Trường học yêu thích bài toán

28

Trường học yêu thích bài toán

Trong bối cảnh đó, trong phần “Trường học ở Kvant”, các bài tập toán liên quan đến khóa học ở trường sẽ được xuất bản. Không giống như “Sách giải toán Kvant”, ở đây chúng tôi sẽ đặt bài toán - “lớp toán học đường” khá nổi tiếng. lời giải của họ (thường ngắn nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện!) sẽ được xuất bản ở cuối số tạp chí tương tự. Bằng cách phân tích một cách có hệ thống những bài toán này, bạn sẽ làm quen với nhiều nguyên tắc hữu ích sẽ hữu ích cho bạn trong các bài kiểm tra và kỳ thi ở trường, khi đăng ký vào trường đại học hoặc tại Olympic. Chúng tôi hy vọng rằng Tuyển chọn trường bài toán sẽ được cả giáo viên và học sinh chuẩn bị trở thành giáo viên quan tâm.

lớp tám

1. Phân tích các biểu thức:
   a) $a^4 + 4b^4$;
   b) $a^4 + b^4$.
2. Chứng minh rằng có 4 điểm thuộc Gravenia—trung điểm hai đáy, giao điểm của hai đường chéo và giao điểm của phần kéo dài của các cạnh bên—tất cả đều nằm trên cùng một đường thẳng.
3. a) Cho hai đường thẳng song song và một đoạn $AB$ của một trong chúng nằm trên mặt phẳng. Vẽ trung điểm của đoạn $AB$ bằng một thước.
4. Hình nào được xác định trên mặt phẳng tọa độ bằng đẳng thức $|x| + |y| \leq 1$?
5. Khi máy xúc phải đào mộ. Lúc đầu, chiếc đầu tiên hoạt động miễn là chiếc máy xúc thứ hai và thứ ba có thể đào được một nửa số rãnh. Sau đó chiếc thứ hai làm việc trong khoảng thời gian bằng với thời gian mà chiếc máy xúc thứ nhất và thứ ba đào được một nửa số rãnh. Cuối cùng, sau đó, chiếc máy xúc thứ ba đã làm việc bằng thời gian của chiếc máy xúc thứ nhất và thứ hai để đào được một nửa số hào. Kết quả của công việc này là máy xúc đã đào được toàn bộ rãnh. Họ sẽ đào rãnh nhanh hơn bao nhiêu lần nếu tất cả họ làm việc cùng nhau thay vì riêng lẻ?

lớp chín
6. Hãy để $a + 4b = 2$. Giá trị tối đa mà sản phẩm $ab$ có thể nhận là bao nhiêu?
7. Một nhiệm vụ về kuntz thuần túy. Một Kunzets trung thực nhận thấy rằng trên chiếc cân mà anh ta sử dụng, một chiếc bát dài hơn chiếc kia một chút (vào thời điểm đó họ sử dụng chiếc cân có hai chiếc cốc ở đuôi tàu). Phải làm gì? Hứa với người mua là có tội nhưng tôi cũng không muốn ép mình! Lúc này, có một khách hàng bước vào cửa hàng và yêu cầu cân cho anh ta hai cân hạt. “Tôi sẽ cân quả hạch theo hai bước,” kuntz nghĩ. “Đầu tiên, tôi sẽ đặt một cân ngũ cốc lên chảo bên trái của cân và cho đủ số hạt vào chảo bên phải để cân bằng. Sau khi đưa số hạt này cho người mua, tôi sẽ đặt số pound ngũ cốc đó lên chảo bên phải của cân, bên trái tôi sẽ đổ đủ số hạt để cân lại.

8. Giả sử hàm $f(x)$ được tính theo công thức
   $$f(x) = (x^2 + 5x - 8)^{100} \cdot x^5.$$
   (1)

Nếu chúng ta thực hiện tất cả các hành động được chỉ ra ở phía bên phải của công thức (1) và các số hạng cho dưới đây, thì hàm $f(x)$ sẽ được viết dưới dạng đa thức:
$$f(x) = a_0x^{205} + a_1x^{204} + a_2x^{203} + \dots + a_{204}x + a_{205},$$
(2)
trong đó $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{205}$ là một số số (hệ số của đa thức).
a) Tìm tổng của tất cả các hệ số
$$S = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{204} + a_{205}$$
của đa thức đã chỉ ra có lũy thừa lẻ $x$.
b) Tìm tổng các hệ số
$$S_4 = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{205}.$$
9. Chứng minh rằng mọi hàm $f(x)$ xác định trên toàn bộ trục số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ.
10. Cho một đường cao trong một địa hình (một đường thẳng tam giác tùy ý) vẽ từ đỉnh đi qua giao điểm của các đường cao của tam giác nằm ở đáy. Chứng minh rằng:
a) các cạnh giao nhau của một tam giác vuông góc với nhau;
b) các độ cao còn lại của giao điểm đường thẳng tam giác với các độ cao của ranh giới tương ứng;
b) Bốn đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm;
g) tổng bình phương chiều dài của mỗi cặp cạnh chéo là như nhau.

Lớp thứ mười
11. a) Chứng minh rằng $\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} = \frac{1}{2}$.
6) Chứng minh rằng $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
12. Hình nào được xác định trong không gian tọa độ bằng đẳng thức $|x| + |y| + |z| \leq 1$?
13. Giải các phương trình:
a) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2; b)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2^x.
14. Rút gọn các biểu thức:
a) $\log_a tg \theta + \log_a tg 2^\theta + \dots + \log_a tg 88^\theta + \log_a tg 89^\theta; b)$\log_a sin 60^\circ + \log_a sin 61^\circ + \dots + \log_a sin 119^\circ + \log_a sin 120^\theta;
b) $\log_2 3 + \log_3 4 + \log_4 5 + \dots + \log_{n-2}(n-1)n.$
15. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý nằm bên trong hoặc trên biên của một tam giác đều đến các mặt của nó bằng chiều cao của tam giác đó.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi J. M. Rabbot