Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →
11
độ lớn của đường cong, và điều này được hiểu bằng cách sử dụng các cân nhắc động học: việc tìm tốc độ dọc theo đường đi được quy giản thành việc xây dựng một tiếp tuyến và đường đi được tìm thấy từ tốc độ sử dụng phương trình bậc hai.
Đến những năm 60, một số lượng lớn các bài toán khác nhau đã được giải quyết, họ học cách xây dựng các tiếp tuyến của các lớp đường cong rộng và nhiều diện tích đã được tính toán. Kepler, Cavalieri, Descartes, Fermat, Pascal, Huygens và nhiều người khác đã tham gia vào công trình vĩ đại này. Cần phải hệ thống hóa các kết quả khác nhau này và chuyển đổi các kỹ thuật nhân tạo riêng lẻ thành các phương pháp chung. Cần phải chuyển lý thuyết về vi phân thành phép tính - một tập hợp các sàng hình thức đơn giản nhưng có giá trị rộng rãi. Cần phải chuyển hóa lý thuyết từ nghệ thuật sang thủ công. Ở dạng này, nó không chỉ có thể được rút ra khỏi một nhóm người mới bắt đầu mà còn cho phép các nhà toán học lớn đi một phần con đường mà không cần nỗ lực và tập trung nỗ lực vào những câu hỏi sâu hơn.
Công việc này, dựa trên thành tựu của những người đi trước vĩ đại, được thực hiện bởi Newton (1642-1727) và Leibniz. “Chúa phán: hãy có Newton! và ánh sáng đã đến,” A. Popa nói trong câu đối phổ biến. Newton đã tạo ra phép tính của mình vào năm 1665-1667 trong “kỳ nghỉ dịch hạch” ở Woolsthorpe, khi sau khi tốt nghiệp Đại học Cambridge, ông thấy mình bị cắt đứt khỏi thế giới bên ngoài tại trang trại của mình do bệnh dịch. Tác phẩm chi tiết của Newton, gần như hoàn thành vào năm 1670-1671, không tìm được nhà xuất bản và vẫn chưa được biết đến trong một thời gian dài. Chỉ có thông tin rải rác về ông được phân phối giữa các nhà toán học. Đồng thời, nhận thấy sự sa sút bất thường trong môn toán. Như N. Bourbaki viết, vào những năm 70, “chỉ có Newton ở Cambridge và J. Gregory, người đã gây ngạc nhiên ở Aberdeen, là vẫn hoạt động, và Leibniz sớm tham gia với tất cả sự nhiệt tình của những người mới bắt đầu.”
Leibniz và con đường toán học của ông
Trong suốt cuộc đời của mình, Leibniz tập trung vào các vấn đề toàn cầu, vào các lý thuyết toàn diện. Con đường toán học của ông không chuẩn mực - ông thích phương pháp thế kỷ hơn, khi
kết quả cụ thể có giá trị. Leibniz có nhiều kế hoạch trong đời. Một số đang nổi bật về mức độ nghiêm trọng của họ. Những ghi chú mới thay thế những ghi chú cũ, nhưng trước khi chúng tôi bắt tay vào thực hiện, tác giả đã thiếu cách thực hiện. Ông đã không hoàn thành hầu hết các cuốn sách mà mình dự định và bỏ hầu hết chúng ngay từ đầu (chỉ một số cuốn về triết học đạt được phần hay nhất). Nhưng thật khó để duy trì chủ nghĩa hiện thực khi những kế hoạch của thế kỷ xa xôi vượt qua!
Ngay từ năm 13-14 tuổi, Leibniz đã mơ ước định nghĩa lại logic, tạo ra một bảng chữ cái về suy nghĩ của con người, trong đó tất cả các quá trình suy nghĩ có thể được ghi lại. Ý tưởng chính của cuộc đời anh dần dần trưởng thành: tạo ra một “đặc điểm phổ quát”, một “ngôn ngữ phổ quát”. “Toán học phổ quát, có thể nói, là logic của trí tưởng tượng,” nó phải chiếm lĩnh mọi thứ “trong lĩnh vực trí tưởng tượng được hỗ trợ bởi một định nghĩa chính xác”. Ngôn ngữ phải được bảo vệ khỏi việc ghi lại những suy nghĩ không chính xác: “những ảo ảnh mà ngay cả người tạo ra chúng cũng không hiểu thì không thể viết được bằng ký hiệu của mình”. Anh nói về một cỗ máy sẽ chứng minh các định lý, muốn biến suy nghĩ thành phép tính, lập luận để có thể thay lý luận bằng phép tính và giải quyết tranh chấp bằng phép tính toán học. Leibniz đã từng có mặt để hiện thực hóa kế hoạch đầy tham vọng của mình, đi trước thời đại rất xa nhưng vẫn bị tụt lại phía sau, chỉ mới hoàn thành những bước đầu tiên. Chỉ đến thế kỷ 20, phần lớn những gì Leibniz quan niệm mới trở thành hiện thực trong khuôn khổ logic toán học và công nghệ máy tính hiện đại. Rõ ràng là kế hoạch của anh ta không hề tầm thường mà là tự phát.
Leibniz quan tâm đến những ứng dụng đa dạng của toán học và tin vào khả năng vô hạn của nó. Anh ấy đang chuẩn bị trở thành một luật sư và ở tuổi 18, anh ấy đang cố gắng xây dựng một lý thuyết pháp lý với các tiên đề và định lý, suy nghĩ về việc sử dụng các thông điệp xác suất trong sản xuất hàng ngày. Năm 20 tuổi, ông từ chối ghế chủ tịch tại Đại học Nuremberg; ông không bị thu hút bởi một sự nghiệp học tập có năng lực. Kế hoạch của Leibniz tự nhiên hơn:
“Một lúc lâu trong tâm hồn tôi đã nghĩ đến một điều khác” và xa hơn nữa “Tôi coi việc một chàng trai trẻ ngồi như dán chặt vào một chỗ là không xứng đáng; tinh thần tôi cháy bỏng với mong muốn có được sự phục vụ khoa học vĩ đại và nhìn ra thế giới.”
12
Leibnitz chấp nhận lời mời của Công tước Johann Philipp và chuyển đến Mainz. Anh ta muốn tận dụng hoàn cảnh và mặc dù trong khuôn khổ một nhà nước khá khiêm tốn nhưng anh ta vẫn tạo ra luật hoàn hảo của riêng mình. Dần dần kế hoạch của anh ấy trở nên mở rộng hơn và đồng thời… kém thực tế hơn. Ông có kế hoạch tái cơ cấu toàn bộ khoa học pháp lý và bắt đầu thực hiện ba cuốn sách chuyên khảo lớn. Anh ấy có khá nhiều ý tưởng thú vị, nhưng chẳng bao lâu nữa sẽ đến lượt một ý tưởng hoàn toàn khác.
Nhà ngoại giao nổi tiếng Boineburg, sống ở Mainz vào thời điểm đó, đã quyến rũ Leibnitz bằng những kế hoạch hoành tráng nhằm thay đổi nền chính trị châu Âu. Kế hoạch của họ đang chật chội ở tỉnh Mainz. Họ tiếp thu đề nghị của Tuyển hầu tước Brandenburg để tìm lý do bầu một hoàng tử Đức vào đại diện Ba Lan. Leibnitz đã sáng tác một điều vô nghĩa xuất sắc, tuy nhiên, điều đó không giúp thắng kiện: chính sách ngoại giao thực tế đúng đắn hóa ra lại hiệu quả hơn một cuốn sách nhỏ về chính trị. Dự án tiếp theo liên quan đến việc tổ chức một liên minh các quốc gia Đức chống lại Pháp. Nó chứa đựng nhiều chiêu thức thông minh nhưng lại không thể thực hiện được. Cuối cùng, kế hoạch lớn thứ ba: lôi kéo Pháp vào cuộc chiến với Thổ Nhĩ Kỳ để giải phóng ảnh hưởng của nước này ở châu Âu. Để hiện thực hóa kế hoạch này, năm 1672 Leibnitz tới Paris. Kết quả duy nhất là Leibnitz về cơ bản đã mất đi sự ủng hộ của Tuyển hầu tước, người không mấy quan tâm đến Liên Xô, người đang cố gắng tái cơ cấu nền chính trị châu Âu trên đầu mình.
Bị mất việc, Leibnitz chuyển sang toán học. Ban đầu, toán học được dự định đóng vai trò hỗ trợ trong các kế hoạch của Leibniz. Năm 1666, ông xuất bản “Luận văn về nghệ thuật kết hợp” ở Leipila, trong đó ông nói rằng ông không quan tâm đến việc khám phá những chân lý số học mới, toán học sẽ giúp ông phát triển “logic khám phá”. Và ở Mainz, nó được đặt để “truy cập toán học”. Năm 1670, ông làm việc thiết kế một cỗ máy số học và bắt đầu quan tâm đến máy Pascal. Leibniz đến Paris năm 1672 với những kết quả toán học của mình. Vào mùa thu năm 1672, họ thảo luận với Huygens, lúc đó đang làm việc ở Paris. Chúng ta đang nói về việc tính tổng chuỗi số . Bằng cách chọn một chuỗi sao cho . Sau đó . Leibnitz xem xét một số ví dụ về cách áp dụng quy tắc của ông; Ví dụ do Huygens đề xuất rất phù hợp với quy tắc
Tuy nhiên, cả hai đều không biết rằng kỹ thuật này không mới và nó là một vấn đề rất riêng tư. Tuy nhiên, Leibniz lại đánh giá cao những thành tựu của ông vào thời điểm đó. Sau đó ông đánh giá tình hình một cách tỉnh táo hơn:
“Khi đến Paris năm 1672, tôi là một nhà toán học tự học, nhưng kinh nghiệm của tôi không nhiều, tôi không đủ kiên nhẫn để đạt được mục tiêu chứng minh… Tôi muốn bơi một mình mà không có giáo viên… Trong tình trạng dốt toán cao độ này, tôi chỉ chú ý đến lịch sử và luật, và coi việc nghiên cứu chúng là mục tiêu của mình. Tuy nhiên, toán học là trò tiêu khiển thú vị hơn đối với tôi.”
“Smychiy học hỏi từ người phàm”
Năm 1673, Leibnitz đến thăm London trong khuôn khổ phái đoàn ngoại giao Mainz. Việc tiếp xúc với các nhà toán học người Anh đã tác động mạnh mẽ đến ông. Ông biết rằng những kết quả chính của ông không có gì mới và toán học hiện đại đã vượt xa. Leibniz chỉ có một cách duy nhất để bước vào toán học hiện đại - bắt đầu lại từ đầu. 27 tuổi không phải là độ tuổi thích hợp nhất để bắt đầu dạy học cho giới trẻ nhưng điều này không khiến Leibniz bận tâm. Sau này ông có mọi lý do để tự gọi mình là “một học trò khiêm tốn của người phàm” (thư của J. Bernoulli, 1703).
Vào mùa thu năm 1673, “những năm học nghề toán học” của Leibniz bắt đầu, dưới sự hướng dẫn khéo léo của Huygens. Huygens đã nhận ra năng khiếu đích thực ở “người đàn ông trưởng thành” đầy tự tin.
“…Huygens, người mà tôi cho là đã coi tôi có năng lực hơn thực tế, đã đưa cho tôi một bản sao của cuốn “Con lắc” vừa xuất bản. Đối với tôi, đây thực sự là lý do để nghiên cứu toán học sâu hơn.”
Vì vậy, tất cả bắt đầu với cuốn sách tuyệt vời “Đồng hồ quả lắc”. Tiếp theo là nghiên cứu các tác phẩm của St. Vincent, Descartes, Sluz, Wallis và trên hết là Pascal.
Leibniz sẽ có ích nếu đọc nhiều văn bản cổ điển hơn, nhưng anh ấy mặc cả và tìm đường “đến với hình học từ cửa sau”. Các kết quả xuất hiện khiến Huygens ngạc nhiên, chẳng hạn, một loạt phép tính của một số:
Sau đó hóa ra Gregory biết anh ta. Huygens đã tính toán rằng với sự trợ giúp của chuỗi số, người ta có thể thu được một hình tròn vuông (và ngược lại, Gregory đã tính toán theo cách này, người chứng minh của thuyết siêu nghiệm
13
tính π). Leibniz không chỉ quan tâm đến việc phân tích. Anh ấy đang cố gắng tìm một công thức cho lời giải cho một phương trình đại số tổng quát (chính xác là tổng quát; anh ấy ít quan tâm đến các vấn đề cụ thể), phân tích công thức Cardan trong miền phức (Güngen rất ngạc nhiên trước mối quan hệ ) và đang nghiên cứu một chiếc la bàn cho phép người ta tìm ra nghiệm của bất kỳ phương trình nào, giống như một chiếc la bàn thông thường cho phép người ta tìm ra nghiệm của một phương trình bình phương.
Tuy nhiên, các kết quả chính có liên quan đến những kết quả vô cùng nhỏ. Leibniz đã viết vào năm 1673: “Tôi đã điền được vài trăm trang,” nhưng vẫn “không coi tác phẩm này đáng được xuất bản. Vì tôi đã chán ngấy những chuyện vặt vãnh khi Đại dương mở ra trước mắt tôi.” Nhiều định lý đã được lĩnh hội trong năm đầu tiên “học nghề”, nhưng hầu hết chúng có thể được tìm thấy ở Gregory hoặc ở thầy Newton Barroux (1630-1677). Tuy nhiên, các kỹ thuật chung giúp có thể đạt được mọi thứ một cách đơn giản và thống nhất hơn. Con đường của Leibniz đã được chọn: ông xây dựng phép tính vi phân.
Bản chất tài năng và kinh nghiệm khoa học trước đây của ông hoàn toàn phù hợp với mục tiêu này. Ông đã suy nghĩ rõ ràng câu hỏi về loại hàm cần được xem xét trong phân tích (bản thân từ “chức năng” xuất hiện lần đầu tiên ở Leibniz vào năm 1673). Ông kiên quyết bác bỏ ý tưởng giới hạn bản thân trong các hàm đại số (“các đường cong hình học” theo Descartes) và tin rằng cần phải xem xét các hàm siêu việt (thuật ngữ của Leibniz; Descartes nói về “các đường cong cơ học”).
Leibniz, không giống ai trước ông, hiểu tầm quan trọng của biểu tượng thành công, và không chỉ trong toán học. Phép tính vi phân đã cho ông một lý do tuyệt vời để phát triển một biểu tượng không chỉ đơn giản hóa việc sử dụng phép tính mà còn cần thiết về cơ bản để thành thạo nó. Năm 1678, Leibniz viết cho đồng nghiệp Tschirnhaus:
“Cần phải cẩn thận để đảm bảo rằng các dấu hiệu dễ mở. Điều này đạt được ở mức độ lớn nhất khi các dấu hiệu thể hiện ngắn gọn và phản ánh bản chất sâu sắc của sự vật, đồng thời công việc suy nghĩ giảm đi một cách đáng kinh ngạc.”
Leibniz đang tìm kiếm cơ hội để giới thiệu những biểu tượng tiện lợi ở khắp mọi nơi. Đừng đề cập đến phương pháp của hệ phương trình tuyến tính lời giải sử dụng định thức đã quay trở lại với ông, liên quan đến việc ông đã viết cho L’Hopitalo ở Pháp (1693):
“Một phần bí mật của phân tích nằm ở nghệ thuật sử dụng tốt các ký hiệu, và từ mẫu nhỏ này, thưa ông, ông thấy rằng Viete và Descartes vẫn chưa học hết bí mật của nó.”
Cần nhấn mạnh rằng không có biểu tượng nào được phát triển trong phép tính của Newton. Bản thân Newton đã viết rằng ông “không đưa ra phương pháp của mình dưới dạng ký hiệu, cũng như không tuân theo bất kỳ hình thức cụ thể nào của chúng”. Có lẽ tính biểu tượng là lý do quyết định tại sao chúng ta sử dụng từ tương tự trong phiên bản của Leibniz ngày nay.
Ngay từ năm 1674, Leibniz đã tự tin rằng “toàn bộ học thuyết về tổng và bình phương có thể được rút gọn thành phân tích - một điều vẫn chưa được tập trung vào”. Đến cuối năm 1675, phép tính được xây dựng dưới dạng xấp xỉ đầu tiên. Leibniz sẽ có lý do để bị thuyết phục về tính hiệu quả của nó đối với lời giải bài toán Debon, điều mà Descartes đã nghiên cứu nhưng không thể hoàn thành:
“Năm ngoái, tôi đã tự đặt cho mình một câu hỏi có thể được trả lời là một trong những câu hỏi khó nhất trong tất cả hình học, vì các phương pháp khoảng cách cho đến nay hầu như không mang lại kết quả gì ở đây. Hôm nay tôi đã tìm thấy nó lời giải và tôi sẽ đưa ra phân tích của nó” (ngày 11 tháng 11 năm 1675).
Chúng ta đang nói về việc tìm một đường cong có phần phụ được xây dựng - một đoạn nằm giữa hình chiếu của điểm A lên trục x và điểm giao nhau của tiếp tuyến tại điểm A với trục x (Hình 1). Đến giữa năm 1676, phép tính vi phân và tích phân cuối cùng đã được thiết lập. Ông nói rằng “nhờ sự tính toán này, mọi thứ hiện ra trước mắt và trong tâm trí một cách ngắn gọn và rõ ràng một cách thú vị”.
14
Leibniz, giống như Newton, đã tìm cách tạo ra một phương pháp mạnh mẽ mà không cần lo lắng ở giai đoạn này về sự biện minh đủ chặt chẽ cho phép tính. Ngay cả ở giai đoạn học nghề của Leibnitz, có vẻ như Gregory đã quá quan tâm đến “bằng chứng theo phong cách cổ xưa”. Đối với Leibniz, các kết quả cụ thể chủ yếu được coi là những minh họa khả dĩ cho phương pháp của ông. Rõ ràng tôi sẽ nói ở đây rằng anh ấy chưa bao giờ biết cách thực hiện các phép tính một cách dễ dàng và luôn ghen tị với một chiếc máy tính “làm bằng sắt hoặc đồng”. Sau này (1696, thư từ Lopitalo) ông kết nối điều này với thực tế là ông đang đồng thời làm nhiều việc khác nhau:
“Tâm trí của tôi, do bận rộn với các chủ đề khác, không thể tập trung nhiều đến mức cần thiết, vì điều này mà tôi vấp ngã mỗi phút, và khi hướng sự chú ý của mình, tôi có một cảm giác khó chịu về một loại nhiệt nào đó.” Vào năm 1699, các phép tính “trở nên tệ hơn khi chúng được chia sẻ với ai đó và tôi không thể thực hiện các phép tính lâu trừ khi họ giúp tôi”.
Năm 1675, phóng viên và đồng nghiệp của ông là Zirnhaus (1651-1708), người chủ yếu làm việc với các phương trình đại số, nhưng cũng quan tâm đến phương trình bậc hai, đã làm việc cùng với Leibnitz ở Paris. Người tính toán rất điêu luyện, anh ta đã hoàn thành thành công Leibniz, nhưng sau đó anh ta vẫn không thể đánh giá cao tính hữu ích của phép tính.
Newton và Leibnitz
Tất nhiên, Leibnitz đã nghe nói rằng Newton sở hữu một số phương pháp mạnh mẽ và quyết định thảo luận về phương pháp mới của mình với ông ấy. Thông qua sự trung gian của Oldenburg (thư ký của Hiệp hội Hoàng gia), một cuộc trao đổi thư từ đã diễn ra vào năm 1676. Leibnitz liệt kê bài toán mà ông phải giải, yêu cầu kể về các phương pháp của Newton và nói chung về phương pháp của ông. Thậm chí trước đó, Leibnitz đã viết cho Oldenburg rằng việc tạo ra một phương pháp là “việc duy nhất” mà ông coi trọng. Kết quả của Leibniz không làm Newton ngạc nhiên. Ông ngay lập tức nhận thấy rằng bài toán của Debon sẽ trùng với bậc hai của hyperbola (logarit), và về chuỗi số π, ông lưu ý rằng sẽ mất 1000 năm để đếm 20 chữ số thập phân của số π. Newton nói rất buồn về phương pháp này. Rõ ràng là máy ly tâm rất cứng nhắc khi xem xét chuỗi công suất. Newton tuyên bố rằng ông có thể giải bất kỳ phương trình vi phân nào với sự trợ giúp của chúng. Phần lớn thông tin được mã hóa thành hai angram. Newton đã giải mã chúng muộn hơn nhiều. Đây là một cách cũ để duy trì mức độ ưu tiên. Có lẽ ý nghĩa mà Newton gán cho chuỗi lũy thừa đã khiến Leibniz nhận ra rằng Newton có phép tính.
Leibniz không đồng ý rằng cấp bậc giải quyết được mọi vấn đề. Anh ấy nhìn thấy một bức tranh khác. Nalo cố gắng tạo ra lời giải phương trình vi phân cho các phương trình bậc hai đã biết. Điều quan trọng là phải hiểu liệu có đủ các hàm cơ bản và bậc hai của hyperbol và đường tròn hay không (hàm logarit và lượng giác). Gregory lập luận ủng hộ thực tế là những hình vuông này không đủ để tính độ dài của mỗi hình elip hoặc hyperbol (các khoảng elip trong tương lai). Sau đó, người ta phải “thiết lập một số hàm cơ bản được tính toán khác” (ở nơi khác là “trên mức siêu việt trong hình học”) đủ cho các phương trình vi phân lời giải. Newoton và công thức này sẽ không bị buộc phải chống lại: ông báo cáo những tính chất α, β của tích phân ∫x^α(1+x)^βdx đối với các phương trình bậc hai đã biết. Newton đã bổ sung thêm thư từ; Ngoài ra, Oldenburg, người thực hiện nó, đã qua đời vào năm 1677.
Một lần nữa với hai
Và cuộc đời của Leibniz đã thay đổi một cách dứt khoát. Từ thời kỳ Paris của ông, chỉ còn lại những bản thảo và dàn ý của các bài báo. Anh có kế hoạch chuẩn bị cho một tác phẩm toàn diện “Toán học của vô hạn”, nhưng cuộc đời anh thay đổi hoàn toàn từ toán học.
Chúng ta không thể biết liệu niềm đam mê chính trị của Leibniz có bắt đầu trỗi dậy trở lại hay không hay liệu ông không tìm thấy cơ hội kiếm sống bằng cách làm khoa học (có lẽ ông đã có thể có được một suất học tại Học viện Khoa học Paris). Bằng cách này hay cách khác, kể từ cuối năm 1676, ông đã phục vụ Công tước Johann Friedrich ở Hanover. Anh đến Hanover bằng một chặng đường dài, thăm London, nơi anh gặp nhiều nhà toán học, nhưng không gặp Newot, và ở Hà Lan mãi mãi Spinoza.
15
Vì vậy, Leibniz chỉ xem xét cây cầu từ một vị vua nhỏ, và ngay cả khi đó, ban đầu, ông chỉ là thủ thư công tước. Không phải là nơi đáng ghen tị nhất đối với một nhà khoa học và chính trị gia 30 tuổi vẫn chưa từ bỏ những kế hoạch thường xuyên của mình. Nhưng Leibniz tràn đầy nhiệt huyết và mơ ước về một thư viện tốt nhất thế giới, cho đến khi số tiền thực tế hiện có khiến anh chán nản. Anh ấy cũng tham gia vào các hoạt động pháp lý, nhưng họ thích bắt anh ấy bận rộn với những công việc hàng ngày mà anh ấy không có hứng thú hơn là với các vấn đề pháp lý toàn cầu. Khả năng tiếp cận các hoạt động ngoại giao của Leibniz rất hạn chế. Vì vậy, anh ta được hướng dẫn chuẩn bị một văn bản thúc đẩy quyền của Công tước tham gia vào các cuộc đàm phán hòa bình Pháp-Đức. Johann Friedrich là một vị vua danh mục ở một quốc gia theo đạo Tin lành, và Leibniz muốn lợi dụng hoàn cảnh này để hiện thực hóa một ý tưởng khác mà ông ấp ủ - tách biệt danh mục và tôn giáo Tin lành.
Năm 1679, một công tước mới, Ernst August, lên ngôi, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn dưới thời ông. Nhưng Leibniz có đầy đủ các dự án, phạm vi của chúng rộng bất thường: cải tiến theo giai cấp, nghệ thuật đóng đinh, búa, cải tiến bánh xe, cần câu, bánh lái, tàu, nghệ thuật văn học, chữa cháy, tổ chức lại kho lưu trữ, biên soạn “Bộ luật Ernst-August”, v.v. Hầu như không một dự án nào được hỗ trợ.
Mỗi dự án của Leibniz đều có sự sáng suốt tài tình nhưng ông thường thiếu khả năng thực hiện. Thành công đến khi một học viên tài năng đã lo khâu hoàn thiện, khâu hoàn thiện. Đây là trường hợp của động cơ hơi nước: “… Leibniz, như mọi khi, rải rác xung quanh mình những ý tưởng tuyệt vời mà không quan tâm liệu công lao khám phá ra những ý tưởng này sẽ thuộc về anh ấy hay người khác, Leibniz, như chúng ta biết bây giờ từ thư từ của Papen (do Hermann xuất bản), đã đề xuất cho anh ấy ý tưởng cơ bản: việc sử dụng xi lanh và pít-tông” (Engels) *).
Cuộc đấu tranh liên tục để giành ảnh hưởng tại tòa án đã khiến Leibniz mất tập trung vào toán học trong một thời gian dài. Bước ngoặt mới của Leibniz sang toán học được thúc đẩy bởi hai hoàn cảnh.
Từ năm 1682, với sự hỗ trợ của ông, “Ghi chú khoa học” bắt đầu được xuất bản ở Leipitz và Leibniz đề xuất xuất bản kết quả của mình ở đó. Vào năm 1683-1684, tạp chí đã xuất bản các bài báo của Zirnhaus về hình cầu phương, trong đó Leibniz tiết lộ dấu vết về những cuộc trò chuyện gần đây của ông với tác giả mà không cần tài liệu tham khảo. Khi Leibniz cố gắng thuyết phục Zirnhaus không thành công về tính hiệu quả của phép tính, giờ đây chính Zirnhaus đã công bố một số kết quả theo hướng này. Rất có thể Zirnhaus đã không tha thứ rằng nguồn gốc những phát biểu của ông là những phát biểu của Leibniz. Chuyện xảy ra là những suy nghĩ khó hiểu được chôn sâu, và sau một thời gian chúng trỗi dậy như thể chúng là của chính mình.
Vào tháng 5 năm 1684, Leibniz xuất bản một bài báo chỉ trích Zirnhaus (không có yêu cầu ưu tiên và không có gợi ý họ đầy đủ của đồng nghiệp của ông), và vào tháng 10, ông đã được xuất bản để thay thế ông bằng một bài báo, ngày kỷ niệm của bài báo đó là lý do cho cuộc thảo luận của chúng tôi.
“Phương pháp mới…” Leibniz
Chúng ta hãy thử, dựa trên kiến thức trung bình của chúng ta về phép tính vi phân, hãy đọc văn bản của Leibniz và đối xử với những người cùng thời với ông với sự thông cảm, những người vẫn không thể hiểu được trong bài báo. Chỉ có nhà toán học tầm cỡ J. Bernoulli (xem bên dưới) mới có khả năng phỏng đoán một thứ chưa có được dạng thích hợp để truyền tải cho người khác.
“Giả sử dữ liệu AX và dãy đường cong VV, WW, YY, ZZ và tọa độ của chúng vuông góc với trục tọa độ VX, WX, YX, ZX mà chúng ta sẽ gọi là các đường cong tương ứng v, w, y, z; gọi đoạn AX cắt đứt trên trục x.
Cho VB, WC, YD, ZE là các tiếp tuyến cắt trục tương ứng tại các điểm B, C, D, E (Hình 2). Giả sử một đoạn tùy ý là dx, và một đoạn khác liên quan đến dx là v (hoặc w, hoặc y, hoặc z) liên quan đến XB (hoặc XC, hoặc XD, hoặc XE), hãy gọi nó là dv (hoặc dw, hoặc dy, hoặc dz) hoặc di-
*) Marx K., Engels F. Soch. tái bản lần thứ 2, tập. 20, tr. 431.
16
ity v (hoặc w, hoặc y, hoặc z). Nếu điều này được cài đặt thì các thực thể là chính xác.
Nếu a là hằng số thì da sẽ bằng 0 và dx sẽ bằng adx. Nếu y bằng v (hoặc bất kỳ đường cong giống hệt nào YY bằng đường cong thứ tự tương ứng VV), thì dy bằng dv. Tiếp theo, Phép cộng và phép trừ: nếu z—y+w+x bằng v, thì d—z+y+w+x hoặc dv bằng dz—dy+dw+x. Phép nhân: dxv bằng. xdv+vdx hoặc, nếu chúng ta đặt y bằng xv, thì dy bằng xdv+vdx. Bạn có thể tùy ý sử dụng công thức có xv hoặc để ngắn gọn, một chữ cái, chẳng hạn như y. Lưu ý rằng trong phép tính này, x và dx được xử lý giống như y và dy hoặc một số chữ cái không xác định khác và vi phân của nó. Cũng lưu ý rằng sự chuyển đổi ngược từ phương trình vi phân chỉ đạt được trong những điều kiện nhất định; nhưng nhiều hơn về điều đó ở nơi khác. Tiếp theo, Phân khu:
dz bằng .
Ở đây thanh overbar thay thế dấu ngoặc đơn. Tuy nhiên, một số hàm v, w, y, z của biến độc lập x đang được xem xét, mặc dù thuật ngữ “hàm” vẫn chưa được đưa ra. Vi sai dy được xác định từ điều kiện , trong đó y là tọa độ, l là độ dài của phân lớp, dx là đoạn được chọn tùy ý. Sự “xa rời” của nó với chức năng ban đầu và tính tùy tiện được nhấn mạnh (xem thêm trong hình, nó được thể hiện rõ hơn). Có vẻ như nó có thể được đặt bằng 1 và sau đó chúng ta sẽ nhận được một giá trị tùy ý, nhưng Leibniz không thiết lập điều này. Ông nhấn mạnh rằng người ta có thể tùy ý thay đổi sự lựa chọn của một biến độc lập và vi phân của nó, trong một giai đoạn xây dựng tuyên bố chắc chắn khó thắng của ông về “tính bất biến của vi phân”, về bản chất, đó là các quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức tạp. Biến độc lập của Newton đã được cố định (thời gian). Trong các ví dụ khác, Leibniz chứng minh rằng việc chọn x và dx là tùy ý sẽ hữu ích như thế nào.
Phần còn lại của bài viết chứa đựng những thảo luận khá mơ hồ về việc lựa chọn các dấu hiệu dy. Khi đó bài toán được coi là tìm cực đại và cực tiểu, việc chuyển dy về vô cực gắn liền với độ vuông góc của tiếp tuyến với trục AX. Nếu không có đủ động lực, dy - “sự khác biệt của sự khác biệt” - sẽ được xem xét và bài toán về quan điểm của peregyn-
ba, độ lồi và độ lồi. Hàm được vi phân đối với bất kỳ α hữu tỷ nào và rất coi trọng điều này (xem tiêu đề của bài viết), vì bài toán chứa các căn thức trước đây đã được rút gọn thành số mũ nguyên trước công trình của Leibniz. Sử dụng ví dụ về lốc xoáy, bài toán về việc vẽ tiếp tuyến với các đường cong siêu việt được xem xét. Nhiều bài toán khác nhau cho tiếp tuyến và cực trị được nghiên cứu, đặc biệt, quy luật cung được rút ra và bài toán của Debon được giải quyết (xem ở trên). Một sự tối ưu hóa rất lớn của phép tính được đề xuất: “Những gì một người đã rút gọn phép tính này có thể nhận được trực tiếp trong ba dòng, những người đàn ông uyên bác khác đã quen tìm kiếm theo những cách vòng vo sau đây.”
Matematika và cuộc “chinh phục tâm trí” của các vị vua
Sau khi xuất bản Phương pháp mới…, cuộc sống của Leibniz ở Hanover vẫn tiếp tục mà không có những thay đổi đáng chú ý. Thực chất lúc này Leibniz không bận.
NOVA METHODUS PRO MAXIMIS ET MINIMIS. ITEMQUE TAHENTIBUS, QUAE NEC FRACTAS NEC IRRATIONALES QUANTITATES MORATUR, ET SINGULARE PRO ILLIS CALCULI GENUS*.
Sit thg 111) axis AX, et curvae plures, ut VV, WW, YV, ZZ, quarum ordinata ad axem normales. YX, WX, YX, ZX, quae voceur respective v, w, y, et ipsa AX, abscissa ab aze, voceur x. Tangentes sint VB, WC, YD, ZE, axi occurrentes respective in punctis B, C, D, E. Jam recta aliqua pro arbitrio assumta voceur dx, et recta, quar sit ad dx, ut v (vel w, vel y, vel z) et ad XB (vel XC, vel XD, vel XE) voceur dv (vel dw, vel dy, vel dz) sive differentia ipsarum v (vel ipsarum w, vel y, vel z). His positis, calcul regular erunt tales.
Sit a quantitas data constans, erit da aequalis 0, et dax erit aequalis adx. Si sit y aequ. v (scu ordinate quaevis curvae YY aequalis quivis ordinate respondenti curvae YY) erit dy aequ. dv Jam Additio et Subtraction: si sit z — y + x aequ. v, erit dz — y + x scu dv aequ. dz — dy + dw + dx. Multiplication: dv aequ. xdv + vdx, scu posito y aequ. xv,iet dy aequ. xdv + vdx. In arbitrio enim est vel formulam, ut xv, vel compendio pro ea literam ut y, adhibere. Notandum, et x et dx codem modo in hoc calculo tractari, ut y et dy, vel aliam literam indeterminam cum sua differentiali. Notandum eriam, non dari semper regressum a differentiali Aequatione, nisi cum quadam cautione, de quo aibi. Portro Dipisio: d v vel (posito z aequ. v) dz aequ. ± vdy ± ydv.
Qnoad Signo hoc probe notandum, cum. in calculo pro litera substitutur simpliciter ejus differentialis, servari quidem eadem signa, et pro + z scribi + dz, pro — z scribi — dz, ut ex addi-
*) Act. Erud. Lips. an. 1684.
Trang đầu tiên trong bài viết “Phương pháp mới…” của Leibniz.
18
đã xây dựng rất nhiều hình học cao cấp, nhất quyết xuất bản “Khoa học về sự vô tận” của tôi, chứa đựng nền tảng của nhiều phân tích mới … "
The last years of Leibniz’s life were overshadowed by a controversy with Newtom about nature. Gradually the dispute escalated into accusations against Leibniz of plagiarism. It has been hinted that he may have become acquainted with Newton’s manuscripts in London. Today the independence of Leibniz’s discovery seems to be proven. Ở London không có đủ văn bản chi tiết, trong chuyến thăm đầu tiên Leibniz chưa sẵn sàng chấp nhận lý thuyết của Newton, không có ai hiểu được phép tính hiện tại để truyền đạt nó cho Leibniz. By his second visit to London, Leibniz already mastered his calculus. At first, the debate took place without the participation of Newton and Leibnitz. It is surprising that Newton, who always avoided natural disputes, this time energetically became involved in the controversy. Leibnitz probably offended him greatly, never once recognizing him as the creator of the new calculus (there have already been publications). In England they organized a real persecution of Leibniz.
Everything was further complicated by the fact that in 1714 the Duke became King George I of England. Leibnitz dự định chuyển đến London và trở thành nhà sử học hoàng gia, nhưng anh ta thậm chí còn bị từ chối một cách xúc phạm ngay cả một ghế dự lễ đăng quang (buộc anh ta phải hoàn thành Lịch sử). The fact that the king did not want to have the defeated enemy of the banner Newton in his retinue also played a role. Leibniz died in 1716. The inscription on the gravestone is very lakonin: “Leibnitz’s ashes.”
Perhaps Leibniz’s scientific career would have turned out differently if he had been able to find himself an enlightened and strong patron. In his declining years, in 1711, Leibnitz met Peter I at the wedding of Tsarevch Alexei. Peter chấp nhận Leibnitz phục vụ ở Nga với tư cách là Ủy viên Hội đồng Tư pháp Cơ mật, thảo luận với ông về việc tổ chức Viện Hàn lâm Khoa học ở St. Petersburg. But Leibniz’s plans related to Peter I, like many of his other projects, were not destined to come true. Leibnitz đã viết cho Peter I:
“Mặc dù tôi thường xuyên phải hành động về các vấn đề chính trị và pháp lý, và kiến thức của các hoàng tử đôi khi sử dụng lời khuyên của tôi trong những vấn đề này, nhưng tôi vẫn thích khoa học và nghệ thuật hơn, vì chúng luôn chứa đựng vinh quang của Chúa và hạnh phúc của toàn thể nhân loại… khoa học và khoa học là kho báu thực sự của loài người, hoặc thông qua nghệ thuật của họ, nó vượt qua sự khác biệt của thiên nhiên và các dân tộc văn minh so với những kẻ man rợ. và những người nổi tiếng, tôi không thể tìm thấy một vị vua quyền lực nào đủ quan tâm đến việc này.”
Rõ ràng, qua nhiều năm, những đánh giá của Leibniz đã thay đổi: trong một thời gian dài, ông ưu tiên chính trị hơn khoa học, nhưng cuộc sống đã dạy ông một cách tàn nhẫn rằng địa vị của một nhà khoa học trong cung điện là vô ơn như thế nào. Và các thế hệ tiếp theo sẽ không nhớ nhiều về những thất bại của Leibniz trong lĩnh vực chính trị bằng những thành tựu khoa học của ông, vốn đóng vai trò quyết định trong sự phát triển hơn nữa của khoa học. Trong số những công trình như vậy chắc chắn có công trình năm 1684 về phép tính vi phân.
Bộ nhớ máy tính từ tính
(Để bắt đầu, xem trang 2)
Kết thúc câu chuyện về bộ nhớ từ tính của máy tính, chúng ta lưu ý rằng bộ nhớ lý tưởng vẫn chưa được tạo ra; giấc mơ của các nhà văn khoa học viễn tưởng về một tinh thể từ tính có khả năng ghi nhớ mọi thứ và biết mọi thứ vẫn là một giấc mơ nhưng khá gần với hiện thực hóa. Từ quan điểm vật lý, cần có một loại vật liệu phù hợp; Theo quan điểm của các kỹ sư, cần phải có công nghệ tiện lợi và giá cả phải chăng.
Các tác giả hiểu rằng không thể trình bày hết mọi thứ trong một bài viết ngắn. Vì vậy, họ muốn một lần nữa nhắc nhở độc giả rằng hiện tượng từ tính, được biết đến từ thời cổ đại, vẫn được coi là quan điểm và tư tưởng khoa học tiên tiến nhất cho đến ngày nay. Sự phát triển lý thuyết của ông vẫn chưa hoàn thiện và việc tìm kiếm các vật liệu từ tính mới chỉ mới bắt đầu. Vật lý từ và vật liệu đang chờ đợi những người đam mê mới.