Đại học bang Novosibirsk mang tên Lenin Komsomol

54

Đại học bang Novosibirsk mang tên Lenin Komsomol

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(khoa cơ khí và toán học, vật lý, kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$1 + 2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin x.$$
2. Tại giá trị nào của tham số $a$ trong số lời giải các bất đẳng thức
   $$\log_2 (x - 100) - \log_2 \frac{|x - 101|}{(105 - x)} + \log_2 \frac{|x - 103|}{(105 - x)} > a$$
   chứa một số nguyên?
3. Khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là 5r. Một trong các hình tròn có bán kính $r$, hình tròn thứ hai - 7r. Dây của vòng tròn lớn tiếp xúc với vòng tròn nhỏ và được chia cho điểm tiếp xúc theo tỷ lệ 1:6. Tìm độ dài của dây này.
4. Cho một hình lập phương $ABCD'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ và các cạnh bên $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$. Vì $\alpha$ vuông góc với đường thẳng $A'C'$ và mặt phẳng $\beta$ song song với đường thẳng $CD'$. Góc nhỏ nhất có thể có giữa các mặt phẳng $a$ và $b$ là bao nhiêu?
5. Số nguyên chín chữ số $A$, được viết bằng ký hiệu thập phân, được lấy từ số nguyên $B$ bằng cách di chuyển chữ số cuối cùng về vị trí đầu tiên. Hơn nữa, người ta biết rằng số $B$ là số nguyên tố cùng nhau với số 18 và $B > 22222222$. Tìm giá trị trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của các số $A$ thỏa mãn các điều kiện này.
   Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước chung nào khác ngoài 1.
   Tùy chọn 2
   (Khoa Địa chất - Địa vật lý, Khoa Khoa học tự nhiên)
6. Giải phương trình
   $$\sin 2x \cos x = \tg 3x \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos 2x \sin x.$$
7. Trong tam giác $ABC$, bán kính của đường tròn nội tiếp là $\frac{10}{3}$, cosin của góc $C$ là $\frac{5}{13}$ và diện tích của tam giác là 60. Tìm các cạnh của tam giác.
8. Trên đường chạy dài 400 m từ một đường cũ, hai vận động viên chạy (một người nâng cao và một người mới bắt đầu) xuất phát đồng thời. Tốc độ phóng điện cao hơn tốc độ của người mới bắt đầu 200 m mỗi phút trong 20 giây. Trong thời gian này, người mới bắt đầu đã vượt qua người phóng điện. Vận tốc của người phóng điện có thể là bao nhiêu để không dừng lại, người đó có thể về đích trước hết quãng đường, nếu biết tốc độ của người chạy trong khi chuyển động là không đổi và không đổi?
9. Tại giá trị nào của tham số $a$ đối với bất kỳ số hành động nào $x$ thì bất đẳng thức
   $$\log_2 (a^2 - 2) [ (a^2 - 1)x^2 + 2x + 2] > 1?$$
10. Cho một hình chữ nhật song song $ABCDA'B'C'D'$, đáy là hình vuông $ABCD$ có cạnh dài 3, các cạnh bên $AA'$, $BB'$, $CC'$ và $DD'$ có độ dài bằng 5. Một tam giác đều nằm trong không gian sao cho một trong các đỉnh của nó trùng với đỉnh $C$ của song song và hai dòng còn lại lần lượt được phân tách thành các dòng $BB'$ và $C'D'$. Tìm độ dài trung tuyến của tam giác này.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Mỗi biến thể bao gồm ba loại gót chân bài toán.
Ba bài toán đầu tiên được tính toán, có độ khó khác nhau: từ tiêu chuẩn đến tương đối phức tạp, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu được một tình huống vật lý thông thường hoặc không có đặc quyền.
bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, người ta phải cố gắng xem xét một hiện tượng vật lý, xây dựng một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn kết quả - giá trị số của các đại lượng vật lý và cuối cùng, thu được kết quả số ít nhiều tương ứng với thực tế. Trong văn bản bài toán hỗ trợ rằng người nộp đơn có thể tự mình chọn các đại lượng vật lý cần thiết cho lời giải bài toán và các giá trị số của chúng.
bài toán thứ năm là phần trình diễn bài toán trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện trong lớp học phải được giải thích. Ở đây điều quan trọng là cố gắng làm nổi bật hiện tượng và môi trường chính của các yếu tố khác nhau.
Vào lúc lời giải bài toán năm giờ đã được đưa ra, bắt đầu từ khi kết thúc cuộc biểu tình.
Bên dưới, sau nội dung của mỗi bài toán, tỷ lệ phần trăm những người giải được nó được ghi trong ngoặc.

Tùy chọn 1

1. Trong một lỗ cuối có trục đối xứng thẳng đứng và góc khoảng cách 2α, một quả bóng liên hợp, chạm vào các điểm đối diện $A$ và $B$, nằm trên cùng một phương ngang, sau cùng một thời gian $T$ (Hình 1). Gia tốc trọng lực $g$. Tìm tốc độ tối đa và tối thiểu của quả bóng. (57%)
2. Giữa một hình nón làm bằng thủy tinh có chiết suất $n$ và một màn vuông góc với trục hình nón, chúng ta đặt một hình tuyến tính của riêng mình có tiêu cự $F$, đặt nó cách màn một khoảng $F$ (Hình 2). Trục quang chính là tuyến tính và trùng với trục của hình nón. Một chùm ánh sáng hẹp song song rơi dọc theo trục của hình nón. Tìm hình dạng của chùm ảnh trên màn và xác định kích thước lớn nhất của ảnh.