Bài toán M886—M890; F898—F902

Kvant 1984, số 10 tr. 40, 41, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52 Thẻ 6GZ1

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài toán

M886—M890, F898—F902

M886. Có thể sắp xếp 4n-4 số nguyên liên tiếp (không nhất thiết phải dương) vào 4n-4 ô nằm dọc theo chu vi của một hình vuông gồm n×n ô sao cho tổng các số tại các đỉnh của mỗi hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường chéo của hình vuông và tổng các số ở hai đầu mỗi đường chéo bằng cùng một số s? Giải bài toán cho n bằng: a) 3, 6) 4, c) 5, d) 1985. Nếu có thể, hãy tìm các giá trị chấp nhận được của s.

V. G. Boltyansky

M887. Hai tiếp tuyến của đường tròn CA và CB cắt nhau tại điểm C (A và B là các điểm tiếp tuyến, Hình 1). Đường tròn thứ hai đi qua điểm C, tiếp xúc đường thẳng AB tại điểm B và cắt đường tròn thứ nhất tại điểm M. Chứng minh rằng đường thẳng AM chia đôi đoạn BC.

I. F. Sharyzin

M888. Các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức ab=cd. Chứng minh rằng số a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984} là.

A. V. Anzhans

M889. Có ba điểm A, B, C trên mặt phẳng sao cho với bất kỳ điểm P nào trên mặt phẳng thì ít nhất một trong các đoạn PA, PB và PC có độ dài vô tỷ?

A. M. Slinko

M890. Có 51 thành phố trên lãnh thổ đất nước, có hình vuông với cạnh 1000 km. Đất nước này có đủ phương tiện để xây dựng 11.000 km đường cao tốc. Liệu nó có thể kết nối tất cả các thành phố của mình bằng một mạng lưới đường cao tốc không?

L. D. Kurlyandchik

F898. Một thanh đồng nhất có chiều dài l được nối bằng một sợi dây không trọng lượng có chiều dài l với một điểm cố định A (Hình 2). Đầu dưới của thanh có thể trượt không ma sát trên mặt bàn nằm ngang. Khoảng cách từ điểm A đến bàn là H(l<H<2l). Cây gậy bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu từ vị trí như hình vẽ. Tìm tốc độ lớn nhất của tâm gậy trong quá trình chuyển động tiếp theo.

S. S. Krotov

F899. Một cốc đảo ngược có khối lượng m đặt trên hai bình lớn kín chứa đầy nước. Chiếc cốc có dạng hình trụ bán kính R và chiều cao R

có khoang hình bán cầu, bán kính của nó cũng bằng $R$ (Hình 3). Khoang làm đầy Groat. Họ bắt đầu từ từ mở nước ra khỏi tàu.

Xác định ở độ cao $h$ của cột nước trong bình thì cốc sẽ vỡ ra khỏi đáy và chất lỏng sẽ bắt đầu chảy ra từ dưới mép cốc.
Tìm chiều cao thực của hộp khi bơm hết nước ra khỏi bình.
Bỏ qua áp suất hơi nước. Mật độ của nước $q$ và mật độ ptrт $q_1$ được coi là đã biết. Lưu ý: thể tích của một đoạn hình cầu có chiều cao $H$ và bán kính $R$ (Hình 4) bằng $\pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right)$ .

M. G. Abrahamyan

F900. Một phần đồ thị mô tả quá trình xảy ra với khí đơn nguyên tử lý tưởng đã bị mất (Hình 5). Tỷ lệ dọc theo cả hai trục đều đã biết (chúng được hiển thị trong Hình 5). Trong toàn bộ quá trình chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, khí tách ra theo mức độ nhận được. Tìm công mà khí thực hiện trong quá trình này. Hằng số khí phổ quát $R=8,3$ J/(mol K).

V. T. Karapetyan

F901. Ba tụ điện giống hệt nhau, mỗi tụ điện $C$ , được mắc nối tiếp và nối với pin có sức điện động $\mathcal{E}$ . Sau khi được sạc đầy, chúng bị ngắt kết nối khỏi pin. Sau đó, hai điện trở có điện trở $R$ được nối đồng thời với chúng như trong Hình 6. Mỗi điện trở sẽ tỏa ra bao nhiêu nhiệt lượng? Các điểm trên các điện trở tại thời điểm đó khi hướng trên tụ giữa nhỏ hơn 10 lần so với suất điện động của pin?

A. R. Zilberman

F902. Hai lớp phẳng có độ dày $d$ , mỗi lớp được tích điện đồng đều trong toàn bộ thể tích với mật độ điện tích - $q$ và + $q$ . Một hạt mang điện tích âm - $e$ và khối lượng $m$ tiếp cận lớp tích điện dương với tốc độ $v$ , hướng một góc $\alpha$ so với bề mặt của lớp (Hình 7).

Ở tốc độ nào thì hạt sẽ không thể xuyên qua lớp tích điện âm?
Sau bao nhiêu thời gian và ở khoảng cách bao nhiêu từ điểm $A$ thì hạt trong trường hợp này sẽ rời khỏi lớp tích điện dương?

A. I. Buzdin

Hình 5.
Hình 6.
Hình 7.

Hình 1. Hình 2.

ron). Chứng minh rằng sau vài lần lặp lại thao tác này, tất cả các ô sẽ chứa các ô.

Hình 1. Hình 2.

đó $a_i^2 = 1$ . Các bảng này được hiển thị trong Hình 2, trong đó để ngắn gọn, chỉ các chỉ số thành phần được đưa ra trong các ô của bảng, ví dụ: tích $a_1a_3a_5$ biểu thị 1, 3, 5. Dấu hoa thị * có nghĩa là số 1. Như bạn có thể thấy, luôn sau đó, thao tác sẽ có đơn vị trong tất cả các ô.

I. K. Zhuk, I. V. Voronovishch

M872. Có ba vòng tròn $C_1, C_2, C_3$ bán kính $r_1, r_2, r_3$ trên mặt phẳng - mỗi vòng tròn nằm ngoài hai vòng tròn còn lại, $r_1 > r_2$ và $r_1 > r_3$ . Từ giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với đường tròn $C_1$ và $C_2$ , vẽ các tiếp tuyến của đường tròn $C_3$ , và từ giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với $C_1$ và $C_3$ , vẽ các tiếp tuyến với $C_2$ . Chứng minh rằng hai cặp tiếp tuyến cuối cùng tạo thành một tứ giác nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính của nó.

Đáp số: $r = r_1r_2r_3 / (r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3)$ .

Chúng ta hãy biểu thị tâm của các đường tròn này bằng $O_1, O_2, O_3$ và giao điểm của các tiếp tuyến là $A$ và $B$ (Hình 1).

Lời giải bài toán dựa trên thông điệp hiển nhiên nhưng thường được sử dụng sau đây: giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với hai đường tròn đóng vai trò là phép đo tâm của các đường tròn này (điều này cũng đúng đối với giao điểm của các tiếp tuyến trong). Từ đó, ngay lập tức, hình tròn bốn phải được chuẩn bị ית $C_2$ với tâm $A$ và $C_3$ với tâm $B$ , do đó tâm $O$ của nó phải nằm ở giao điểm của các đoạn $AO_2$ và $BO_3$ . Bây giờ chúng ta cần phải

Hình 1.

chứng minh sự tồn tại của một số $r$ rằng một đường tròn $C$ có tâm $O$ bán kính $r$ sẽ được chuẩn bị $C_2$ với tâm $A$ (tức là $r : r_2 = |AO| : |AO_2|$ ) và đồng thời chuẩn bị $C_3$ với tâm $B$ (tức là, $r : r_3 = |BO| : |BO_3|$ ), và tìm số này.

Hãy tính tỉ số $|AO| : |AO_2|$ . Để làm điều này, chúng ta vẽ một đoạn $O_2D$ song song với $BO_3$ (Hình 2), sau đó, sử dụng sự sẵn sàng của các hình tam giác $AOO_3$ và $AO_2D, O_1BO_3$ và $O_1O_2D$ , chúng ta thu được

$\frac{|AO_2|}{|AO|} = \frac{|AD|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_2D|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_3D|}{|O_3O_1|} \cdot \frac{|O_3O_1|}{|AO_3|} =$

$= 1 + \frac{|BO_2|}{|BO_1|} \cdot \left( \frac{|AO_1|}{|AO_3|} - 1 \right).$

Không $|BO_2|:|BO_1|=r_2:r_1$ (các vòng tròn $C_2$ và $C_1$ đã sẵn sàng với tâm $B$ và hệ số $r_2:r_1$ ), và tương tự $|AO_1|:|AO_3|=r_1:r_3$ , do đó

$\frac{|AO_2|}{|AO|} = 1 + \frac{r_2}{r_1} \left( \frac{r_1}{r_3} - 1 \right) = \frac{r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3}{r_1r_3}.$

Từ đẳng thức $r:r_2=|AO|:|AO_2|$ bây giờ chúng ta tìm thấy,

$r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_3+r_1r_2-r_2r_3}.$

Chúng ta sẽ thu được giá trị tương tự với phương pháp tìm $r$ thứ hai - từ sự tương ứng $r:r_3=|BO|:|BO_3|$ - bởi vì tất cả các thay đổi sẽ được giảm xuống việc thay thế $r_2$ bằng $r_3$ và ngược lại, và việc thay thế không ảnh hưởng đến giá trị của vế phải (1). Như vậy khẳng định bài toán đã được chứng minh.

Chú ý rằng để chứng minh sự tồn tại của đường tròn nội tiếp trong tứ giác tạo bởi các tiếp tuyến, tức là đẳng thức

$r_2 \cdot \frac{|AO|}{|AO_2|} = r_3 \cdot \frac{|BO|}{|BO_3|},$

càng ngắn càng tốt và theo những cách khác nhau. Ví dụ, chúng ta hãy đưa ra một bằng chứng sử dụng “phương pháp tính diện tích”. Viết lại (2) dưới dạng

$\frac{r_2}{r_1} \cdot \frac{|AO|}{|AO_2|} = \frac{r_3}{r_1} \cdot \frac{|BO|}{|BO_2|}.$

Vì $r_2:r_1=|BO_2|:|BO_1|=S_{ABO_2}:S_{ABO_1}, |AO|:|AO_2|=S_{ABO}:S_{ABO_2}, r_3:r_1=S_{ABO_3}:S_{ABO_1}$ và $|BO|:|BO_2|=S_{ABO}:S_{ABO_2}$ (trong đó $S_{ABO}, S_{ABO_1}$ , v.v. là diện tích của các tam giác tương ứng), cả hai cạnh của đẳng thức (3) đều bằng $S_{ABO}:S_{ABO_1}$ .

Bài toán cũng có thể được giải dễ dàng bằng cách sử dụng khái niệm khối tâm, mà tôi đã thảo luận chi tiết trong bài viết của V. G. Boltyansky và M. B. Balk trong «Kvant» số 4 năm nay. Chúng tôi mời độc giả tự mình tìm thấy lời giải này.

L. P. Kuptsov,
V. N. Dubrovsky

M873. Giáo viên viết một hình tam giác vuông $x^2+10x+20$ lên bảng. Sau đó, mỗi học sinh lần lượt thông báo hoặc giảm bớt một trong các hệ số thấp hơn theo lựa chọn của mình (hệ số $x$ hoặc số hạng tự do), nhưng không biến kết quả thành tam giác $x^2+20x+10$ . Có đúng là tại một số điểm, một hình tam giác vuông có toàn bộ nghiệm được viết lên bảng không?

M874. Với số nguyên nào $m$ và $n$ thì đẳng thức a) $(5+3\sqrt{2})^m=(3+5\sqrt{2})^n$ đúng? b) $(a+b\sqrt{d})^m=(b+a\sqrt{d})^n$ , ăn uống a. u b (a≠b) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và $d>1$ là số tự nhiên có ước số không phải là chính phương nguyên tố?*

Có thể: đúng.

Lưu ý rằng với mỗi thay đổi trong tam giác, giá trị của nó tại điểm $x=-1$ thay đổi 1 (theo hướng này hoặc hướng khác). Giá trị của tam giác đầu tiên, $f(x)=x^2+10x+20$ , tại thời điểm này là $f(-1)=11$ và giá trị của tam giác cuối cùng, $g(x)=x^2+20x+10$ , là $g(-1)=-9$ . Do đó, tại mỗi thời điểm trung gian, một hình tam giác $h(x)=x^2+px+q$ được viết trên bảng, trong đó $h(-1)=0$ . Cả hai gốc của nó đều là số nguyên (một gốc bằng - 1, gốc kia, theo định lý Vieta, bằng - $q$ ).

MỘT. A. Berzigni

Obtet: chỉ dành cho $m=n=0$ .

Ta phải chứng minh đẳng thức ban đầu $(a+b\sqrt{d})^m=(b+a\sqrt{d})^n$

không thể thực hiện đối với số nguyên dương $m$ và $n$ . (Trong ngoặc đơn có các số lớn hơn 1, do đó $m$ và $n$ cùng dấu; nếu $m$ và $n$ âm thì chuyển sang các số nghịch đảo, chúng ta thu được đẳng thức tương tự như (1) với số mũ $|m|$ và $|n|$ . Lưu ý rằng trong điều kiện bài toán $\sqrt{d}$ (một phần, $\sqrt{2}$ ) là vô tỉ. Hãy bỏ dấu ngoặc trong biểu thức này và biểu diễn nó dưới dạng $x+y\sqrt{d}=z+t\sqrt{d},$ (2)

trong đó $x, y, z, t$ là số tự nhiên. Đẳng thức (2) chỉ có thể đúng nếu $x=z$ và $y=t$ (ngược lại

$\sqrt{d}$ là một số hữu tỉ), do đó, cùng với đẳng thức đã cho (1), đẳng thức của các số “liên hợp” (có được bằng cách thay thế $-\sqrt{d}$ cùng với $\sqrt{d}$ ) cũng phải đảm bảo:

$(a-b\sqrt{d})^m = (b-a\sqrt{d})^n,$

(3)

đẳng thức tương đương $x-y\sqrt{d}=z-t\sqrt{d}$ .

Thông báo này ngay lập tức cho lời giải bài toán a): vì $|5-3\sqrt{2}|<1$ và $|3-5\sqrt{2}|>1$ , đẳng thức là $(5-3\sqrt{2})^m=(3-5\sqrt{2})^n$

không thể thực hiện với $m>1$ , $n>1$ : số ở cạnh tiếp theo nhỏ hơn 1 theo modulo và ở bên phải lớn hơn 1.

Bây giờ chúng ta hãy trình bày hai lời giải bài toán 6).

Đầu tiên là dựa trên các thông điệp chia hết. Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng trong đẳng thức (1), số mũ $m$ và $n$ có thể được coi là nguyên tố cùng nhau (nếu chúng có ước số chung nhất $q>1$ , thì lấy căn của bậc $q$ , chúng ta thu được đẳng thức tương tự với nguyên tố cùng nhau $m$ và $n$ ). Điều này có nghĩa là một trong những số này, chẳng hạn như $n$ , là số lẻ. Khi đó, sau khi mở dấu ngoặc đơn ở (1), tất cả các số hạng không chứa $\sqrt{d}$ , ngoại trừ $a^m$ , sẽ có thừa số $b$ . Cân bằng tổng của chúng ở bên trái và bên phải của $(x=z)$ , chúng ta thấy rằng $a^m$ chia hết cho $b$ . Và vì $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau nên điều này chỉ có thể thực hiện được với $b=1$ . Thay $b=1$ vào (3) và xét đến $1-a\sqrt{d}<0$ , ta thấy cả hai vế của (3) đều âm nên số $m$ cũng là số lẻ. Từ đây, suy ra hoàn toàn giống như cách $b^n=1$ chia hết cho $a$ , do đó $a=1$ mâu thuẫn với các điều kiện của $a\neq b$ .

lời giải 6) thứ hai gần với lời giải bài toán a) - nó chỉ sử dụng phép chuyển đổi sang số liên hợp (3) và ước tính chứ không sử dụng điều kiện nguyên tố lẫn nhau của các số tự nhiên $a$ và $b$ .

Đặt $a>b$ , sau đó $1<a+b\sqrt{d}<b+a\sqrt{d}$ và do đó từ (1) suy ra (đối với $m>1$ , $n>1$ ) rằng $m>n$ . Mặt khác đẳng thức phải thỏa mãn

$\left(\frac{a-b\sqrt{d}}{a+b\sqrt{d}}\right)^m = \left(\frac{b-a\sqrt{d}}{b+a\sqrt{d}}\right)^n.$

(4)

Hãy so sánh các giá trị

$\mu = \left| \frac{a-b\sqrt{d}}{a+b\sqrt{d}} \right| \text{ и } v = \left| \frac{a\sqrt{d}-b}{b+a\sqrt{d}} \right|$

(5)

(bạn không cần phải viết nó vào dấu hiệu thứ hai của mô-đun, vì $a\sqrt{d}>b$ ). Lưu ý rằng nếu $p>q>0$ thì số lượng

$\frac{p-q}{p+q} = \frac{1-q/p}{1+q/p} = \frac{2}{1+q/p} -1$

tem càng lớn (càng gần 1) thì tỷ lệ $\dot{q}/p$ càng nhỏ. Vì, rất thường xuyên $p>q>0$ , nên số lượng

$\frac{b}{a\sqrt{d}} < \frac{b}{a} < \frac{b\sqrt{d}}{a} \text{ и } \frac{b}{a\sqrt{d}} < \frac{a}{b\sqrt{d}},$

trong bất kỳ trường hợp nào trong hai trường hợp $a>b\sqrt{d}$ và $a<b\sqrt{d}$ sẽ có $\mu<v$ và thậm chí nhiều hơn thế $\mu^m<v^n$ , hoặc $0<\mu<v<1$ và $m>n$ . Điều này mâu thuẫn với đẳng thức $\mu^m=\nu^n$ , suy ra từ (4).

Yu. V. Mikheev, N. B. Vasiliev

◆ Chúng ta hãy biểu thị những con số này bằng $a_1, \dots, a_n$ và bằng

$S_n = \frac{a_n+a_2}{a_1} + \frac{a_1+a_3}{a_2} + \dots + \frac{a_{n-1}+a_1}{a_n}$

số tiền được xem xét trong nhiệm vụ.

a) Vì với mọi số dương $x$ và $y$ thì đẳng thức $x/y+y/x\geq 2$ là đúng nên tổng $S_n$

có thể được đánh giá như sau:

$S_n = \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} \right) + \left( \frac{a_3}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} \right) + \ldots + \left( \frac{a_1}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \right) \geqslant 2 + 2 + \ldots + 2 = 2n$

(bất đẳng thức này đúng với mọi số dương $a_1, \ldots, a_n$ ).

Bất đẳng thức $S_n \leqslant 3n$ có thể được chứng minh bằng quy nạp trên $n$ .

Đối với $n=3$ , hãy xem xét hai trường hợp: 1) tất cả các số đều bằng nhau, 2) trong số các số $a_1, a_2, a_3$ có những số khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, tất cả các số hạng trong (*) đều bằng 2 và $S_3=6<3\cdot 3$ . Trong trường hợp thứ hai, hầu hết các số $a_1, a_2, a_3$ (trống sẽ là $a_1$ ) đều lớn hơn hai số còn lại ( $a_1>(a_2+a_3)/2$ ). Khi đó số $(a_2+a_3)/a_1$ nhỏ hơn 2 và vì số này là số tự nhiên nên $a_1=a_2+a_3$ . Kể từ đây,

$S_3 = \frac{a_2+a_3}{a_1} + \frac{a_3+a_1}{a_2} + \frac{a_1+a_2}{a_3} = 3 + \frac{2a_3}{a_2} + \frac{2a_2}{a_3},$

và các số $k=2a_3/a_2=(a_1+a_3)/a_2-1$ và $l=2a_2/a_3$ là số tự nhiên. Xét rằng $kl=4$ , chúng ta có các tùy chọn sau: $k=1, l=4$ - sau đó $a_2=2a_3$ và $S_3=8<9$ hoặc $k=2, l=2$ - sau đó $a_3=a_2, S_3=7<9$ hoặc $k=4, l=1$ và một lần nữa $S_3=8<9$ .

Bây giờ chúng ta giả sử rằng bất đẳng thức của chúng ta đúng với các số $n-1$ và chứng minh rằng $S_n<3n$ . Nếu tất cả các số $a_i$ đều bằng nhau thì $S_n=2n<3n$ . Mặt khác, có thể có hầu hết các số $a_1, \ldots, a_n$ (nếu có nhiều số nhất, hãy chọn số lớn hơn ít nhất một trong các số lân cận của nó). Gọi đây là số $a_n$ , sau đó là $a_n>(a_{n-1}+a_1)/2$ . Như trên, phần còn thiếu là $a_n=a_{n-1}+a_1$ , tức là.

$\frac{a_{n-2}+a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-2}+a_1}{a_{n-1}}, \frac{a_n+a_2}{a_1} = 1 + \frac{a_{n-1}+a_2}{a_1},$

trong đó $(a_{n-2}+a_1)/a_{n-1}$ và $(a_{n-1}+a_2)/a_1$ là số tự nhiên. Do đó, tập $a_1, \ldots, a_{n-1}$ thỏa mãn các điều kiện bài toán và tổng $S_{n-1}<3(n-1)$ được xem xét cho tập đó. Vì vậy, $S_n=S_{n-1}+3<3n$ .

Từ điều trên, rõ ràng là khi cộng số $a_{n+1}=a_1+a_n$ vào tập $a_1, \ldots, a_n$ (giữa $a_1$ và $a_n$ ), tổng $S_n$ tăng thêm 3. Từ đây, bằng quy nạp, dễ dàng suy ra rằng tổng $S_n$ có thể lấy bất kỳ giá trị nguyên nào $S$ từ khoảng $2n \leqslant S < 3n$ .

O. R. Musin

F883. Khi một quả đạn đất đứng yên bị vỡ, nó sẽ phân tán thành một số lượng rất lớn các mảnh vỡ, bay đồng đều về mọi hướng với tốc độ $v_0$ . Một viên đạn như vậy bay xuống với tốc độ $u$ , phát nổ ở độ cao $H$ so với mặt đất. Khi nào mảnh vụn rơi xuống đất thường xuyên nhất?

Sau khi đạn vỡ ra, các mảnh vỡ có thể phân tán theo mọi hướng và tạo thành một quả cầu giãn nở đồng đều với tốc độ $v_0$ , tâm của nó chuyển động hướng xuống dưới với gia tốc $g$ và với tốc độ ban đầu là $u$ . Như vậy, theo thời gian $t$ kể từ thời điểm vỡ, tâm của quả cầu sẽ dịch chuyển từ điểm $A$ , nằm ở độ cao $H$ so với mặt đất (lúc này sẽ xảy ra hiện tượng vỡ) đến một khoảng cách $AO=ut+gt^2/2$ (xem Hình 3). Và bán kính của hình cầu sẽ bằng $R_i=v_0t$ . Lúc này hãy để tâm của quả cầu ở trên mặt đất ở độ cao $(R_i-h_i)<R$ . Điều này có nghĩa là những mảnh đó nên

Chúng sẽ nằm trên bề mặt của một đoạn hình cầu có chiều cao $h_t$ (xem Hình 1) được nén chặt xuống đất. Hãy tìm khối lượng $m(t)$ của những mảnh vỡ này.

Gọi $m_0$ là khối lượng của tất cả các mảnh vỡ (khối lượng của đạn); Sau đó

$m(t) = m_0 \frac{S(h_t)}{S(R_t)} = m_0 \frac{2\pi R_t h_t}{4\pi R_t^2} = m_0 \frac{h_t}{R_t},$

trong đó $S(h_t)$ là diện tích của đoạn hình cầu có chiều cao $h_t$ , $S(R_t)$ là diện tích của toàn bộ hình cầu tại thời điểm $t$ . Thay thế $R_t = v_0 t$ và $h_t = ut + gt^2/2 + v_0 t - H$ (xem Hình 1), chúng ta nhận được

$m(t) = m_0 \left( \frac{u + v_0}{2v_0} + \frac{gt}{4v_0} - \frac{H}{2v_0 t} \right).$

Công thức thu được đúng cho khoảng thời gian $t_1 \leq t \leq t_2$ , trong đó $t_1$ là thời gian trôi qua sau vụ nổ cho đến khi các mảnh vỡ bắt đầu rơi xuống đất, $t_2$ là thời gian trôi qua trước khi mảnh vỡ rơi xuống đất sau nó. Hãy tìm các giá trị của $t_1$ và $t_2$ .

Mảnh đầu tiên rơi xuống đất sẽ là mảnh có tốc độ tại điểm $A$ bằng $|\vec{u} + \vec{v}_0| = u + v_0$ ; kể từ đây,

$(u + v_0) t_1 + \frac{gt_1^2}{2} = H,$

Ở đâu

$t_1 = \frac{\sqrt{2gH + (u + v_0)^2} - (u + v_0)}{g}.$

Thời gian $t_2$ được tìm thấy từ điều kiện

$(u - v_0) t_2 + \frac{gt_2^2}{2} = H,$

Ở đâu

$t_2 = \frac{\sqrt{2gH + (u - v_0)^2} - (u - v_0)}{g}.$

Hãy quay lại công thức (1). Khái niệm tần số của các mảnh vỡ rơi xuống đất tại một thời điểm nhất định là giá trị của một $m'(t)$ tùy ý:

$m'(t) = \frac{m_0 g}{4v_0} + \frac{m_0 H}{2v_0 t^2}.$

Rõ ràng, $t$ càng nhỏ thì giá trị của $m'(t)$ càng lớn. Do đó, với tần suất cao nhất, các mảnh vỡ sẽ rơi xuống đất sau một thời gian $t_1$ (xem (2)) sau khi vỏ nổ.

I. I. Solodovnikov

F884. Bài toán N. E. Zhukovsky. Con bọ bay dọc theo một ống hút cục bộ (không có sợi) nằm trên sàn nhẵn và bức tường thẳng đứng nhẵn (Hình 1). Rơm có tính chất đồng nhất, chiều dài l, khối lượng m; khối lượng bọ M (M>m). Ống hút tạo thành một góc a với đường chân trời. Vận tốc ban đầu của con bọ tại điểm B bằng v_0. Con bọ phải di chuyển như thế nào để giữ lại rơm

Giả sử tại một thời điểm nào đó gia tốc mà con bọ bay dọc theo ống hút bằng a. Con bọ chịu tác dụng của lực hấp dẫn $Mg$ và phản lực $\vec{f}$ từ rơm rạ. Hãy tìm hướng của lực $\vec{f}$ .

Hãy viết phương trình chuyển động của con bọ:

$Mg + \vec{f} = M\vec{a},$

hoặc, trong các hình chiếu trên trục X và Y (xem Hình 1):

$Ma = Mg \sin \alpha + f_x, \quad f_y - Mg \cos \alpha = 0.$

bất động? Gia tốc của con bọ phụ thuộc vào quãng đường nó di chuyển dọc theo ống hút như thế nào? Mất bao lâu để con bọ chạm tới điểm đáy? Con bọ có thể nhấc ống hút từ điểm A đến điểm B không?

Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.

Do đó $f_x = M(a - g \sin \alpha)$ , $f_y = Mg \cos \alpha$ và (xem Hình 1)

$\text{tg} \beta = \frac{f_y}{f_x} = \frac{g \cos \alpha}{a - g \sin \alpha}.$

Bây giờ chúng ta hãy xem các lực tác dụng lên ống hút (Hình 2). Đó là lực hấp dẫn $mg$ , phản lực $\vec{N}_1$ từ phía bức tường nhẵn, phản lực $\vec{N}_2$ từ sàn nhẵn và lực $\vec{f}_1$ mà bọ tác dụng lên ống hút; theo định luật III Newton, $\vec{f}_1 = -\vec{f}$ . Để rơm không chuyển động, phải đáp ứng hai điều kiện: tổng hình học của các lực tác dụng lên nó phải bằng 0 và tổng đại số mô men của các lực này đối với bất kỳ điểm nào phải bằng 0. Hãy viết ra điều kiện đầu tiên (xem Hình 2):

trong các hình chiếu trên trục X -
$N_2 \sin \alpha + f_{1x} - N_1 \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0,$
hoặc
$N_2 \sin \alpha + M(a - g \sin \alpha) - N_1 \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0;$
(1)

trong các hình chiếu lên trục Y -

$N_2 \cos \alpha + N_1 \sin \alpha - mg \cos \alpha - f_{1y} = 0,$
hoặc
$N_2 \cos \alpha + N_1 \sin \alpha - mg \cos \alpha - Mg \cos \alpha = 0. \quad (2)$
Từ phương trình (1) và (2) chúng ta tìm thấy $N_1$ và $N_2$ :
$N_1 = Ma \cos \alpha, \quad N_2 = (M+m)g - Ma \sin \alpha.$
Chúng ta viết điều kiện thứ hai, xét mô men của lực đối với điểm $B$ (Hình 3):

$N_2 l \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha - f_{1x} \sin \beta = 0,$
trong đó $x$ là tọa độ của con bọ tại thời điểm này. Xét $f_1 \sin \beta = f_{1y} = Mg \cos \alpha$ và thay thế các giá trị tìm được $N_1$ và $N_2$ , chúng ta nhận được

$Mgl - Mal \sin \alpha + mg \frac{l}{2} - Mgx = 0.$

Hãy viết lại phương trình này như sau:

$x - l \frac{2M+m}{2M} = -a \frac{l \sin \alpha}{g} \quad (3)$

và giới thiệu các ký hiệu $x - l \frac{2M+m}{2M} = z$ , $\frac{g}{l \sin \alpha} = \omega^2$ . Cho rằng $a = x'' = \left( z + l \frac{2M+m}{2M} \right)'' = z''$ , phương trình (3) có thể được viết như sau:

$z'' = -\omega^2 z.$

Phương trình ta thu được là phương trình dao động điều hòa. Trong trường hợp tổng quát lời giải của phương trình như vậy được viết dưới dạng

$z(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t, \quad (4)$

và $A$ và $B$ được xây dựng được tìm thấy từ các điều kiện ban đầu. Trong trường hợp của chúng tôi, các điều kiện ban đầu (tại $t=0$ ) là:

$x(t_0) = z(t_0) + l \frac{2M+m}{2M} = 0 \Rightarrow z(t_0) = -l \frac{2M+m}{2M},$

$x'(t_0) = v_0 \Rightarrow z'(t_0) = v_0.$

Thay $t=0$ và $z(t_0)$ vào phương trình (4), ta thu được

$B = -l \frac{2M+m}{2M}.$

Đạo hàm phương trình (4) và thay $t=0$ và $z'(t_0)$ , ta thu được:

$A = \frac{v_0}{\omega}.$

Như vậy,

$z(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t - l \frac{2M+m}{2M} \cos \omega t,$

và do đó

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t + l \frac{2M+m}{2M} (1 - \cos \omega t). \quad (5)$

Vì vậy, định luật chuyển động của con bọ với điều kiện là ống hút đứng yên được đưa ra theo công thức (5). tăng tốc,

Vì chúng ta quan tâm đến sự giãn nở tuyến tính của thanh, chúng ta có thể giả sử rằng

$\frac{1}{1+\alpha t_i} = \frac{1-\alpha t_i}{1-\alpha^2 t_i^2} \approx 1-\alpha t_i.$

Sau đó

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\alpha t_i} \approx \sum_{i=1}^{n} (1-\alpha t_i) = n-\alpha \sum_{i=1}^{n} \left( t_1 + \frac{t_2-t_1}{n} i \right) =$

$= n-\alpha \left( nt_1 + \frac{t_2-t_1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right) \approx n \left( 1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right)$

(chúng tôi đã tính đến điều đó $n \gg 1$ ). Như vậy,

$l_0 = \frac{l}{n} n \left( 1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right),$

Ở đâu

$l = \frac{l_0}{1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2}} \approx l_0 \left( 1+\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right).$

L. G. Markovich

F886. Dọc theo hai thanh dẫn hướng kim loại song song, nghiêng một góc $\alpha$ so với đường chân trời và nằm cách nhau một khoảng $b$ , cây cầu khối $m$ có thể trượt mà không có ma sát kim loại. Các thanh dẫn hướng được đóng với một tụ điện độc lập emkocti $C$ và toàn bộ cấu trúc nằm trong từ trường, cảm ứng $B$ của nó hướng theo chiều dọc (xem hình). Tại thời điểm ban đầu, người nhảy được giữ ở khoảng cách $l$ tính từ đế của “mô-men xoắn”. Sau khi thả dây nhảy, sau bao lâu nó sẽ đạt được mô men xoắn cực đại? Nó sẽ có tốc độ bao nhiêu ở căn cứ? Điện trở của dây dẫn là giả vờ.

Khi jumper di chuyển, từ thông thay đổi, tạo ra một mạch “đóng” bởi jumper. Kết quả là trong mạch sẽ xuất hiện một suất điện động cảm ứng.

Trong khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ , khi tốc độ tức thời $v$ của bộ nhảy được coi là không thay đổi thì giá trị tức thời của lực điện động cảm ứng bằng

$\delta_i = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = vbB \cos \alpha.$

Vì vậy, dòng điện qua jumper lúc này bằng $i = \Delta q/\Delta t$ , trong đó $\Delta q$ là điện tích tích lũy trên tụ điện trong thời gian $\Delta t$ , tức là

$\Delta q = C \cdot \Delta \delta_i = CbB(\cos \alpha) \cdot \Delta v$

(vì dây dẫn không có điện trở nên giá trị tức thời của điện áp trên tụ là $\delta_i$ ). Vì thế,

$i = CbB \cos \alpha \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = CbBa \cos \alpha,$

trong đó $\alpha$ là gia tốc mà người nhảy di chuyển.

Người nhảy chịu tác dụng của trọng lực và lực Ampe. Hãy viết phương trình chuyển động của vật nhảy:

$ma = mg \sin \alpha - ibB \cos \alpha = mg \sin \alpha - Cb^2B^2a \cos^2 \alpha.$

Từ đây chúng ta tìm thấy $\alpha$ :

$a = \frac{mg \sin \alpha}{m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha}.$

Thời gian để người nhảy xuống chân cầu trượt được xác định từ điều kiện $l = \frac{at^2}{2}$ :

$t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{mg \sin \alpha}} \left( m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha \right).$

Tốc độ nhảy ở chân đế -

$v_i = at = \sqrt{\frac{2lmg \sin \alpha}{m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha}}.$

A. I. Buzdin