Bài toán M856—M860; F868—F872

32

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Các nhiệm vụ khó khăn nhất được đưa ra dấu hoa thị. Sau khi đào tạo, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề nghị cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 6 năm 1984 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 4 - 84” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M856, M857” hoặc “F868”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, được làm thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học.

CHÚ Ý!

Bài toán M846 nên được giải ở dạng tổng quát hơn: chứng minh rằng trung bình số học của độ dài các cạnh của một đa giác lồi tùy ý nhỏ hơn trung bình số học của độ dài các dizonal của nó. Thời hạn gửi lời giải được kéo dài đến ngày 30/6.

M856—M860; F868—F872

M856. a) Vẽ một tứ giác khi biết độ dài các cạnh và độ dài đoạn nối hai đường chéo.

6. Trong những điều kiện nào bài toán có lời giải?

I. Z. Titovich

M857. Trong số các số tự nhiên đầu tiên năm 1984 (từ 1 đến 1984), chúng tôi lưu ý những số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của năm lũy thừa không âm của hai (nghĩa là năm số không nhất thiết phải khác nhau 1, 2, 4, 8, …). Những số nào lớn hơn: được đánh dấu hay không được đánh dấu?

S. Stadnichenko

M858. Với các giá trị các góc α, β và γ của một tam giác nhất định thì hệ thức được thỏa mãn

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin \gamma.$$

a) Tìm α, β, γ nếu biết tam giác đó là tam giác cân (xét mọi trường hợp).

6. Một tam giác có thể là cấp tính?

b)* Góc lớn nhất của một tam giác có thể nhận những giá trị nào?

P. B. Gusyatikov

M859. Tìm số dương nhỏ nhất α ​​sao cho với bất kỳ tam thức vuông f(x) nào thỏa mãn bất đẳng thức |f(x)|<1 với 0<x<br />1, thì bất đẳng thức |f’(1)|<α giữ nguyên.

V. P. Pikulin

M860.* a) Gọi O và R là tâm và bán kính của tam giác ABC, Z và r là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, K là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại các điểm mà đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm Z nằm trên đoạn OK và |OZ|:|ZK|=3R/r.

6. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC, $\vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c$ là các vectơ đơn vị vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác và hướng ra ngoài (Hình 1). Chứng minh rằng

$$a^3\vec{n}_a + b^3\vec{n}_b + c^3\vec{n}_c = 12S \cdot M\vec{O},$$

trong đó S là diện tích tam giác ABC, M là giao điểm của các đường trung tuyến. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Chân Quán

33

F868. Các vòng $O$ và $O'$ được đặt trên các thanh cố định thẳng đứng $AB$ và $A'B'$. Một sợi chỉ không thể giãn được buộc vào vòng $O$, luồn qua vòng $O'$ và được cố định tại điểm $A'$ (Hình 2). Tại thời điểm $\angle AOO' = \alpha$, chuông $O'$ di chuyển xuống dưới với tốc độ $v$. Tìm tốc độ của vòng $O$ tại thời điểm này.

S. S. Krotov

F869. Chiều dài thẳng đứng của ống gạch được lấp đầy bằng gang. Đầu dưới của ống được duy trì ở nhiệt độ $T_1 > T_{nл}$ ($T_{nл}$ là điểm nóng chảy của gang), đầu trên được duy trì ở nhiệt độ $T_2 < T_{nл}$. Độ dẫn nhiệt của gang nóng chảy lớn hơn $k$ lần so với sắt đặc. Phần nào của kim loại ở trạng thái nóng chảy?

A. I. Buzdin

F870*. Một khí lý tưởng đơn nguyên tử giãn nở sao cho nhiệt độ mol của nó $c_x$ không đổi; trong trường hợp này, khí thực hiện công $A = 165$ J. Sau đó, khí được đốt nóng đẳng nhiệt đến nhiệt độ ban đầu, nhờ đó một lượng nhiệt $Q = 125$ J được cung cấp cho nó. Xác định $c_x$.

A. A. Sheronov

F871. Ban đầu, tụ điện không tích điện $C$ sẽ được nối với pin mắc nối tiếp có điện áp $U_0$ và cuộn dây có độ tự cảm $L$. Dòng điện qua cuộn dây lúc đầu tăng rồi giảm. Tại thời điểm dòng điện bằng 0, tụ điện bị ngắt khỏi mạch và được kết nối lại, hoán đổi đầu ra của nó. Sau đó cường độ dòng điện cực đại chạy qua cuộn dây là bao nhiêu? Dòng điện này sẽ thay đổi như thế nào nếu quá trình chuyển mạch được lặp lại 1984 lần? Bỏ qua điện trở của mạch.

A. R. Zilberman

F872. Một chiếc xe trượt dài, trượt trên mặt băng rất mịn, chạm vào nhựa đường và dừng lại trước khi đạt được một nửa chiều dài. Sau đó, chiếc xe trượt tuyết đột ngột trở lại tốc độ ban đầu và nó lại dừng lại. Thời gian phanh liên quan như thế nào trong trường hợp thứ nhất và thứ hai? Còn khoảng cách phanh thì sao?

S. S. Krotov

Problems

M856—M860; P868—P872

M856. a) Construct a quadrilateral knowing the lengths of its sides and that of the segment joining the midpoints of the diagonals.

b) Under what conditions does the problem have a solution?

I. Z. Titovich