Trường học yêu thích bài toán

37

5. Đừng vội bình phương cả hai vế của bất đẳng thức!
6. Hãy xem xét riêng hai trường hợp $a=0$ và $a\neq0$.
7. Cả hai số đều nằm trên khoảng [1, 2]. Không phải chúng ở trên các kệ khác nhau sao?
8. Hãy xem xét riêng ba trường hợp $x=1$, $x<1$, $x>1$.
9. Đừng bắt đầu tính toán! Không cần phải tích hợp! Thật đơn giản bài toán!
10. bài toán này được giải quyết bằng cách xây dựng bổ sung màu đỏ.
11. Đây không phải là một phép tính bài toán. Bạn cũng có thể tranh luận ngược lại.
12. Năm thứ năm là hai mươi lăm. Cố gắng tạo ra một khối đa diện từ một lăng kính và hai kim tự tháp.
13. Đừng bắt đầu tính toán! Không cần phải tích hợp! Thật đơn giản bài toán!
14. Giải các phương trình: a) $|\cos x|=\cos x+2$, b) $\frac{x^2+6x+9}{x^2+6x+9}=1$, c) $\sin|x|=1$, d) $\cos(\cos x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, e) $\sin x=\frac{|x|}{x}$, f) $\sqrt{x+3}+5\sqrt{7x-6}=3$.
15. Giải bất đẳng thức: a) $\arcsin x<\arccos x$, b) $(M\Gamma, \Phi)$, c) $\sqrt{x+3}+5\sqrt{7x-6}=0$.
16. Vẽ đồ thị hàm số $y=\lim\cos^{2n}x, x\in R$.
17. Đơn giản hóa biểu thức
    $$\frac{x^1+x^2+\dots+x^{1983}}{x^{-1}+x^{-2}+\dots+x^{-1983}}.$$
18. Chứng minh rằng hàm số $y=\lg(x+\sqrt{x^2+1})$ là số lẻ.
19. Chứng minh rằng giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn tồn tại số hữu tỉ thứ ba.
20. Chứng minh rằng tổng độ dài tất cả các cạnh của một hình lăng trụ tứ giác nằm bên trong một quả cầu có bán kính 1 cm nhỏ hơn 22 cm.

G. Yu. Zaitsev

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. a) Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm trong hoặc điểm biên của một tam giác đều tới cạnh của nó bằng độ dài đường cao của tam giác đó.

6. Gọi $S$ và $p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi của đa giác, trong đó có thể nội tiếp một hình tròn có bán kính $r$. Chứng minh rằng $S=pr$.

2. Vì $p$ và $q$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ các số $p$ và $q$?
3. Gọi $D$ là điểm tại đó góc nhọn hơn $A$ của tam giác $ABC$ cắt các cạnh của nó $BC$, $|BC|=a$, $|AB|=c$, $|AC|=b$, $|BD|=x$, $|DC|=y$, $|AD|=l$. Chứng minh rằng:
   a) (định lý bissertier) bissertier $AD$ chia cạnh $BC$ thành các phần tỉ lệ với các cạnh liền kề của tam giác:
   $$\frac{b}{c}=\frac{y}{x}$$,

6. $l^2=bc-xy$.

4. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}.$$

5. Trong hai số đó số nào lớn hơn:
   a) $2^{300}$ hoặc $3^{200}$; b) $2^{91}$ hoặc $5^{35}$?
   lớp chín

6. Trong vòng toán học mà học sinh lớp 8 Misha theo học, hơn 93% học sinh lớp 9 tham gia. Số lượng thành viên nhỏ nhất có thể có của vòng kết nối này là bao nhiêu?

7. Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một tứ diện (một hình chóp tam giác tùy ý)?

8. Đặt $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$, trong đó $b>0$ và $d>0$. Chứng minh rằng
   $$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}.$$

9. Dữ liệu của mặt phẳng $a$ và hai điểm $A$ và $B$ trên một phía của mặt phẳng này. Điểm trên mặt phẳng $a$ một điểm $C$ mà $|AC|+|CB|$ có giá trị nhỏ nhất.

10. Có thể nhìn thấy parabol $y=x^2$ ở góc nào từ điểm $M(0;-0,25)$?
    lớp mười

11. Tổng bình phương của các số mặt phẳng $a$ và $b$ bằng một. Chứng minh rằng $a^{10}+b^{10}<1$.

12. Cho một hình cầu có bán kính $r$ nội tiếp thành một đa giác có thể tích $V$ với toàn bộ bề mặt $S$. Chứng minh rằng $V=\frac{1}{3}Sr$.

13. Một tứ giác không gian (nghĩa là không phải tất cả các đỉnh của nó đều nằm trong cùng một mặt phẳng) được mô tả xung quanh một hình cầu. Chứng minh rằng bốn điểm tiếp xúc đều cùng thuộc một mặt phẳng.

14. Được biết, tiết diện dọc trục của một hình nón tròn thẳng có diện tích nhỏ hơn hai lần diện tích lớn nhất của tất cả các phần của nó đi qua đỉnh hình nón. Tìm góc ở đỉnh của mặt cắt trục của hình nón.

15. a) Đặt $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$.

6. Cho $a+b+c=1$ (như phần a)) và ngoài ra, người ta biết rằng $a$, $b$ và $c$ là độ dài các cạnh của một số tam giác. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2<\frac{1}{2}$.

Đã chuẩn bị ấn phẩm
J.M.Rabbot