Nếu Pathfinder biết vật lý...

23

Nếu như
Theo dõi
đã biết vật lý…
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. M. SANDLER

“Lấy một viên đạn nhẹ hơn, và phát bắn của bạn sẽ chính xác…” “Uncas, cậu bé, cậu đang lãng phí thuốc súng và đổ quá nhiều. Súng giật và viên đạn bay kém… Viên đạn của cậu bắn cao hơn hai inch…” Những lời này thuộc về người anh hùng trong tiểu thuyết của Cooper, thợ săn Nathanizl Bumpo. Đánh giá qua tiểu thuyết, anh ta thực sự là một thợ săn đáng chú ý. Nhưng lời khuyên của ông chính xác đến mức nào xét theo quan điểm vật lý? Liệu một viên đạn nhẹ hơn và không quá nhiều bột có thực sự cải thiện được độ chính xác của phát bắn? Chúng ta hãy cố gắng hiểu vấn đề này.

Đầu tiên, cần nhớ rằng cảnh quay luôn đi kèm với sự tách biệt. Nếu báng súng tựa vào viên đạn của người bắn thì khi bắn, súng sẽ “đẩy” viên đạn đó. Một người quan sát chăm chú sẽ nhận thấy rằng cùng lúc viên đạn được đẩy vào viên đạn, mũi tên hướng lên trên khi bắn - súng quay quanh điểm nó được bắn.

Nó trúng đạn. Điều này cũng được giải thích riêng.

Để hiểu tất cả điều này xảy ra như thế nào, hãy tham khảo Hình 1. Phần OB là nòng súng, phần OA là báng súng, tại điểm A súng nằm trên viên đạn của người bắn. Áp suất của khí bột tác dụng lên viên đạn chuyển động trong nòng. Súng theo phương ngang chịu tác dụng cùng độ lớn abscylotic, hướng theo hướng ngược lại. Hình chiếu fcos α của lực này xác định lực đẩy vào viên đạn, và hình chiếu fsin α tạo ra mômen khiến súng quay quanh điểm A. Chúng ta sẽ giả sử rằng vai của người bắn là bất động (theo ước tính đầu tiên thì điều này đúng, vì thời điểm bắn

Hình 1.

24

la nhỏ và khối lượng của người bắn có thể coi là khá lớn).

Rõ ràng là lực áp suất của khí bột phụ thuộc vào lượng thuốc súng thoát ra trong quá trình bắn. Điện tích bột càng lớn thì áp suất càng lớn, lực $f$ càng lớn (xem Hình 1) và tốc độ viên đạn đạt được khi di chuyển trong nòng càng lớn. Mặt khác, lực $f$ càng lớn thì mômen quay do hình chiếu $f$ sin $\alpha$ của nó càng lớn và độ lệch của nòng so với phương ngang khi bắn càng lớn. Chúng ta sẽ cố gắng ước tính độ lệch này và thảo luận xem nó phụ thuộc như thế nào vào khối lượng và tốc độ của viên đạn.

Chúng tôi sẽ xem xét một “mô hình” đơn giản hóa bài toán và các tính toán của chúng tôi không thể được coi là chính xác lời giải bài toán về cơ chế của súng khi bắn. Chúng ta có thể đánh giá mức độ đúng đắn của lý luận định tính của mình bằng tính hợp lý của các ước tính định lượng mà chúng đưa đến.

Để biểu thị các đẳng thức gần đúng, chúng ta sử dụng ký hiệu $\sim$; Ký hiệu này thường được sử dụng khi nói về sự so sánh theo thứ tự độ lớn$^*$).

Hình 2 và 3 thể hiện vị trí của súng tại thời điểm ban đầu (nòng súng ngang) và thời điểm viên đạn rời đi. Điểm $A$ như đã đề cập ở trên, có thể coi là điểm dừng. Trọng tâm của súng ở điểm $O$. Chúng ta biểu thị chiều dài của thùng bằng chữ cái $L$ và khoảng cách $AO$ bằng $l$. Góc giữa $L$ và $l$ là $\alpha$, góc lệch của nòng súng tại thời điểm viên đạn rời nòng súng là $\varphi$. Lực ép trung bình của khí bột tác dụng lên viên đạn bằng $f$, viên đạn chuyển động trong nòng súng có gia tốc nhưng thuận tiện cho chúng ta sử dụng vận tốc trung bình của viên đạn để đánh giá; hãy biểu thị nó $\bar{v}_n$. Thời gian bắn $t$ là thời gian viên đạn di chuyển dọc nòng súng; Sau đó

$$\bar{v}_n\tau \sim L.$$ (1)

Nói chung, chuyển động quay của nòng súng cũng không đồng đều, nhưng bạn có thể tính được vận tốc góc trung bình $\bar{\omega}$;

$$\bar{\omega} \sim \frac{f \sin \alpha - Mg \cos \alpha}{M},$$ (4)

$$\bar{v}_p \sim \bar{a}_p \tau$$ (5)

(ở đây $M$ là khối lượng của súng). Bạn có thể tận dụng ngay thực tế là các giá trị điển hình của $\alpha$ không lớn ($\alpha \leq 2 \cdot 10^{-1}$ rad) và đếm $\sin \alpha \approx \alpha$, $\cos \alpha \approx 1$. Sau đó, từ các công thức (2)–(5) viết ở trên dễ dàng thu được

$$\varphi \sim \frac{L}{l} \left( a \frac{m}{M} - \frac{g L}{\bar{v}_n^2} \right).$$ (6)

25

Bây giờ chúng ta hãy xem công thức tăng dần (6). Khi suy luận, chúng tôi không dạy rằng trước khi bắn, ở đâu đó gần điểm $O$, tay người thợ săn vẫn cầm súng. Nhưng chúng ta quan tâm đến độ lệch hướng lên của nòng súng, và nếu tay của người thợ săn không chạm tới, thì trong tình huống mô hình mà chúng ta đang xem xét, chúng ta có thể giả định rằng khẩu súng đã “rớt” khỏi tay đỡ vào đúng thời điểm bóp cò. Do đó, trong công thức (4) và (6) chỉ tính đến các lực $\vec{f}$ và $M\vec{g}$. Tác dụng của lực $\vec{f}$ dọc theo hướng $OA$ (hình chiếu $f$ cos $\alpha$) bị vai của người bắn “dập tắt” (tác dụng sau lên súng có cùng độ lớn nhưng lực hướng ngược nhau).

Lựa chọn tiếp theo của chúng ta dựa trên việc súng “nhảy” lên trên; điều này có nghĩa là số hạng đầu tiên trong ngoặc ở công thức (6) lớn hơn số hạng thứ hai, nghĩa là

$$\alpha \frac{m}{M} > \frac{gL}{\bar{v}_n^2}$$

và do đó

$$\bar{v}_n > \left( \frac{MgL}{\alpha m} \right)^{1/2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy thử ước tính bằng số. Gọi khối lượng súng là $M \sim 5$ kg, chiều dài nòng súng $L \sim 1$ m, khối lượng đạn $m \sim 10$ g, $\alpha \sim 2 \cdot 10^{-1}$ rad. Dễ dàng nhận thấy rằng bất đẳng thức (7) dẫn đến giá trị $\bar{v}_n > 100$ m/s. Tốc độ thực của vũ khí quân sự là $\sim 600$—800 m/s. Vì vậy, chúng tôi tin rằng số hạng thứ hai trong công thức (6) nhỏ hơn số hạng thứ nhất và theo thứ tự độ lớn

$$\varphi \sim \alpha \frac{m}{M} \frac{L}{l} \sim 0,2 \frac{m}{M} \frac{L}{l}.$$

Từ (8), suy ra rằng $\alpha$ càng nhỏ thì việc bắn càng chính xác. Vì vậy, sẽ tốt hơn nếu súng trông giống như một cây gậy không cong? Tất nhiên là không. Chúng ta không được quên rằng công thức (8) chỉ đúng khi số hạng đầu tiên trong (6) vượt quá số hạng thứ hai. Ngoài ra còn có một lý do hoàn toàn thực tế - một khẩu súng có góc rất nhỏ $\alpha$ rất khó bắn, đơn giản là việc ngắm bắn bằng nó rất bất tiện.

Nếu chúng ta lấy $(m/M) \sim 10^{-3}$ và tính đến $L/l \sim 1$ đó, thì đối với góc $\varphi$, chúng ta sẽ nhận được ước tính $\varphi \sim 10^{-3}$ rad. Điều này có nghĩa là gì? Với giá trị này là $\varphi$ ở khoảng cách khoảng 100 m, viên đạn sẽ lệch lên trên so với điểm ngắm khoảng 10 cm (đương nhiên, nếu không có lý do nào khác để bắn trượt và nếu hiện tại nó bị phân tâm do ảnh hưởng của trọng lực lên viên đạn đang bay).

Vì vậy, như đánh giá của chúng tôi đã cho thấy, vô lăng nhẹ thực sự giúp cải thiện độ chính xác khi chụp. Độ lệch của viên đạn so với mục tiêu đã thảo luận ở trên không phụ thuộc vào khối lượng thuốc nổ.

Cho đến nay, chúng ta chỉ thảo luận về câu hỏi làm thế nào để tính toán độ lệch của súng so với đường ngắm (trong trường hợp của chúng ta là so với phương ngang) trong khi tay lái đang di chuyển trong nòng súng. Chính độ lệch này là điều cần thiết để đảm bảo độ chính xác khi chụp. Nhưng ngay cả khi tay lái đã rời nòng súng, bản thân súng vẫn tiếp tục chuyển động hướng lên trên, tốc độ trọng tâm của súng không bằng không. Hãy thử tự ước tính xem súng sẽ lệch thêm góc bao nhiêu sau khi bánh lái rời khỏi nòng súng. (Trong số tiếp theo của tạp chí, chúng tôi sẽ giới thiệu lời giải trong số bài toán này.)

Bây giờ chúng ta quay lại câu hỏi về tốc độ đạn và kích thước của lượng thuốc súng. Chúng tôi đã nói rằng thợ săn đổ càng nhiều thuốc súng thì tốc độ đạn càng lớn. Điều này có liên quan gì đến độ chính xác khi chụp? Chúng ta cũng phải tính đến việc bánh lái bị lệch xuống trong quá trình bay, điều này là do tác động của trọng lực. Tất nhiên, độ lệch này phụ thuộc vào tốc độ của viên đạn và tầm bắn của mục tiêu. Nếu bánh lái bay ra khỏi súng theo chiều ngang thì độ lệch của nó được xác định theo công thức $gt^2/2$, trong đó $t$ là thời gian bay. Đếm $t \sim (X/\bar{v}_n)$, trong đó $X$ là phạm vi mục tiêu, ước tính độ lệch $gt^2/2 \sim gX^2/2\bar{v}_n^2$ tại $\bar{v}_n \sim 8 \cdot 10^2$ m/s và $X \sim 100$ m. Bạn sẽ thấy viên đạn cũng lệch xuống dưới vài cm ($\sim 10$ cm). Về nguyên tắc, độ lệch được xác định bởi góc $\varphi$ và độ lệch dưới tác dụng của trọng lực thậm chí có thể bù trừ cho nhau ở mức độ này hay mức độ khác. Hiện tại người ta hiểu rằng độ cong của súng ($\varphi$) là hợp lý về mặt cấu trúc.

Và bây giờ độc giả có thể lại suy ngẫm câu hỏi liệu Pathfinder có biết vật lý hay không.