioxide ($\text{CO}_2$). Xác định nhiệt độ ở độ cao $h = 15$ km so với bề mặt hành tinh.

A. I. Buzdin

P842. Trong mạch như hình 5, công tắc $K$ được bật. Tìm giá trị đã thiết lập của dòng điện chạy qua cuộn dây có độ tự cảm $L$ và điện trở tác dụng $r$. Điện tích nào sẽ chạy qua điện kế $I$ sau khi $K$ được bật? Các tham số của các phần tử hiển thị trên hình được coi là đã biết. Điện trở trong của nguồn và điện trở của điện kế không đáng kể.

V. V. Mojaev

Lời giải bài toán

M811—M815; F823—F827

Chúng ta hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức được chứng minh bằng diện tích của tam giác $S$ và sử dụng các công thức

$$S = \frac{ah}{2} = \frac{bh}{2} = \frac{ch}{2} = r \frac{a+b+c}{2}.$$

Sau đó nó sẽ xuất hiện

$$\frac{m_a \cdot a}{2} + \frac{m_b \cdot b}{2} + \frac{m_c \cdot c}{2} \leq S + R \frac{a+b+c}{2}$$

hoặc

$$\frac{(m_a - R)a}{2} + \frac{(m_b - R)b}{2} + \frac{(m_c - R)c}{2} \leq S.$$

Rõ ràng là giá trị $m_a - R$ không vượt quá khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh $BC$ (xem hình), tức là chiều cao của tam giác $OBC$. Do đó, số hạng đầu tiên ở vế trái của bất đẳng thức () không lớn hơn diện tích tam giác $OBC$. Tương tự, hai số hạng còn lại không vượt quá diện tích của các hình tam giác lần lượt là $OCA$ và $OAB$. Điều này chứng tỏ bất đẳng thức (), và cùng với nó là bất đẳng thức bài toán.

Từ chứng minh, rõ ràng đẳng thức chỉ đúng với tam giác đều. Cũng lưu ý rằng vì đường trung bình luôn không nhỏ hơn chiều cao nên

48

a) Giải thích tại sao bốn số liên tiếp bị hủy không thể xảy ra.

Chứng minh rằng trong số các số xuất sắc có vô số cặp b) cặp $\theta^*$) dãy số liên tiếp.

Đầu tiên là lời giải. Tiếp tục lý luận ở điểm 6), xét ba số liên tiếp $n^2k^2-1, n^2k^2$ và $n^2k^2+1$, trong đó $n^2=a^2+b^2$. Số thứ hai và thứ ba trong số này là tổng của hai bình phương cho tất cả $k=1, 2, \dots$, vì vậy bài toán sẽ được giải nếu chúng ta có thể tìm được $n$ sao cho đối với một tập hợp vô hạn các số $k$ tự nhiên, số $n^2k^2-1$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số bình phương.

Hãy lấy $n=17$ $(17^2=8^2+15^2)$. Chúng ta hãy biểu diễn số $n^2k^2-1$ dưới dạng sau: $n^2k^2-1=(17k)^2-1=(17k-1)^2+(34k-2)$ và chứng minh rằng số $34k-2$ là một bình phương chính xác của tập hợp vô hạn $k$.

Hãy để $34k-2=(2m)^2$. Sau đó $k=(2m^2+1)/17$. Nó là số nguyên nếu $m^2$ khi chia cho 17 thì dư 8, tức là nếu $m=17l\pm 5$ và do đó $k=34l^2\pm 20l+3$. Vì vậy, chúng ta nhận được bộ ba số xuất sắc liên tiếp sau đây: $(578l^2\pm 340l+50)^2+(34l\pm 10)^2,(510l^2\pm 300l+45)^2+(272l^2\pm 160l+24)^2,(578l^2\pm 340l+51)^2+1^2$.

lời giải thứ hai dựa trên cây linh sam xinh đẹp được viết bên lề. Từ lời nói dối này, suy ra rằng nếu chúng ta biểu diễn hai số dưới dạng tổng bình phương của hai số tự nhiên, thì tích của chúng cũng bằng tổng của hai số bình phương hoặc chính nó là một bình phương (nếu $ac-bd=0$). Cụ thể, bình phương của một số lẻ bị hủy là một số bị hủy (nếu $n=a^2+b^2$ thì $n^2=(a^2-b^2)^2+(2a^2b^2)^2$ và $a^2-b^2\neq 0$, vì $n$ là số lẻ).

Đặt $n-1, n$ và $n+1$ là số bị hủy và $n$ lẻ. Khi đó $n^2-1, n^2$ và $n^2+1$ cũng là ba số bị hủy liên tiếp. Thật vậy, $n^2-1$ là tích của các số hủy được $n-1$ và $n+1$, và bản thân số này rõ ràng không phải là số chính phương; $n^2$ - bình phương của một số hoàn hảo lẻ; $n^2+1=n^2+1^2$. Từ các số $n^2-1, n^2$ và $n^2+1$, ta thu được các số hủy được $n^4-1, n^4$ và $n^4+1$ tương tự, v.v. Do đó, bộ ba số hủy được $72, 73, 74$ cho trước trong điều kiện sẽ cho một tập hợp vô hạn có dạng $73^{2k}-1, 73^{2k}, 73^{2k}+1$ ($k=0, 1, 2, \dots$).

Thứ ba, lời giải. Xét bộ ba số liên tiếp có dạng $8n^2=(2n)^2+(2n)^2, 8n^2+1$ và $8n^2+2=(2n-1)^2+(2n+1)^2$. Hãy chứng minh rằng với $n=(m^2+m)/2$, trong đó $m=1, 2, \dots$, tất cả các số như vậy đều bị hủy. Chỉ cần xem xét các số thứ hai là đủ:

$$8n^2+1=2(m^2+m)^2+1=2m^4+4m^3+2m^2+1=\left(m^2-1\right)^2+(m^2+2m)^2.$$

lời giải này là ngắn nhất nhưng cũng giả tạo nhất trong ba.

L. D. Kurlyandchik

M815. Có 4k điểm trên vòng tròn khoảng cách, được đánh số theo thứ tự ngẫu nhiên là 1, 2, …, 4k.

a) Chứng minh rằng với khoảng cách bất kỳ của các số, có thể nối 2k điểm với các đoạn rời nhau theo từng cặp sao cho chênh lệch số ở cuối mỗi đoạn không vượt quá 3k-1.

49

6. Xây dựng ví dụ về cách sắp xếp số cho thấy số 3k-1 ở phần a) không thể thay thế bằng số nhỏ hơn.

7. Chúng ta hãy sử dụng cùng một phân vùng như trong chứng minh điểm a). Đặt 2k điểm ở hình bán nguyệt trên và hình bán nguyệt dưới và gọi tên các điểm của hình bán nguyệt trên bằng các số của nhóm thứ nhất theo thứ tự sau: 1, 3k+1, 2, 3k+2, …, k, 4k và các điểm của hình bán nguyệt dưới bằng số của nhóm thứ hai: đặt số 3k cạnh 1, số còn lại - tùy ý (xem hình). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng đối với bất kỳ kết nối nào của một điểm trên các đoạn rời rạc, sự khác biệt về số lượng ở hai đầu của một trong số chúng sẽ là 3k - 1 hoặc nhiều hơn.

Nếu đoạn nào đó nối hai điểm a và b của hình bán nguyệt trên thì hiển nhiên trên cung ab có hai điểm nối được nối bởi đoạn thẳng đó. Sự khác biệt về số lượng của chúng theo cách xây dựng là 3k - 1 hoặc 3k.

Ngược lại, bất kỳ điểm nào ở hình bán nguyệt phía trên phải được nối với một điểm ở hình bán nguyệt phía dưới. Do đó, mỗi phân đoạn kết nối số lượng của các nhóm khác nhau. Đoạn đến từ điểm 1 sẽ kết thúc ở hình bán nguyệt phía dưới và đoạn đến từ điểm kết nối 3k sẽ kết thúc ở hình bán nguyệt phía trên. Vì chúng không thể cắt nhau theo điều kiện nên đây phải là cùng một đoạn. Nó chính là số chúng ta đang tìm vì hiệu giữa các số ở hai đầu của nó là 3k-1.

A. A. Razborov

F823. Một thiên thạch bay thẳng tới hành tinh (không có đường thẳng đi qua tâm hành tinh) rơi vào trạm vũ trụ tự động, quay quanh hành tinh này theo quỹ đạo tròn bán kính R. Hậu quả của vụ va chạm là thiên thạch bị kẹt trong trạm, chuyển sang quỹ đạo mới với khoảng cách tối thiểu đến tâm hành tinh R/2. Xác định vận tốc của thiên thạch trước khi va chạm. Khối lượng của trạm gấp 10 lần khối lượng thiên thạch. Khối lượng của hành tinh là M. Hằng số hấp dẫn là G.

Gọi u là vận tốc của thiên thạch, v₁ vận tốc của trạm trước va chạm, v₂ vận tốc của trạm và thiên thạch ngay sau va chạm, m khối lượng của thiên thạch, khối lượng của trạm 10m.

Viết phương trình chuyển động của trạm trước va chạm:

$$10m \frac{v_1^2}{R} = G \frac{10mM}{R^2}.$$

Từ đây chúng ta tìm được tốc độ v₁:

$$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}.$$

Theo định luật bảo toàn vận tốc động lượng $\vec{u}, \vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$m\vec{u} + 10m\vec{v}_1 = 11m\vec{v}_2.$$

Viết định luật bảo toàn động lượng trong các hình chiếu trên trục X và Y (xem hình):

$$10mv_1 = 11mv_2x,$$

$$mu = 11mv_2y.$$

Sau va chạm, trạm chuyển sang quỹ đạo hình elip. Năng lượng cơ học của trạm có thiên thạch trong đó khi di chuyển dọc theo quỹ đạo hình elip không đổi. Kể từ đây,

$$-G \frac{11mM}{R} + \frac{11m}{2}(v_2^2 + v_1^2) = -G \frac{11mM}{R/2} + \frac{11m}{2}V^2,$$

trong đó V là tốc độ của trạm tại thời điểm tiếp cận hành tinh lớn nhất. Theo định luật thứ hai Kepler, vận tốc V và vận tốc V₂ của trạm sau va chạm có liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$VR/2 = v_2xR.$$

Giải các phương trình (1)–(4) cùng nhau và xét đến $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}$, ta tìm được vận tốc của thiên thạch u:

$$u = \sqrt{58G \frac{M}{R}}.$$

A. I. Buzdin

51

đáy a=36 cm tính từ đường thẳng. Ước tính kích thước tối thiểu của màn hình cần đặt phía sau đường kẻ để nó bao phủ toàn bộ trường hình ảnh. Màn hình nên đặt ở đâu?

kết hôn nếu khi đặt một vật thể chính xác vào một trong số chúng, hình ảnh thực của vật thể đó sẽ thu được ở vật thể kia). Chúng ta tìm khoảng cách b từ đường do của điểm B bằng công thức đường mảnh:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow b = \frac{aF}{a-F} = 12 \text{ см.}$$

Hình 1.

Hình 2.

Tại điểm B nên đặt một màn hình nhỏ, chặn sự tiếp cận của các tia sáng vào mắt.

Để ước tính bán kính R tối thiểu của màn hình, cần tính đến việc đồng tử có bán kính cuối cùng là r≈1,5 mm. Các tia sẽ không đi vào mắt nếu màn hình bao phủ toàn bộ khu vực tiếp giáp với bề mặt màn hình. Như có thể thấy từ Hình 2,

$$R = \frac{b}{a} r \approx 0,5 \text{ мм.}$$

D. V. Belov

F827. Một khối lập phương có cạnh dài a chuyển động với tốc độ v = 0,8 s (c là tốc độ ánh sáng) theo hướng vuông góc với một trong các mặt của khối lập phương. Điều gì xảy ra trong bức ảnh chụp một khối lập phương được chụp bằng máy ảnh từ xa với thời gian phơi sáng rất ngắn nếu trục quang của máy ảnh vuông góc với mặt của khối lập phương và cắt quỹ đạo của tâm của nó (Hình 1)?

Chúng ta hãy đảo ngược quá trình chụp ảnh theo thời gian một cách tinh thần: để khối lập phương chuyển động với tốc độ $-\vec{v}$, tại một thời điểm nào đó, máy ảnh sẽ phát ra một tia sáng chiếu tới khối lập phương tại thời điểm nó đi qua trục quang. Các điểm giao nhau của mặt sóng với một điểm trên khối lập phương sẽ là những điểm có ảnh thu được trong ảnh (điều này là do ánh sáng truyền đi những khoảng cách khác nhau từ các phần khác nhau của khối lập phương đến máy ảnh và do đó ở những thời điểm khác nhau).

Ở gần khối lập phương, sóng có thể được coi là phẳng (vì camera được lấy ra khỏi khối lập phương). Ánh sáng truyền đi quãng đường a từ cạnh gần đến cạnh xa của khối lập phương trong thời gian $\tau \approx a/c$.

Hình 1.

Hình 2.

Trong ảnh, ảnh các cạnh gần và xa của hình lập phương sẽ được trộn lẫn theo hướng chuyển động của hình lập phương với khoảng cách s=vτ=0,8a so với nhau. Khối lập phương trong ảnh sẽ có bề mặt nghiêng một góc $\varphi = \arcsin \frac{v}{a}$ (Hình 2).

D. Yu. Grizdorvev