Nhiệt dung của khí lý tưởng

46

Nhiệt dung của khí lý tưởng

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
S. M. KOZEL.
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. SHERONOV

Xác định nhiệt dung gắn với định luật thứ nhất nhiệt động lực học - định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng trong các quá trình nhiệt. Theo định luật này, lượng nhiệt $Q$ truyền vào một vật thể (hoặc hệ thống vật thể) sẽ làm thay đổi $\Delta U$ năng lượng bên trong của nó và thực hiện công $A'$ lên các vật thể bên ngoài:

$$Q = \Delta U + A'.$$

Đối với một vật thể đồng nhất, thật thuận tiện khi nói về nhiệt dung của một mol chất. Nhiệt dung riêng mol $C$ là lượng nhiệt mà một mol chất đó nhận được khi nó được nung nóng thêm một độ. Nếu trong quá trình đun nóng một lượng chất $v = m/M$ (ở đây $m$ là khối lượng, $M$ là khối lượng mol của chất đó) một lượng nhiệt $Q$ được truyền đi và nhiệt độ của nó thay đổi từ $T_1$ thành $T_2$, thì

$$C = \frac{Q}{v(T_2-T_1)} = \frac{Q}{(m/M)(T_2-T_1)}$$

Trong Hệ đơn vị quốc tế (SI), nhiệt dung riêng mol được biểu thị bằng J/(K mol).

Cùng với nhiệt dung mol $C$, có thể xác định được nhiệt dung riêng $c$, tức là nhiệt lượng trên một đơn vị khối lượng của một chất. Rõ ràng là $c = C/M$.

Biết nhiệt lượng của một chất trong một quá trình nhiệt động nhất định, dễ dàng tính được lượng nhiệt mà cơ thể nhận được:

$$Q = mc(T_2-T_1) = \frac{m}{M} C(T_2-T_1) = vC(T_2-T_1).$$

Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng công $A'$ được thực hiện trên các vật thể bên ngoài phụ thuộc vào các điều kiện xảy ra quá trình truyền nhiệt. Do đó, nhiệt lượng không chỉ được xác định bởi tính chất của chất mà còn bởi loại quá trình nhiệt động.

Ví dụ, trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt của một chất khí ($T = \text{const}$), một vật được cung cấp cho nó nhưng nhiệt độ của nó không đổi. Từ định nghĩa cho thấy nhiệt lượng của khí trong quá trình đẳng nhiệt là vô cùng lớn. Trong trường hợp này, toàn bộ lượng nhiệt truyền vào hệ được dùng để thực hiện công: $Q = A'$. Nếu cùng một loại khí tham gia vào quá trình điều trị bệnh tiểu đường, thì nhiệt độ của nó sẽ thay đổi và lượng nhiệt mà khí nhận được bằng không. Do đó, trong quá trình điều trị bệnh tiểu đường, độ đặc hiệu nhiệt bằng 0 và công $A'$ của khí lên vật thể bên ngoài được thực hiện do năng lượng bên trong: $A' = -\Delta U$.

Vì vậy, nhiệt lượng của khí phụ thuộc vào quá trình nhiệt động. Các quá trình trong đó nhiệt độ nhiệt không đổi thường được gọi là đa hướng. Ví dụ về các quá trình đa hướng, chẳng hạn như quá trình đẳng nhiệt và bệnh tiểu đường, cũng là các quá trình đẳng tích ($V = \text{const}$) và đẳng áp ($p = \text{const}$). Nhiệt dung mol tương ứng được ký hiệu là $C_V$ và $C_p$. Khoảng cách các quá trình này chi tiết hơn (Hình 1).

Trong trường hợp đầu tiên ($V = \text{const}$), pít-tông được cố định (xem Hình 1, a) và khí không thực hiện bất kỳ công nào khi được làm nóng. Toàn bộ cơ thể nhận được khí sẽ tăng cường năng lượng bên trong của nó. Trong trường hợp thứ hai ($p = \text{const}$), pít-tông tự do (xem Hình 1, b), khí nở ra khi nóng lên và thực hiện công. Cơ thể do khí sinh ra chỉ được sử dụng một phần để tăng nội năng; phần còn lại được dành cho

47

hoàn thành công việc phân phối. Rõ ràng là để tăng nhiệt độ của khí lên một độ trong lần dịch vụ thứ hai, một lượng nhiệt lớn sẽ được truyền sang khí, do đó, $C_p > C_V$.

Bây giờ chúng ta hãy tìm số lượng kết nối giữa $C_p$ và $C_V$. Từ lý thuyết động học phân tử, người ta biết rằng nội năng của khí lý tưởng tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của nó. Sách giáo khoa Vật lý 9 cho thấy đối với chất khí đơn nguyên tử $U = 3/2 RvT$ (trong đó $R$ là hằng số khí phổ quát). Đối với quá trình đẳng tích $A' = 0$, $Q = \Delta U = C_V v (T_2 - T_1)$. Theo đó, đối với khí đơn nguyên tử, nhiệt dung riêng mol ở thể tích không đổi là $C_V = 3/2 R$.

Công của chất khí thực hiện theo phân bố đẳng áp được tính theo công thức
$$A' = p (V_2 - V_1) = p \Delta V.$$
Nếu trong quá trình nhiệt động lực học đang xem xét áp suất thay đổi, thì công thức này cũng có thể được áp dụng, nhưng chỉ cho những phần rất nhỏ của quá trình, trong đó sự thay đổi về thể tích $\Delta V$ là nhỏ và do đó áp suất $p$ có thể được coi là gần như không đổi. Chúng ta có thể viết định luật nhiệt động lực học như sau
$$Q = C_V v (T_2 - T_1) + p (V_2 - V_1) = C_V v \Delta T + p \Delta V.$$
Từ đây, sử dụng định nghĩa nhiệt dung mol, ta thu được công thức tính nhiệt dung của khí lý tưởng trong một quá trình tùy ý:
$$C = \frac{Q}{v (T_2 - T_1)} = C_V + \frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$
Sự thay đổi về thể tích $\Delta V$ và nhiệt độ $\Delta T$ trong công thức này có liên hệ với phương trình trạng thái của khí lý tưởng $pV = vRT$ và phương trình của quá trình nhiệt mà khí tham gia. Đặc biệt, đối với quá trình đẳng áp
$$p (V_2 - V_1) = vR (T_2 - T_1),$$ hoặc $\frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{vR}{p}$.
Do đó, nhiệt lượng $C_p$ của một mol khí lý tưởng trong quá trình ở $p = const$ là
$$C_p = C_V + R.$$
Đối với khí đơn nguyên tử $C_p = 5/2 R$.

Lưu ý rằng nhiệt dung của chất rắn và chất lỏng $C_p$ và $C_V$ khác nhau một chút. Điều này là do thực tế là khi các vật rắn hoặc lỏng bị nung nóng, thể tích của chúng thay đổi rất ít, do đó trong điều kiện bình thường (nghĩa là ở áp suất khí quyển hoặc gần áp suất khí quyển), công thực tế được thực hiện trong quá trình phân bố là bằng không. Trong trường hợp này, nhiệt dung riêng bằng độ biến thiên nội năng của cơ thể khi được làm nóng thêm một độ.

Bây giờ propilustrium được đề cập đến một số nhiệm vụ cụ thể mà trong những năm khác nhau được giao cho các ứng viên tham gia kỳ thi tuyển sinh tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. Một số lượng khí lý tưởng được nung nóng ở áp suất không đổi $p = 1$ atm từ nhiệt độ $T_1 = 300$ K đến nhiệt độ $T_2 = 400$ K. Khí đã thực hiện bao nhiêu công trong quá trình này nếu thể tích ban đầu của nó là $V_1 = 3$ l?

Gọi $v$ là một lượng chất nhất định, lần lượt là $C_V$ và $C_p$ nhiệt dung mol của khí ở thể tích và áp suất không đổi.

Lượng nhiệt cung cấp cho khí
$$Q = v C_p (T_2 - T_1),$$
và độ tăng nội năng của khí
$$\Delta U = v C_V (T_2 - T_1).$$
Công mà chất khí $A'$ thực hiện, theo định luật nhiệt động thứ nhất, là
$$A' = Q - \Delta U = v (C_p - C_V) (T_2 - T_1) = v R (T_2 - T_1).$$
Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta tìm được
$$vR = pV_1/T_1,$$
rồi cuối cùng đối với công việc gas chúng tôi nhận được
$$A' = pV_1 (T_2/T_1 - 1) = 100 \text{ Дж.}$$

Tất nhiên, lời giải đã cho không phải là giá trị duy nhất có thể. Trong bài toán này, bạn có thể bỏ qua khái niệm nhiệt dung và sử dụng trực tiếp công thức tính công của chất khí trong quá trình đẳng áp.

Bài toán 2. Một mol khí lý tưởng từ trạng thái có nhiệt độ $T_1 = 100$ K được phân phối đẳng áp, sau đó chuyển đẳng tích sang trạng thái có nhiệt độ ban đầu (Hình 2). Thể tích của khí thay đổi bao nhiêu lần nếu để chuyển khí từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng, người ta phải cung cấp một lượng nhiệt $Q = 831 \text{ Дж?}$ cho nó?

Nhiệt được cung cấp cho khí ở vùng đẳng áp và thải ra ở vùng đẳng tích:
$$Q = v C_p (T_2 - T_1) + v C_V (T_1 - T_2) = v R (T_2 - T_1).$$

48

Đối với phần đẳng áp từ phương trình trạng thái, $T_2 - T_1 = T_1(T_2/T_1 - 1) = T_1(V_2/V_1 - 1)$ được tìm thấy.
Từ những mối quan hệ này chúng ta có được
$$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{Q}{vRT_1} = 2.$$
Bài toán 3. Từ trạng thái ban đầu với nhiệt độ đã biết $T_1$, lý tưởng nhất là sữa được nướng ở trạng thái có cùng nhiệt độ theo hai cách (Hình 3). Ở một trong số đó, zaza lần đầu tiên được làm nóng đẳng áp đến nhiệt độ $T_2 = 2T_1$, sau đó được làm lạnh đẳng áp. Mặt khác, zaza trước tiên được làm mát đẳng áp và sau đó được làm nóng đẳng áp. Tìm sự chênh lệch lượng nhiệt cung cấp cho miếng đệm trong cả hai trường hợp.

Lời giải cái bài toán này tương tự như cái trước:
$$Q_1 = vC_p(T_2 - T_1) + vC_v(T_1 - T_2),$$
$$Q_2 = vC_v(T_3 - T_1) + vC_p(T_1 - T_3),$$
Và
$$Q_1 - Q_2 = vR(T_2 + T_3 - 2T_1).$$
Lấy phương trình trạng thái $pV = vRT$ cho các phần đẳng áp của quá trình 1 và 2, chúng ta tìm thấy mối quan hệ giữa nhiệt độ $T_1$, $T_2$ và $T_3$:
$$p_1 = \frac{vRT_1}{V_1} = \frac{vRT_2}{V_2}, \quad p_2 = \frac{vRT_3}{V_1} = \frac{vRT_1}{V_2},$$
Ở đâu
$$T_1^2 = T_2T_3.$$
Theo điều kiện $T_2 = 2T_1$, do đó $T_3 = T_1/2$. Cuối cùng chúng tôi nhận được
$$Q_1 - Q_2 = vRT_3 = vRT_1/2.$$
Bài toán 4. Nốt ruồi được phân bố lý tưởng theo quy luật $pV^2 = const$. Xác định nhiệt độ mol của zaz trong quá trình này.
Như đã đề cập trước đó, nhiệt độ mol
$$C = C_V + \frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Từ phương trình trạng thái $pV = vRT$ và phương trình quá trình $pV^2 = const$ ta thu được
$$VT = const.$$
Đẳng thức này đúng với mọi $V$ và $T$, do đó
$$(V + \Delta V)(T + \Delta T) = VT.$$
Mở ngoặc và bỏ qua số hạng nhỏ $\Delta V\Delta T$, ta tìm tỉ số giữa độ biến thiên về thể tích $\Delta V$ với độ biến thiên của nhiệt độ $\Delta T$:
$$V\Delta T + T\Delta V = 0, \text{ или } \frac{\Delta V}{\Delta T} = -\frac{V}{T}.$$
Khi đó nhiệt dung mol cuối cùng hóa ra là
$$C = C_V - \frac{pV}{vT} = C_V - R.$$
Có thể dễ dàng xác minh rằng trong quá trình giãn nở theo định luật $pV^2 = const$ nguội đi (điều này suy ra trực tiếp từ điều kiện $VT = const$). Do nội năng của nó, công được thực hiện khi giãn nở ($A' > 0$) và một lượng nhiệt nhất định được truyền cho các vật thể xung quanh ($Q < 0$).
Bài toán 5. Lý tưởng nhất, con bướm được đặt trong một hình trụ có pít-tông không đồng nhất có thể di chuyển được, được gắn chặt vào đáy bằng một lò xo, lực căng của nó tăng theo định luật Hooke (Hình 4). Xác định nhiệt dung của zaz, coi áp suất bên ngoài bằng 0 và bỏ qua áp suất.
Gọi $p$ là áp suất của khí, $V = Sx$ thể tích mà khí chiếm giữ, trong đó $S$ là tiết diện của hình trụ, $x$ là chiều dài của lò xo bị kéo căng. Chúng ta biểu thị độ cứng của lò xo bằng $k$ và viết trạng thái của piston:
$$pS = kx, \text{ или } pS^2 = kV.$$
Từ công thức cuối cùng, suy ra rằng những thay đổi về áp suất $\Delta p$ và thể tích $\Delta V$ có liên quan đến các mối quan hệ
$$\Delta p = \frac{k}{S^2}\Delta V = \frac{p}{V}\Delta V.$$
Từ phương trình trạng thái $pV = vRT$, đúng với mọi $p, V, T$, ta tìm thấy
$$(p + \Delta p)(V + \Delta V) = vR(T + \Delta T).$$
Mở dấu ngoặc ở đẳng thức cuối cùng và bỏ qua số hạng nhỏ của dạng $\Delta p\Delta V$, ta thu được
$$p\Delta V + V\Delta p = vR\Delta T,$$
hoặc, với các kết nối $\Delta p$ và $\Delta V,$
$$\frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{R}{2}.$$