Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XVIII

45

Olympic Toán toàn Nga ХVIII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
L. P. KUPTSOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. B. SOSINSKY

Từ ngày 11 đến ngày 18 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học toàn trường lần thứ XVIII đã được tổ chức tại Ashgabat. Tại thủ đô của Turkmenistan thuộc Liên Xô, 159 học sinh (43 học sinh lớp 8, 54 học sinh lớp 9 và 62 học sinh lớp 10) đã tập trung - những người chiến thắng trong Olympic Tài nguyên, người chiến thắng trong Olympic Thành phố Moscow và Leningrad và các học sinh được trao bằng cấp I và II tại All-Olympiad trước đó. Ban giám khảo, làm việc dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B.V. Gnedenko, bao gồm 52 người - đại diện của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện Hàn lâm Khoa học của Turkmenia và SSR của Moldavian, các trường đại học Moscow, Leningrad và Novosibirsk, Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, và các viện nghiên cứu lớn nhất của đất nước. Trong số đó có giáo viên cao cấp của Đại học bang Turkmen, người tổ chức tất cả các cuộc thi Olympic tài nguyên ở Turkmenistan B.B. Berdiev.

Ngay từ những phút đầu tiên đặt chân đến vùng đất Turkmen mến khách, những người tham gia Thế vận hội đã được bao bọc bởi tình yêu thương và sự quan tâm. Tại sân bay Ashgabat, các đội tham gia đã gặp gỡ các học sinh từ các trường học trong thành phố, đại diện các sở giáo dục công khu vực và Ủy ban Trung ương Komsomol của Turkmenistan.

Sau khi đăng ký, mỗi người tham gia Olympic và trưởng nhóm sẽ được tặng một gói chủ quyền kỷ niệm với sách và bưu thiếp kể về Turkmenini, các biển hiệu tưởng niệm, chương trình Olympic và lời mời tham gia lễ khai mạc.

Vào lúc 15h ngày 12/4, toàn bộ thí sinh tham dự Olympic, thành viên ban giám khảo, ban tổ chức, trưởng các đội sẽ tập trung tại Cung điện Pinners thành phố. Cùng với dàn nhạc là lễ rước long trọng lên tượng đài V.I. Lênin bắt đầu. Có một đội danh dự ở tượng đài và những người tham gia Olympic đã đặt hoa. Và sau đó lễ khai mạc Olympic đã diễn ra tại hội trường của Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Tajikistan. Quốc ca Liên Xô và Quốc ca Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Turkmen đã được sử dụng. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Cộng hòa Tajikistan M.A. Olieva đã gửi lời chào mừng đến những người tham gia Olympic. Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina O. O. Ovezgeldyev đã chúc các em biểu diễn thành công, sáng tạo, tương tác và cạnh tranh danh dự, ban giám khảo được đại diện bởi Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B. V. Gnedenko, Bí thư thứ nhất Ủy ban Trung ương Komsomol của Turkmenistan Zh. K. Charyeva, hiệu trưởng Đại học bang Turkmen G. M. Myaligulyev. Có mặt tại lễ khai mạc Olympic có: Vụ Khoa học và Cơ quan Giáo dục của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Turkmenistan E. O. Ovlyakulev, người đứng đầu. Vụ Khoa học và Cơ quan Giáo dục của Hội đồng Bộ trưởng Cộng hòa Tajikistan S. K. Kakaev. Lễ khai mạc kết thúc bằng buổi hòa nhạc của các thành viên nhóm nghệ thuật nghiệp dư của Ashgabat Palace of Pinners.

Những người tham gia đã viết bài tập cho giai đoạn cuối cùng của Olympic vào ngày 13 và 14 tháng 4. Nhiệm vụ trong mỗi ngày trong hai ngày bao gồm bốn bài toán, với năm giờ được phân bổ cho lời giải. Dưới đây là các điều kiện của tất cả bài toán. Một số trong số chúng được đưa vào nhiệm vụ «Kvant» (số tương ứng được biểu thị sau điều kiện bài toán).

Nhiệm vụ
Ngày đầu tiên
lớp 8

1. a) Tích của một số n số bằng n và tổng của chúng bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.

6. Cho n là số tự nhiên chia hết

46

bằng 4. Chứng minh rằng có $n$ số nguyên có tích là $n$ và có tổng bằng 0.

A. A. Fomin

2. Chứng minh rằng với mọi số không âm $a$ và $b$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$\frac{1}{2}(a+b)^2 + \frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b} + b\sqrt{a}.$$

A. N. Smolykov

3. Trên mặt phẳng có hai tam giác đều $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$, các đỉnh của chúng được đo theo chiều kim đồng hồ. Từ một điểm tùy ý $O$, vectơ $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ bị loại bỏ, tương ứng bằng vectơ $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$. Chứng minh rằng điểm $A, B, C$ cũng là đỉnh của một tam giác đều.

L. P. Kuptsov

4. Có bốn màu và vô số viên gạch hình vuông có cạnh dài 1. Được phép sơn các cạnh của viên gạch sao cho màu các cạnh của mỗi viên gạch bằng nhau và dán các viên gạch lại với nhau bằng các cạnh cùng màu. Với những số $m$ và $n$ những viên gạch này có thể được dán thành một hình chữ nhật có kích thước $m \times n$, trong đó mỗi cạnh được sơn cùng một màu và màu của tất cả các cạnh khác nhau?

V. A. Ufnarovsky

lớp 9

1. Chứng minh rằng với mọi số thực $x > 0, y > 0$ và với mọi số thực $a$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$x^{\sin^2 a} \cdot y^{\cos^2 a} < x + y.$$

V. I. Burenkov

2. Có một khối lập phương và hai màu: đỏ và xanh lá cây. Hai người chơi trò chơi này. Người mới bắt đầu chọn 3 cạnh của khối lập phương và sơn chúng màu đỏ. Đối tác của anh ta chọn 3 chiếc xương sườn từ những chiếc chưa được sơn và sơn chúng màu xanh lá cây. Sau đó, người mới bắt đầu lại sơn 3 xương sườn màu đỏ, rồi 3 xương sườn màu xanh lá cây - đối tác của mình. Cấm sơn lại sườn bằng màu khác hoặc sơn hai lần cùng một màu đỏ. Người chiến thắng là người đầu tiên sơn đỏ tất cả các cạnh của bất kỳ khuôn mặt nào. Có phải người mới bắt đầu nếu chơi đúng thì chắc chắn sẽ thắng?

N. Kh. Adakhanov

3. $n \geqslant 3$ các số tự nhiên được viết thành một vòng tròn sao cho mỗi số có tỉ số giữa tổng các số liền kề với nó là một số tự nhiên. Chứng minh tổng các tỉ số: a) không nhỏ hơn 2n; b) nhỏ hơn 3n (M875).

O. R. Musin

4. Một đường tròn có tâm tại điểm $O$, cắt thành tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC, AC, AB$ tương ứng tại các điểm $A_1, B_1, C_1$. Các đoạn $AO, BO, CO$ lần lượt cắt đường tròn tại các điểm $A_2, B_2, C_2$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ cắt nhau tại một điểm.

I. F. Sharyn

lớp 10

1. Đối với những số nguyên $m$ và $n$ thì đẳng thức đúng?
   $$(5+3\sqrt{2})^m = (3+5\sqrt{2})^n?$$

Yu. V. Mikheev

2. $n$ các số thực khác nhau được viết theo thứ tự tăng dần trên dòng. Bên dưới nó, ở dòng thứ hai, cũng được viết những con số tương tự, chỉ có điều là có lẽ theo một thứ tự khác. Đối với mỗi cặp số được viết bên dưới số kia, tổng đã được tính. Những số tiền này hình thành dòng thứ ba. Hóa ra các số ở dòng thứ ba cũng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng dòng đầu tiên trùng với dòng thứ hai.

A. V. Anzhans

3. Cho một hình tam giác $ABC$. Qua điểm $P$ chúng ta đã vẽ các đường thẳng $PA, PB, PC$, cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác này tại các điểm $A_1, B_1, C_1$, không phải là các đỉnh của tam giác. Hóa ra tam giác $A_1B_1C_1$ bị tắc nghẽn bởi tam giác $ABC$. Chứng minh rằng có nhiều nhất tám điểm $P$ thỏa mãn tính chất đã cho.

I. F. Sharyn

4. Số dương $x, y, z$ thỏa mãn hệ phương trình

$$\begin{cases} x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25, \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9, \\ z^2 + zx + x^2 = 16. \end{cases}$$

Tính các giá trị của $xy + 2yz + 3zx$.

A. A. Bolotov

Các chàng trai đã hoàn thành khá thành công các nhiệm vụ được đề ra trong ngày đầu tiên. Những khó khăn nhỏ nhất, đúng như dự đoán, là do bài toán 8.4, 9.3, 9.4, 10.3 và 10.4 gây ra. bài toán 9.3 đặc biệt khó khăn. Chỉ có hai người tham gia có thể giải đúng cả hai điểm. Hình học bài toán 10.3 cũng tỏ ra rất khó, akuratone lời giải trong số đó chỉ được trình bày bởi 3 người tham gia. Tuy nhiên, không có lớp nào có bài tập mà không ai có thể giải được. Ban giám khảo hài lòng ghi nhận rằng câu bài toán 9.4 khá khó đã được các học sinh lớp chín giải tốt hơn đáng kể so với mong đợi và nhiều cạnh cũng được giải bằng lời giải, hóa ra lại dễ hơn lời giải mà ban giám khảo đã biết.

Ngày 13/4, sau khi hoàn thành nhiệm vụ thi đấu, Sườn tham gia hội thao.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Giáo viên viết hình vuông gấp ba $x^2 + 10x + 20$ trên bảng, sau đó mỗi học sinh lần lượt tăng hoặc giảm một hệ số $x$ hoặc số hạng tự do, nhưng không phải cả hai cùng một lúc. Kết quả là một hình vuông ba chân $x^2 + 20x + 10$ đã được viết trên dock. Có đúng là ở một số thời điểm có viết hình ba chân vuông trên đế không?

A. A. Berzins

6. Đồng xu bán kính $r$ được di chuyển dọc theo mặt phẳng sao cho tâm của nó đi quanh đường viền một cách lồi lõm

47

Hiệu trưởng Trường Luật B.V. Gnedenko trong chuyến tham quan cùng các sinh viên Olympic.

một đa giác ngoại tiếp quanh một hình tròn có bán kính $R > r$ và có chu vi $p$. Tìm diện tích của hình được tạo thành bởi dấu vết của đồng xu.

A. A. Fomin

7. Có $n + 1$ quả cân có tổng trọng lượng là $2n$ và một chiếc cân có hai chiếc cốc ở trạng thái cân bằng. Trọng lượng của mỗi trọng lượng được biểu thị dưới dạng số tự nhiên. Các quả cân lần lượt được đặt từ cân: đầu tiên là quả nặng nhất (hoặc một trong những quả nặng nhất), sau đó là quả nặng nhất trong số những quả cân còn lại, v.v. Trong trường hợp này, mỗi quả cân tiếp theo được đặt trên cốc của chiếc cân nhẹ hơn vào thời điểm hiện tại và nếu cân cân bằng thì đặt trên bất kỳ chiếc cốc nào. Chứng minh rằng sau khi đặt tất cả các vật nặng lên cân thì cân sẽ ở trạng thái cân bằng.

A. V. Anzhans

8. Một số tự nhiên tuyệt đối là số nguyên tố nếu nó là số nguyên tố và nếu có bất kỳ sự sắp xếp lại các chữ số nào của nó cũng tạo ra số nguyên tố. Chứng minh rằng một số nguyên tố tuyệt đối không thể có nhiều hơn ba chữ số khác nhau.

A. T. Kolotov

lớp 9

5. Các số $x \neq 0$ và $y$ sao cho với mọi $n \geqslant 1$ thì số $x \times 6y \times 4$ là bình phương của một số nguyên nào đó. Tìm tất cả $x$ và $y$ như vậy.

L. P. Kuptsov

6. Bốn điểm khác nhau được lấy trên một đường thẳng, được ký hiệu theo thứ tự bằng các chữ cái $A, B, C, D$. Chứng minh rằng với mọi điểm $E$ không nằm trên đường thẳng $AD$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$|AE| + |ED| + |AB| - |CD| > |BE| + |CE|.$$
   S. V. Gashkov

7. Chuỗi $(x_n)$ được đưa ra định kỳ:

$$x_1 = 1; x_2 = -1; x_{n+2} = x_n^2 + 1 - \frac{1}{2} x_n,$$
nếu $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tìm nó.

N. Kh. Adakhanov

8. Các ô màu trắng của bàn cờ có kích thước $1983 \times 1984$ chứa các số 1 hoặc -1 sao cho với bất kỳ ô đen nào thì tích của các số trong các ô trắng liền kề với nó đều bằng 1. Chứng minh rằng điều này chỉ có thể thực hiện được nếu tất cả các số được viết đều bằng 1.

O. V. Lyashko

lớp 10

5. Các ô của bảng vuông $3 \times 3$ chứa các số 1 hoặc -1. Đối với mỗi ô của bảng, chúng ta tính tích của các số ở các ô liền kề với nó (các ô lân cận là những ô có một cạnh chung). Sau đó, trong phép tính, tích của các số trong các ô của bảng trước đó sẽ được kết hợp. Chúng ta sẽ thực hiện thao tác tương tự với bảng mới, v.v. Chứng minh rằng sau một số thao tác nhất định, bảng sẽ chỉ chứa các đơn vị. (M871)

I. K. Zhuk, I. V. Voronovich

6. Số nào lớn hơn:

$$\frac{2}{201} \ln \frac{101}{100}?$$

Yu. V. Nesterenko

7. Có ba vòng tròn $c_1, c_2, c_3$ trên mặt phẳng có tâm lần lượt là $c_1, c_2, c_3$ và bán kính $r_1, r_2, r_3$ và mỗi vòng tròn phụ thuộc vào hai vòng tròn còn lại. Gọi $r_1 > r_2, r_1 > r_3$, gọi $A$ là giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với đường tròn $c_1$ và $c_2$ nằm trong đường tròn $c_3$, gọi $B$ là giao điểm của các tiếp tuyến ngoài