Về một tính chất của parabol

50

Về một tính chất của parabol

G. G. BOYAKCHHAN

Trên parabol $y=ax^2$, chúng ta xét ba điểm $A, B, C$, các hình chiếu của chúng trên trục $Ox$ cách đều nhau: $|A_1B_1|=|B_1C_1|=m$ (Hình 1). Hãy tìm diện tích tam giác $ABC$.

Để làm điều này, chúng ta hãy biểu thị lần lượt bằng $x_1, x_2, x_3$ hoành độ của điểm $A, B, C$. Theo điều kiện $x_2=x_1+m, x_3=x_1+2m$. Hình thang $A_1ACC_1$ được tạo thành từ một tam giác $ABC$ và hai hình thang $A_1ABB_1$ và $B_1BCC_1$, vì vậy

$$S_{ABC}=S_{A_1ACC_1}-(S_{A_1ABB_1}+S_{B_1BCC_1}),$$

Ở đâu

$$A_{ABC}=\frac{ax_1^2+a(x_1+2m)^2}{2}\cdot 2m-\frac{ax_1^2+a(x_1+m)^2}{2}\cdot m-\frac{a(x_1+m)^2+a(x_1+2m)^2}{2}.$$

Đưa các thuật ngữ tương tự, chúng ta có được công thức đơn giản nhất:

$$S_{ABC}=am^3.$$

Hóa ra diện tích cần thiết không phụ thuộc vào trục hoành của điểm $A$, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách $m$ giữa các điểm lân cận (và vào tham số $a$, xác định độ tròn của parabol).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp tổng quát—các hoành độ trống $x_1, x_2, x_3$ của các điểm $ABC$ là tùy ý. Nếu $x_1<x_2<x_3$, thì bạn có thể tính toán theo cách tương tự như trong ví dụ trước (xem Hình 1). chúng tôi nhận được

$$S_{ABC}=\frac{ax_1^2+ax_2^2}{2}(x_3-x_1)-\frac{ax_1^2+ax_2^2}{2}(x_2-x_1)-\frac{ax_2^2+ax_3^2}{2}(x_3-x_2),$$

hoặc, sau khi đưa các thành viên tương tự,*

$$S_{ABC}=\left|\frac{a}{2}\left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\right|.$$

Thật dễ dàng để kiểm tra (chúng tôi để người đọc xác minh) rằng đối với tất cả các mối quan hệ khác giữa hoành độ, công thức (2) vẫn đúng. Công thức này cho thấy diện tích của một tam giác có các đỉnh trên một parabol cố định chỉ phụ thuộc vào hiệu hoành độ các đỉnh của nó. Khi một tam giác trượt dọc theo một parabol, thay đổi hình dạng nhưng giữ nguyên hiệu các hoành độ của các đỉnh không đổi thì diện tích của tam giác đó không thay đổi. Hóa ra chỉ có parabol mới có tính chất này, nhưng chúng ta sẽ không chứng minh điều này.

Vì bài toán chúng tôi mời độc giả tìm cách chứng minh ba yếu tố sau của công thức (2):

1. Nếu tất cả các đỉnh của một đa giác lồi nằm trên parabol $y=ax^2$ được dịch dọc theo parabol mà vẫn giữ nguyên hiệu hoành độ của chúng thì diện tích của đa giác không thay đổi.
2. Diện tích $S$ của đoạn parabol $y=ax^2$ giới hạn bởi một đoạn có hai đầu có hoành độ $x_1$ và $x_2$ (Hình 3) bằng

$$S=\frac{a}{6}\left(x_1-x_2\right)^3.$$

Gợi ý e. Xem hình. 3. Diện tích hình thang cong

$$A_1ABB_1$$ được tìm thấy dưới dạng tích phân của $\int x_1^2ax^2dx.$

3. Các kết quả trước đó (công thức (1) và (2), hệ quả 1 và 2) vẫn giữ nguyên hiệu lực nếu parabol $y=ax^2$ được thay thế bằng parabol tổng quát $y=ax^2+bc+c$.

Gợi ý e. Có một sự dịch chuyển làm biến một parabol này thành một parabol khác.

*) Dấu mẫu không cần thiết trong trường hợp $x_1<x_2<x_3$, nhưng bắt buộc phải có trong các trường hợp khác (đánh dấu vào phần này!)