Sai lầm ở đâu?

30

Toán 8,9,10
Một cách khác để tự kiểm soát

Ghi chú bên dưới “Lỗi ở đâu?” dành cho học sinh lớp tám, “Chúng ta hãy thực hiện một bước tự chủ khác” - dành cho học sinh lớp chín, và “Chúng ta có cần làm bài kiểm tra không?” - học sinh lớp mười. Sự phân chia này có phần tùy tiện, vì mỗi ghi chú này có thể hữu ích không chỉ đối với học sinh của các lớp này.

Sai lầm ở đâu?

Như bạn đã biết, chuyển động quay là một trong những chuyển động của mặt phẳng. Khi di chuyển, bất kỳ hình nào cũng được ánh xạ lên một hình bằng nhau. Bây giờ chúng ta sẽ “chỉ ra”, sử dụng các tính chất của chuyển động, rằng khi quay, một hình tam giác sẽ biến thành một hình tam giác không bằng nhau.

Khi quay, các đỉnh của tam giác trượt dọc theo các đường tròn đồng tâm có tâm chung trùng với tâm quay và khoảng cách giữa các đỉnh của nó được giữ nguyên. Để thu được ảnh tam giác ABC khi quay một góc α quanh điểm O, ta dựng một đường tròn đồng tâm có tâm tại điểm O, trên đó các điểm A, B và C nằm. Khi đó, trên đường tròn chứa điểm A, ta dựng điểm A1 sao cho góc AOA1 bằng α. Cuối cùng, trên đường tròn chứa các điểm B và C, lần lượt dựng các điểm B1 và ​​C1 sao cho A1B1=AB và A1C1=AC

(xem hình). Hình vẽ cho thấy rõ tam giác A1B1C1 ta thu được không bằng tam giác ABC (ví dụ B1C1≠BC).

Sai lầm ở đâu?

N. I. Bovsunovsky

Tài liệu trong ghi chú này bổ sung cho bài viết của V. Matizen (xem «Kvant» Số 10, 1980).

Từ kinh nghiệm của bản thân, tôi biết rằng bạn có thể điền tốt một công thức và quên một công thức tương tự. Ví dụ, giả sử bạn nhớ rõ sin (x+y)=sin x cos y+cos x sin y (1), nhưng bạn quên cos (x+y) bằng bao nhiêu. Trong trường hợp này, những điều sau đây sẽ giúp bạn. Chúng ta có thể giả sử rằng trong đẳng thức (1) x là đại lượng thay đổi và y là số cố định. Vi phân đẳng thức này (đối với x), chúng ta thu được (sin(x+y))′= (sin x)′cos y+(cos x)′×sin y, từ đó cos (x+y)=cos x cos y−sin x sin y.

Vậy là công thức bị lãng quên đã được khôi phục. Tương tự, từ công thức

sin x cos y=1/2 (sin(x+y)+sin(x−y))

(2)

dễ dàng thu được các công thức: a) cos x cos y=1/2 (cos(x+y)+cos(x−y)) (chỉ cần đạo hàm đẳng thức (2) đối với x, coi y là hằng số là đủ);

b) sin x sin y=1/2 (cos(x−y)−cos(x+y)) (chỉ cần đạo hàm (2) theo y là đủ, coi x là hằng số:

−sin x sin y=1/2 (cos(x+y)−cos(x−y))

và đổi dấu cả hai vế của đẳng thức thu được).

Hãy đưa ra một ví dụ khác. Học sinh được yêu cầu suy ra công thức biểu thị sin 3α qua sin α. Ông đã biểu diễn 3α dưới dạng α+2α và sử dụng sin của công thức tính tổng:

sin (α+2α)=sin α cos 2α+cos α sin 2α=sin α(1−2sin²α)+2sin α cos²α=3sin α−4sin³α.

Kết quả là ông đã thu được công thức đúng:

sin 3α=3 sin α−4 sin³α.

Sau đó, anh ta được yêu cầu tìm ra công thức tương tự cho cos 3α. Không có nhiều nhiệt tình, anh lặp lại các phép biến đổi:

cos 3α=cos (α+2α)=…=4 cos³α−3 cos α.