Momen quán tính trong hình học

33

Momen quán tính trong hình học

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUBROVSKY

Mọi người đều biết rõ rằng toán học liên tục được sử dụng trong vật lý. Rezhka gặp phải và do đó ít được biết đến hơn về điều ngược lại - việc sử dụng các khái niệm vật lý trong toán học. Một ví dụ nổi bật của loại này - khối tâm trong hình học - đã được thảo luận trong một bài báo gần đây của M. B. Balk và V. G. Boltyansky («Kvant» Số 4, trang 18). Trong bài viết của chúng tôi, vai trò chính cũng được thể hiện bởi một khái niệm lấy từ cơ học - mômen quán tính.

Nhưng khi một nhà toán học bắt đầu làm việc với một khái niệm lấy từ vật lý, anh ta nhanh chóng quên đi ý nghĩa vật lý của nó và chỉ thấy trong đó một công thức toán học hữu ích. Do đó, khái niệm vật chất ĐIỂM A có khối lượng m, mà một nhà vật lý coi là “vật thể có khối lượng m có kích thước nhỏ không đáng kể đối với một bài toán cho trước,” được một nhà toán học định nghĩa chính thức là “một cặp (A, m)” bao gồm một điểm A (hình học) và một số thực m∈R”. Một nhà vật lý sẽ suy nghĩ kỹ trước khi sử dụng “khối lượng âm”, và một nhà toán học sẽ coi như không có chuyện gì xảy ra “điểm vật chất”/(A, m), với m<0! Và hơn nữa, với người dùng dành cho doanh nghiệp (xem bức tượng được trích dẫn ở trên, ví dụ bài toán 5 trên trang 19). Theo cách tương tự, ở đây chúng ta định nghĩa mômen quán tính bằng thuật ngữ toán học thuần túy. Và cái đã rút

34

thì công thức tính mômen quán tính của Lagrange sẽ trở thành chìa khóa cho một loại tủ chứa đựng những điều kỳ lạ của hình học, với nhiều định lý và công thức kỳ lạ. Đây là câu chuyện của chúng tôi.

Đoán trước một câu hỏi có thể xảy ra từ một độc giả tò mò, chúng ta vẫn hiểu ý nghĩa vật lý của mômen quán tính. Điều này rất dễ thực hiện, bắt đầu từ định luật thứ hai của Newton. Bằng chuyển động quay, định luật thứ hai của Newton được viết dưới dạng $M=I\alpha$, trong đó $M$ là mômen của lực tác dụng, $\alpha$ là gia tốc góc, và $I$ chính xác là mômen quán tính (xem «Kvant», 1971, Số 1, trang 6). So sánh công thức này với $F=ma$, chúng ta thấy rằng mômen quán tính là thước đo quán tính của một vật đang quay, cũng như khối lượng là thước đo quán tính trong chuyển động tịnh tiến.

Những điều cần biết về khối tâm

Chúng ta hãy nhớ lại ngắn gọn tất cả thông tin chúng ta cần về khối tâm (có thể tìm thấy chi tiết trong bài viết đã đề cập của M. B. Balk và V. G. Boltyansky).

Hãy xem xét một hệ gồm $n$ điểm vật chất (hoặc khối lượng chính xác), tức là $n$ cặp $(A_1, m_1), ..., (A_n, m_n)$, trong đó $A_i$ là các điểm tùy ý trong không gian, $m_i$ là các số thực (“khối lượng” tập trung tại các điểm này); ký hiệu ngắn hơn và thuận tiện hơn cho hệ thống này là $m_1A_1, ..., m_nA_n$. Nếu tổng khối lượng là $m=m_1+...+m_n\neq 0$ thì

1. còn có điểm duy nhất $Z$ sao cho

$$m_1\overrightarrow{ZA}_1+...+m_n\overrightarrow{ZA}_n=\overrightarrow{0};$$

điểm này được gọi là khối tâm của hệ $m_1A_1, ..., m_nA_n$;

2. với bất kỳ điểm nào $P$ đẳng thức giữ nguyên

$$\overrightarrow{PZ}=\frac{1}{m}(m_1\overrightarrow{PA}_1+...+m_n\overrightarrow{PA}_n);$$

(1)

Hình 1.

3. (định lý nhóm) khi thay một phần vật liệu của các điểm của hệ $m_1A_1, ..., m_nA_n$, ví dụ các điểm $m_1A_1, ..., m_kA_k$, bằng khối tâm $C$, trong đó tổng khối lượng của chúng $m'=m_1+...+m_k$ được đặt, vị trí khối tâm của toàn hệ không thay đổi, tức là khối tâm của hệ $m'C, m_{k+1}A_{k+1}, ..., m_nA_n$ và $m_1A_1, ..., m_nA_n$ trùng nhau.

Nó suy ra một cách mơ hồ từ định nghĩa rằng tâm $Z$ của hai khối lượng chính xác $m_1A_1$ và $m_2A_2$ nằm theo quy luật đòn bẩy nổi tiếng: điểm $Z$ nằm trên phần cay - hệ số tỷ lệ của hai vectơ thẳng hàng).

Bài toán

1. Gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của nó là tâm khối lượng của hệ $aA, bB, cC$. (Gợi ý: người dùng dựa trên thực tế là bissertis của một tam giác chia cạnh của nó thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh liền kề $^*$), chứng minh rằng, ví dụ, tâm bary của vật liệu của các điểm tại $bB$ và $cC$ là đáy bissertis của góc $A$; áp dụng định lý nhóm.)

2. Chúng ta hãy xem xét ba đường tròn bên ngoài của tam giác $ABC$—các đường tròn tiếp xúc (từ bên ngoài) với một trong các cạnh của tam giác và kéo dài sang hai cạnh còn lại (Hình 1). Gọi $A_1, B_1, C_1$ là điểm tiếp tuyến của chúng trên cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng a) các đoạn thẳng $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm $N$ (Điểm Nadel), b) giao điểm của các đường trung tuyến $M$ của tam giác nằm trên đoạn thẳng $ZN$, trong đó $Z$ là tâm của đường tròn nội tiếp và $|ZM|:|MN|=1:2$.

Momen quán tính và công thức Lagrange

Momen quán tính của hệ vật liệu điểm

$$m_1A_1, m_2A_2, ..., m_nA_n$$

so với một điểm cố định $P$ là số

$$I_P=m_1|PA_1|^2+m_2|PA_2|^2+...+m_n|PA_n|^2.$$

Khái niệm này lần đầu tiên được đưa ra bởi L. Euler (1707-1783).

Đối với những người yêu thích vật lý, chúng tôi lưu ý rằng trong cơ học, nói đúng ra, mômen quán tính của một hệ điểm so với

*) Ví dụ, xem bài viết của S. R. Sefibekov “Bốn cách chứng minh định lý bissertis” (Kvant, 1983, số 8, trang 37).

**) Xem thêm cuốn sách “Những con số Fibonacci” của N. N. Vorobyov (M.: Nauka, 1978, tr. 15).

35

Những cái chính từ điểm $A_i$ đến trục này (tích của nó bằng vận tốc góc quay của hệ quanh trục bằng mômen xung của hệ).

Nó trùng với $I_P$, khi điểm $P$ và tất cả các điểm $A_i$ nằm trong cùng một mặt phẳng và trục phân phối lại của nó đi qua $P$.

Công thức (2) có thể được viết ngắn gọn hơn bằng cách biểu thị khoảng cách từ $A_i$ đến $P$ bằng $r_i$ và sử dụng dấu tổng $\Sigma^*$):

$$I_P = \sum_i m_i r_i^2.$$

(3)

Công thức (3) và (2) có thể được đưa ra dưới dạng khác. Cho $P$ và $Q$ là hai điểm tùy ý thì

$$I_P = \sum_i m_i |PA_i|^2 = \sum_i m_i (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QA_i})^2$$

$$= \sum_i m_i |PQ|^2 + 2\sum_i m_i \cdot \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QA_i} + \sum_i m_i |QA_i|^2,$$

đó là

$$I_P = I_Q + m |PQ|^2 + 2\overrightarrow{PQ} \cdot (\sum_i m_i \overrightarrow{QA_i}).$$

(4)

Nếu bây giờ chúng ta lấy khối tâm $Z$ của hệ là $Q$, thì vì $\sum_i m_i \overrightarrow{ZA_i} = \overrightarrow{0}$ (theo định nghĩa của khối tâm), chúng ta nhận được

$$I_P = I_Z + m |PZ|^2.$$

(5)

Ở cuối bài viết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mômen quán tính đối với khối tâm được biểu thị, nếu $m \neq 0$, bằng công thức hay sau:

$$I_Z = \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2$$

(6)

và do đó với mọi điểm $P$

$$I_P = \left( \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2 \right) + m |PZ|^2.$$

(7)

Công thức (5)–(7) được gọi là công thức Laerang; mọi thứ xa hơn đều dựa vào chúng.

*) Dấu này cho phép chúng ta viết ngắn gọn tổng từ nhiều số hạng: cùng với $A_1 + A_2 + A_3 + \dots + A_n$ chúng ta viết $\sum_i A_i$ hoặc đơn giản là $\sum_i A_i$ (khi số số hạng $n$ rõ ràng trong ngữ cảnh). Tương tự, $\sum_i m_i r_i^2$ là viết tắt của $m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2$, v.v.

Hình 2.

Toán học - đây là một phép tính được gọi là những thứ giống nhau và giống nhau - khác nhau

Câu cách ngôn hài hước trong tựa đề có ý nghĩa sâu sắc. Các định lý toán học phản ánh những quy luật tổng quát nhất, do đó, cùng một định lý trong các lĩnh vực khác nhau có thể xảy ra với chúng ta trong những tình huống thoạt nhìn không có gì chung. Một ví dụ hay, mặc dù rất cơ bản, là công thức (5).

Chúng ta hãy viết lại nó bằng ký hiệu “trung lập”, trừu tượng hóa ý nghĩa của các đại lượng có trong nó. Đặt $x_1, \dots, x_n$ là một tập hợp các vectơ, $c_1, \dots, c_n$ là một tập hợp các số, $c = c_1 + \dots + c_n \neq 0$, $x_0 = (c_1 x_1 + \dots + c_n x_n) / c$, $y_i = x_i - x_0$ cho $i = 1, \dots, n$. Sau đó

$$c_1 x_1^2 + \dots + c_n x_n^2 = (c_1 y_1^2 + \dots + c_n y_n^2) + cx_0^2$$

(8)

($x_i^2, y_i^2$ nên hiểu là các ô vuông gấp của vectơ $x_i, y_i$). Chúng ta không cần phải chứng minh công thức này nữa, vì chúng ta luôn có thể giả sử rằng $x_i = \overrightarrow{PA_i}$, rồi $x_0 = \overrightarrow{PZ}$, trong đó $Z$ là hệ từ của vật liệu các điểm $c_1 A_1, \dots, c_n A_n$, $y_i = \overrightarrow{ZA_i}$ và công thức (8) trở thành công thức Laerange (5).

Bây giờ chúng tôi đưa ra thêm ba cách giải thích cho công thức này.

1. Gọi $x_1, \dots, x_n$ là vectơ của các bộ phân phối lại được thả từ các điểm $A_1, \dots, A_n$ lên trục $l$ (Hình 2), $c_1, \dots, c_n$ là khối lượng đặt tại các điểm này. Khi đó $x_0$ là vectơ phân phối lại từ barycenter $Z$ của chúng đến trục $l$ (tại sao?), và $y_i$ là vectơ phân phối lại từ các điểm $A_i$ đến trục $l_0$, được vẽ qua

36

điểm $Z$ song song với $l$. Trong trường hợp này, (8) có dạng định lý Steiner:

$$I_l = I_{l_0} + md^2$$

(ở đây $I_l$ và $I_{l_0}$ là mômen quán tính của hệ $c_1A_1$, …, $c_nA_n$ so với trục $l$ và $l_0$, $m=c$ là tổng khối lượng, $d$ là khoảng cách giữa các trục).

2. Cho $n$ các hạt $A_1$, …, $A_n$ có ​​khối lượng $m_1$, …, $m_n$ chuyển động đều và thẳng với tốc độ $\vec{v}_1$, …, $\vec{v}_n$ so với một số hệ thống báo cáo $S$. Sau đó khối tâm của chúng di chuyển trong hệ $S$ với tốc độ $\vec{v}_0 = (m_1\vec{v}_1 + \dots + m_n\vec{v}_n) / m$ ($m = m_1 + \dots + m_n$). Tốc độ của hạt $A_i$ trong hệ quy chiếu nghỉ của khối tâm, theo quy luật cộng vận tốc, bằng $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_0$. Gọi $E$ và $E_0$ là tổng động năng của tất cả các bộ phận trong hệ $S$ và trong tâm của hệ khối lượng, tức là $E = \frac{m_1v_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nv_n^2}{2}$, $E_0 = \frac{m_1u_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nu_n^2}{2}$. Áp dụng $x_i = \vec{v}_i$, $c_i = m_i/2$ vào (8), ta thu được định lý Könz về động năng:

$$E = E_0 + \frac{mv_0^2}{2}$$

(tổng động năng của hệ các bộ phận bằng năng lượng chuyển động của chúng so với khối tâm của mặt phẳng; năng lượng chuyển động của khối tâm).

Ví dụ cuối cùng đến từ một lĩnh vực hoàn toàn khác - lý thuyết xác suất.

3. Giả sử rằng trong một thử nghiệm nào đó có kết quả ngẫu nhiên, một giá trị nhất định $X$ được đo, chẳng hạn, họ ném một viên xúc xắc hình kim và xác định số điểm rơi ra. Giả sử rằng, tùy thuộc vào kết quả của thử nghiệm, giá trị $X$ có thể nhận $n$ giá trị $x_1$, …, $x_n$ (trong ví dụ với xúc xắc - 6 giá trị 1, 2, …, 6) và giá trị $x_i$ được chấp nhận với xác suất $p_i$ (các số $p_i$ không âm và cộng lên 1; trong ví dụ của chúng tôi, rất indo, tất cả các giá trị đều có khả năng xảy ra như nhau, tức là $p_1 = p_2 = \dots = p_6 = 1/6$). Số $p_1x_1 + \dots + p_nx_n$ được gọi là giá trị trung bình (hoặc kỳ vọng toán học) của ngẫu nhiên $X$ và được ký hiệu là $MX$ (trong ví dụ của chúng tôi $MX = (1 + \dots + 6)/6 = 3,5$). Do đó, theo quan điểm của lý thuyết xác suất, các biểu thức trong (8) (tại $c_i = p_i$, $c = \Sigma p_i = 1$) có thể được hiểu như sau*):

$$p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = MX^2$$

— giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên $X^2$ hoặc, như người ta nói, khoảnh khắc thứ hai (lại là “thời điểm”!) của biến ngẫu nhiên $X$; $y_i = x_i - x_0 = x_i - MX$ — độ lệch của các giá trị ngẫu nhiên $X$ so với giá trị trung bình;

$$p_1y_1^2 + \dots + p_ny_n^2 = MX(X - MX)^2$$

— giá trị trung bình của độ lệch bình phương $X$ từ $MX$; đây là một đặc tính rất quan trọng của một biến ngẫu nhiên, thể hiện mức độ “phân tán” của nó xung quanh giá trị trung bình, nó gọi là độ phân tán và được ký hiệu là $DX$; $x_0^2 = (MX)^2$.

Kết quả là, (8) biến thành một công thức tính phương sai, có sẵn trong tất cả các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất (mặc dù không mang bất kỳ cái tên hay ho nào):

$$DX = MX^2 - (MX)^2$$

Có dễ dàng nhận ra công thức Lagrange ở đây không?

Bài toán 3. Tìm phương sai số cửa sổ khi tung xúc xắc.

Các hệ quả hình học

Công thức Stoyart. Hãy tìm khoảng cách $d$ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ đến điểm $D$ ở cạnh $BC$, kiến thức về độ dài $a$, $b$, $c$ của các cạnh của tam giác và độ dài các đoạn $BD$ và $DC$ (Hình 3). Cho $p = |BD| : |BC|$, $q = |DC| : |BC|$ thì $D$ là khối tâm của hệ vật liệu các điểm $qB$, $pC$. Tính mô men quán tính của hệ này đối với điểm $A$, ta thu được (xem (7))

• Công thức (8) cũng đúng trong trường hợp $x_i$ là các số: chúng ta có thể đơn giản coi chúng là vectơ có tọa độ $(x_i; 0; 0)$. Mặt khác, nó có thể được áp dụng cho các biến ngẫu nhiên mang vectơ giá trị.

38

Để chứng minh, lưu ý rằng $Z$ là khối tâm của hệ điểm vật chất $aA, bB, cC$ (xem bài toán 1). Chúng ta hãy tìm mômen quán tính của hệ này đối với $Z$ (xem (6)):

$$I_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a+b+c} = abc = 2R \sin \hat{A} \cdot bc = 4RS = 4Rrp,$$

và liên quan đến 0:

$$\Pi \text{ формуле (5)} |OZ|^2 = (I_O - I_Z)/2p = R^2 - 2Rr.$$

Một trong những định lý đẹp nhất của hình học tam giác phát biểu rằng trung điểm của tam giác, đáy các đường cao và trung điểm của các đoạn nối giao điểm của các đường cao với các đỉnh nằm trên một đường tròn - gọi là “đường tròn chín điểm” (xem «Kvant» 1981, số 8, trang 34). Nhưng nó sẽ tạo ấn tượng lớn hơn nữa.

Định lý Feuerbach. Vòng tròn chín điểm chạm vào bốn vòng tròn “đáng chú ý” - một vòng tròn nội tiếp và ba vòng tròn bên ngoài.

Chúng ta sẽ chỉ chứng minh định lý này cho đường tròn nội tiếp (các phần còn lại giải quyết tương tự - xem bài toán 8), và chỉ cần biết rằng đường tròn chín điểm đi qua trung điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ cạnh của tam giác $ABC$.

Tam giác $A_1B_1C_1$ giống với tam giác $ABC$ với hệ số 1/2 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó là $R/2$; Hãy biểu thị tâm của nó bằng $F$. Ta viết và chứng minh điều kiện để đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp có dạng:

$$|FZ|^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2.$$

Chúng ta hãy đặt khối lượng $a, b, c$ tại các đỉnh $ABC$ của tam giác (trọng tâm của chúng sẽ là điểm $Z$), chia mỗi khối thành hai phần: $a = (p-b) + (p-c), b = (p-c) + (p-a), c = (p-a) + (p-b)$ và nhóm các phần này theo cặp, như trong Hình 6; khối tâm vẫn giữ nguyên. Khối tâm của hệ $(p-a)B, (p-a)C$ tại điểm $A_1$, hệ $(p-b)A, (p-b)C$ tại điểm $B_1$, và hệ $(p-c)A, (p-c)B$ tại điểm $C_1$, do đó, điểm $Z$ là tâm khối của hệ $(p-a)A, (p-b)B_1, (p-c)C_1$ (chúng tôi đồng thời giảm một nửa khối lượng thu được sau khi nhóm). Hãy tìm mô men quán tính của hệ này đối với các điểm $F$ và $Z$:

$$I_F = ((p-a) + (p-b)) + (p-c)) \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{a} \cdot p,$$

$$I_Z = \frac{1}{p} ((p-a)(p-b)\left(\frac{c}{2}\right)^2) + (p-b)(p-c)\left(\frac{a}{2}\right)^2) + (p-a)(p-b)\left(\frac{b}{2}\right)^2).$$

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi tam giác điểm $(p-a)(p-b)c^2 + (p-b)(p-c)a^2 + (p-c)(p-a)b^2 = abcp^2 - 4S^2$ đúng.

Sử dụng hành động hiện tại của bài toán này (lời giải của nó được đưa ra ở cuối nhật ký), việc hoàn thành chứng minh khá dễ dàng: sử dụng công thức (5)

$$|FZ|^2 = \frac{I_F - I_Z}{P} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4p} + \frac{S^2}{p^2} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4Rp} R + \left(\frac{S}{p}\right)^2 = \frac{R^2}{4} - rR + r^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2,$$

đó là những gì được yêu cầu.

Bài toán 8. Chứng minh định lý Feuerbach cho đường tròn nội tiếp. (Gợi ý: tâm của đường tròn nội tiếp tiếp xúc với mặt (bên ngoài) $a$ đóng vai trò là tâm khối lượng của hệ $(-a)A, bB, cC$. Tập hợp các khối lượng này ở cạnh giữa, sử dụng đẳng thức $a = (p-b) + (p-c), b = p - (p-b), c = p - (p-c).$)

Khoảng cách đến khối tâm và suy ra công thức Lagrange

Để chứng minh công thức (7) và (6), chúng ta sẽ rút ra công thức biểu thị khoảng cách từ một điểm tùy ý $P$ đến khối tâm $Z$ của hệ các điểm vật chất $m_1A_1, \dots, m_nA_n$ thông qua các khoảng cách từ điểm này đến các điểm của hệ: $r_i = |PA_i|$, và các khoảng cách theo cặp giữa

(Cuối cùng xem trang 48)