con lắc liên kết

23

Matniki liên quan

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
E. I. BUTIKOV

Các mô hình dao động của các hệ thống phức tạp, chẳng hạn như liên kết của matniki, có thể được nghiên cứu bằng thực nghiệm bằng các phương tiện đơn giản nhất. Tất cả những gì bạn cần để tái tạo các thí nghiệm được mô tả ở đây là hai nhóm nhỏ giống hệt nhau (ví dụ: vật nặng (ví dụ: vật nặng), hai chân máy, có thể được thay thế thành công bằng lưng ghế, sợi chỉ chắc chắn, đồng hồ bấm giờ hoặc đồng hồ có kim giây.

Ta gắn các vật nặng vào các sợi có chiều dài bằng nhau 50-60 cm, buộc các sợi vào một sợi ngang dài khoảng 1 m, đặt đối xứng cách nhau 40-50 cm. Chúng tôi cố định các đầu của sợi ngang trong giá ba chân hoặc buộc chúng vào lưng ghế. Kết quả là chúng ta có được một hệ thống gồm hai tấm thảm, gần giống như trong ảnh. Đây là cách buộc matniki. Đó là mong muốn đạt được khả năng của một hệ thống đối xứng hoàn hảo hơn. Bạn cũng cần biết cách thay đổi khoảng cách giữa các chân máy, đều đặn, từ đó tăng sợi ngang.

Mặc dù đơn giản nhưng thiết bị này có thể xác minh nhiều quan sát thú vị. Chúng ta hãy giới hạn việc nghiên cứu các dao động tự do (hoặc tự nhiên) của hệ trong trường hợp các tấm thảm dao động vuông góc với mặt phẳng cân bằng của chúng.

Trong khi giữ một trong các tấm thảm ở vị trí cân bằng, chúng ta nghiêng tấm còn lại một góc nhỏ theo hướng ngang, sau đó thả chúng đồng thời. Chúng tôi sẽ theo dõi chặt chẽ hành vi trong tương lai của họ. Chúng ta sẽ thấy biên độ dao động của tấm thảm bị lệch ban đầu giảm dần nhưng đồng thời tấm thảm thứ hai lại lắc lư ngày càng mạnh. Tại một thời điểm nào đó, các matnik sẽ dao động với cùng biên độ. Nhưng sau một thời gian, tấm matnik đầu tiên hoàn toàn bị bỏ rơi, “đóng băng” ở vị trí cân bằng, và tấm matnik thứ hai dao động mạnh đến mức biên độ của nó sẽ bằng với thời điểm ban đầu của tấm matnik đầu tiên. Các rung động dường như hoàn toàn “chuyển đổi” từ tấm thảm này sang tấm thảm khác.

Chúng tôi tiếp tục xem thêm. Bây giờ tất cả các quá trình xảy ra theo thứ tự ngược lại: biên độ của tấm thảm thứ hai giảm và tấm thảm thứ nhất dao động cho đến khi đạt đến biên độ trước đó. Sau đó mọi thứ lặp lại một lần nữa.

Loại chuyển động có dao động “giảm dần” định kỳ này thường được gọi là bcens. Thực hiện theo một số chu kỳ về giá và giao hàng-

24

Hãy cố gắng xác định chu kỳ của chúng, tức là thời gian mà một trong các con lắc hoàn thành một chu kỳ đầy đủ từ điểm dừng này đến điểm dừng khác. (Trong trường hợp này, bản thân các con lắc có thể được dùng làm đồng hồ: chẳng hạn, hãy đếm xem con lắc thực hiện bao nhiêu dao động trọn vẹn trong một chu kỳ của con lắc.)
Tại sao dao động truyền từ con lắc này sang con lắc khác? Chúng ta hãy quan sát sợi dây chéo mà chúng được gọi. Dễ dàng nhận thấy rằng khi các con lắc dao động, nó không đứng yên: bằng cách lệch sang một bên, một trong các con lắc sẽ kéo nó theo và do đó làm chuyển động điểm treo của con lắc thứ hai. Do đó, sợi chỉ chéo nối các con lắc với nhau. Đó là lý do tại sao các loại bạc hà được gọi là “được kết nối”.
Trực giác gợi ý rằng các con lắc được kết nối càng chặt thì sợi chỉ càng chùng xuống. Hãy kiểm tra điều này bằng thực nghiệm. Hãy giảm độ căng của sợi chỉ bằng cách liếm nhẹ các điểm đính kèm của nó và lặp lại thí nghiệm được mô tả ở trên. Chúng ta sẽ thấy rằng toàn bộ chu trình truyền rung động từ con lắc này sang con lắc khác và ngược lại được rút ngắn lại. Ví dụ, khi độ căng của sợi dây tăng lên, sự kết nối giữa các con lắc yếu đi và sự trao đổi rung động diễn ra chậm hơn. Nhưng điều thú vị là ngay cả khi nhận thấy mối liên kết yếu đi, các cây bạc hà vẫn hoàn toàn trao đổi năng lượng. (Tất nhiên, nếu chúng ta tính đến sự suy giảm dần dần các dao động của các con lắc do ma sát, thì với mối liên hệ trao đổi năng lượng rất yếu, thời gian phân rã của các dao động có thể trở nên dài hơn. Các dao động của con lắc bị kích thích sẽ dừng lại trước khi nó có thời gian truyền một phần năng lượng đáng chú ý của nó sang một con lắc khác. Trong những điều kiện như vậy, các mối liên hệ của các con lắc trở nên không đáng kể và chúng có thể được coi là độc lập.)

Chúng ta hãy nghĩ xem tại sao, sau các biên độ và do đó năng lượng của các mặt dây chuyền lại trở nên giống nhau, quá trình trao đổi năng lượng không dừng lại mà tiếp tục cho đến khi mặt dây chuyền bị kích thích chuyển toàn bộ năng lượng của nó sang mặt dây chuyền khác. Tất cả đều là về sự tương ứng pha: khi biên độ cân bằng, dao động của con lắc đang dao động sẽ trễ pha ở chu kỳ thứ tư. Tại thời điểm con lắc “chủ động” đạt độ lệch tối đa và tạo ra lực căng lớn nhất ở sợi nối ngang,
tee, con lắc “thụ động” (tức là con lắc đang dao động) vừa đi qua vị trí cân bằng. Tốc độ của điểm treo của nó là tối đa và lực tác dụng lên nó từ phía của sợi ngang hướng theo cùng hướng mà điểm treo đang chuyển động. Điều này có nghĩa là ở đây đã phát triển những điều kiện thuận lợi nhất để tiếp tục truyền năng lượng trong giới hạn hướng.

Chúng ta thấy rằng khi xem xét phương pháp kích thích (độ lệch ban đầu của một trong các con lắc), các dao động phát sinh không điều hòa (mặc dù với một kết nối yếu, chúng có thể được coi là “gần như điều hòa” với biên độ thay đổi chậm). Có thể kích thích rung động sao cho chuyển động của mỗi con lắc là hoàn toàn hài hòa không? Dễ dàng nói rằng đối với các dao động vuông góc với mặt phẳng cân bằng thì có hai loại chuyển động.

Đầu tiên, bạn có thể nghiêng cả hai con lắc ở cùng một góc nhỏ theo cùng một hướng và thả chúng ra cùng lúc mà không cần đẩy. Khi đó tất cả các hệ thống sẽ có chất lượng như một tổng thể duy nhất. Cố gắng kích thích những dao động như vậy và thay đổi tần số của chúng $\omega_1$. Vì các con lắc dao động cùng pha nên độ dịch chuyển của mỗi con lắc phụ thuộc vào thời gian và được biểu thị bằng cùng một hàm điều hòa:

$$x_1(t) = x_2(t) = x_m \cos \omega_1 t,$$

(1)

trong đó biên độ $x_m$ bằng độ lệch ban đầu của con lắc so với vị trí cân bằng.

Thứ hai, bạn có thể trả lời cả hai con lắc ở cùng một góc theo hướng ngược nhau và thả chúng ra cùng một lúc. Trong trường hợp này, các con lắc cũng sẽ thực hiện các dao động điều hòa có cùng biên độ và cùng tần số $\omega_2$ (tần số này lớn hơn $\omega_1$ một chút), nhưng ở các pha ngược nhau. Do đó, sự phụ thuộc thời gian của hỗn hợp có dạng

$$x_1(t) = x_m \cos \omega_2 t,$$

(2)

Những chuyển động như vậy của một hệ phức tạp, khi tất cả các vật thực hiện những dao động điều hòa thuần túy với cùng tần số, được gọi là dao động chuẩn hoặc các mode của hệ. Dao động ngang của các bạc hà được kết nối

25

Đây là đồ thị lành tính của hai ma trận liên quan. Tại thời điểm ban đầu, ma trận thứ nhất bị lệch một góc nhỏ theo hướng vuông góc với mặt phẳng cân bằng của hệ và ma trận thứ hai ở vị trí cân bằng.

Mô hình này liên quan như thế nào đến những lợi ích đã được nghiên cứu trước đó? Chúng ta hãy nhớ lại các điều kiện ban đầu mà mỗi trong số chúng xuất hiện: đối với ma trận đầu tiên cần phải lệch theo một hướng, đối với ma trận thứ hai - theo hướng ngược lại. Nếu muốn kích thích cả hai mô hình cùng một lúc thì chúng ta sẽ nhận được các điều kiện ban đầu tương ứng với sự kích thích của beneia: một ma trận bị bác bỏ, ma trận thứ hai ở vị trí cân bằng. Do đó, chúng ta đi đến kết luận rằng beneya thu được là kết quả của sự chồng chất của các ma trận thông thường với tần số $\omega_1$ và $\omega_2$ và biên độ bằng nhau.

Chúng tôi thu được sự trộn lẫn của từng ma trận tại bất kỳ thời điểm nào $t$ bằng cách thêm các biểu thức tương ứng từ các công thức (1) và (2) và sử dụng độ chính xác lượng giác đã biết:

$$x_1(t) = x_m(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) = 2x_m \cos \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \cos \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t,$$

$$x_2(t) = x_m(\cos \omega_1 t - \cos \omega_2 t) = 2x_m \sin \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \sin \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t.$$

Nếu chênh lệch giữa các tần số của ma trận chuẩn $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ nhỏ so với tần số trung bình $\omega = (\omega_2 + \omega_1)/2$, thì ở vế phải của công thức (3), hàm lượng giác thứ nhất thay đổi chậm so với tần số thứ hai. Điều này có nghĩa là $x_1(t)$ và $x_2(t)$ mô tả các dao động “gần như điều hòa” với tần số $\omega$ và biên độ dao động chậm. Các đồ thị tương ứng được hiển thị trong hình. Chúng tôi thấy rằng họ mô tả chính xác những gì được quan sát trong thí nghiệm đầu tiên.

Sự biểu diễn một dao động phức tạp dưới dạng tổng các dao động điều hòa được gọi là sự phân rã thành một phổ. Phổ của bất kỳ dao động ngang nào của ma trận trong các hệ thống mà chúng tôi nghiên cứu, bao gồm cả các hệ số lợi ích, chỉ bao gồm hai thành phần có tần số $\omega_1$ và $\omega_2$, vì những thành phần này làm cạn kiệt toàn bộ tập hợp các dao động ngang bình thường. Toàn bộ sự đa dạng của các dao động tự do có thể phát sinh trong các điều kiện ban đầu khác nhau là do sự tương ứng khác nhau về biên độ và pha của các thành phần quang phổ này. Cố gắng đặt các điều kiện ban đầu khác với trước đây (ví dụ: độ lệch ban đầu không bằng nhau) và quan sát sự xuất hiện của dao động.

Chúng ta có thể thực hiện nhiều thí nghiệm thú vị hơn với các ma trận liên thông của mình, nếu chúng ta không chỉ giới hạn ở các chuyển động ngang. Trong hệ thống này có thêm ba mô hình tương ứng với các dao động của ma trận trong mặt phẳng được hình thành bởi các dây cân bằng. Hãy cố gắng kích thích những mô hình này và làm theo chúng.