Lời giải bài toán M876—M878, M880; F887—F889

38

P906. A conductor whose resistance depends on temperature is connected to a source of constant tension $U$. The resistance of the conductor depends on temperature according to the rule $R=R_0(1-\mu t)$, where $R_0$ is the resistance at $t=0$ °C, $\mu>0$. Determine the established temperature of the conductor if the surrounding temperature is $0$ °C, while the power of heat loss to the surroundings is $W=b \cdot \Delta t$, where $\Delta t$ is the temperature difference between the conductor and the surroundings. Changes in the conductor’s size may be neglected.

P. Yu. Vinokur

P907. Two metallic balls of mass $m$ each, whose radii are $r$ and $2r$ are placed in an electric field whose tension is directed from the larger ball to the smaller one and equals $E$. The distance between the centres of the balls is $R_0=4r$. The larger ball carries the charge $q(kq/r^2 \ll E)$, the small one is uncharged. The ball are released. The time between the first and second collisions of the ball is $\tau$. Find the time between the $n$-th and $(n+1)$-st collisions and the distance covered by the balls during that time. What is their average acceleration during a sufficiently long period of time? The collisions are assumed absolutely elastic.

A. A. Lapides

Lời giải bài toán

M876 — M878, M880*); F887 — F889

Chúng ta sẽ giả sử rằng hình tròn nằm bên ngoài tam giác $PCD$ (xem hình; trường hợp thứ hai, khi nó treo trong tam giác này, được coi là tương tự). Gọi $C'$ và $D'$ là giao điểm của các cạnh của góc với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $A$, sao cho (trong trường hợp đang xét) đường tròn này treo vào tam giác $PC'D'$. Rõ ràng, tam giác này được chuẩn bị cho tam giác $PCD$ có tâm $P$, do đó, $E$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn treo tam giác $PCD$ từ cạnh $CD$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M, M', N$ và $N'$ điểm tiếp tuyến của hai đường tròn này với các đường thẳng $PC$ và $PD$. Theo định lý về sự bằng nhau của các tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm,

$$2|BC| + |BE| = |BC| + |CE| = |M'C| + |CM| = |M'M|,$$

tương tự,

$$2|DE| + |BE| = |N'N|,$$

theo định lý tương tự, $|M'M| = |PM'| - |PM| = |PN'| - |PN| = |N'N|$, do đó $|BC| = |DE|$, theo yêu cầu.

A. S. Merkuryev

*) Lời giải bài toán M879 sẽ được đưa vào bài “Định lý Viete và Đa thức phụ” đăng trên «Kvant» số 12 năm nay.

39

M877. Từ một tờ giấy làm bánh bao có kích thước 29 × 29 hình vuông, 99 hình vuông có kích thước 2 × 2 mỗi hình đã được cắt ra. Chứng minh rằng bạn có thể cắt một hình vuông khác từ nó.

Trong hình, 100 ô vuông 2x2 được tô màu xám. Bằng cách cắt bất kỳ hình vuông 2x2 nào từ hình vuông 29x29 ban đầu, chúng ta “chạm” chính xác một hình vuông. Do đó, sau 99 thao tác như vậy, một trong các ô vuông màu xám sẽ không bị ảnh hưởng.

S. V. Fomin

M878. Chứng minh rằng nếu tổng các góc phẳng ở đỉnh của paramda lớn hơn 180° thì mỗi cạnh bên của paramda nhỏ hơn nửa chu vi đáy của nó.

Đặt $SA_1 \dots A_n$ là một tham số nhất định. Hãy cắt bề mặt bên của nó dọc theo cạnh $SA_1$ và biến nó thành một mặt phẳng (xem hình trong đó $SA_1$ và $SA_1'$ là hai bản sao của cạnh $SA_1$ được hình thành do cắt, vì vậy $|SA_1| = |SA_1'|$). Từ điều kiện bài toán suy ra điểm $S$ nằm bên trong đa giác $A_1 \dots A_nA_1'$. Tiếp tục đoạn $A_1'$ $S$ vượt quá điểm $S$ đến giao điểm với đường đứt nét $A_1 \dots A_nA_1'$, ta được điểm $B$, chia đường gãy thành hai phần: đường đứt nét $A_1 \dots B$ có chiều dài $a$ và đường gãy $A_1' \dots B$ có chiều dài $b$. Từ bất đẳng thức $|SA_1| < a + |SB|$, $|A_1'S| + |SB| = |A_1'B| < b$ suy ra $2|SA_1| = |SA_1| + |SA_1'| < a + |SB| + |A_1'S| = a + b = |A_1A_2| + ... + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1'|$.

Cần lưu ý rằng ở phía bên phải có một nút chặn của đế paramid.

Yu. I. Ionin

M880*. Trong dãy 1, 0, 1, 0, 1, 0, … mỗi số hạng bắt đầu từ số thứ bảy bằng chữ số cuối cùng của tổng các số trước đó. Chứng minh rằng dãy số này không chứa sáu số liên tiếp: 0, 1, 0, 1, 0, 1.

bài toán này có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ như sau: một phép biến đổi của một tập hợp nhất định được đưa ra (một tập hợp gồm sáu số; sáu $(x_1, \dots, x_6)$ được liên kết với $(x_2, \dots, x_6, x_7)$, trong đó $x_7$ là chữ số cuối cùng của tổng $x_1 + \dots + x_6$); cần phải chứng minh rằng bằng cách lặp lại phép biến đổi này, từ một “điểm” cho trước của tập hợp (sáu $(1, 0, 1, 0, 1, 0)$) không thể thu được một “điểm” khác (sáu $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$). Rất thường những nhiệm vụ như vậy lời giải được giải quyết bằng cách tìm một bất biến, nghĩa là một giá trị không thay đổi theo một phép biến đổi nhất định: chỉ cần thiết lập rằng giá trị của bất biến đối với hai “điểm” nhất định là khác nhau *).

Trong trường hợp của chúng tôi, chữ số cuối cùng của số $s(x_1, \dots, x_6) = 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 + 12x_6$ có thể đóng vai trò là giá trị như vậy. Trên thực tế, một phép tính đơn giản cho thấy hiệu $s(x_2, \dots, x_7) - s(x_1, \dots, x_6)$ (sau đây gọi là $x_1 + \dots + x_6$) bằng $10x_7 + 2(x_7 - (x_1 + \dots + x_6))$, tức là hoàn toàn bằng 0.

*) Chúng ta đã nói về bất biến nhiều lần: chẳng hạn, hãy xem bài viết của A. Khodulev “Sự phân tán của vật lý” («Kvant», 1982, số 7, trang 28); Ngoài ra còn có các liên kết đến các bài viết khác về chủ đề này. Chuỗi bài toán về các bất biến có thể tìm thấy ở «Kvant» số 10 năm 1983 trên trang. 30.

40

lem. Do đó, các chữ số cuối cùng của các số $s(x_1, \dots, x_6)$ và $s(x_2, \dots, x_7)$ trùng nhau: cho thấy namivlichnaya là một bất biến thực sự. Vẫn còn phải kiểm tra xem các giá trị của nó cho sáu số được chỉ định trong các điều kiện có khác nhau không:
$$s(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 18, s(0, 1, 0, 1, 0, 1) = 24.$$
A. S. Merkuryev

F887. Một chùm tia sáng song song có tiết diện tròn có đường kính $d$ (Hình 1,a) chiếu vào một thân thủy tinh trong suốt, tượng trưng cho hai đáy nối nhau của một hình nón. Kích thước cơ thể được thể hiện trong Hình 1,a; chiết suất thủy tinh n. Hình ảnh nào sẽ được quan sát trên màn hình được lắp đặt cách cơ thể một khoảng $l$?

◆ Hình ảnh trên màn hình sẽ khác nhau tùy thuộc vào sự tương ứng giữa $a$, $d$ và $l$.

1. Chúng ta hãy xem xét trường hợp khi tia $I(I')$, sau khi khúc xạ trên mặt $AB(AD)$, đi tới điểm $C$ (xem Hình 1,a). Trong trường hợp này, sau khi khúc xạ kép các tia (trên các mặt $AB$ và $DC$, $AD$ và $BC$), chùm tia vẫn song song $AC$ và thu được một vòng tròn được chiếu sáng đều (Hình 1.6) có đường kính $d$ trên màn hình. Hình ảnh nhận được không phụ thuộc vào $l$.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

varnit, chúng tôi xác định từ Hình 1,a:
$$\frac{d_1}{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK|) \sin \alpha = (1 - tg \alpha) \sin \alpha.$$
Thay thế
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}, \text{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}.$$
chúng tôi nhận được:
$$d_1 = a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}\right).$$

41

2. Hãy để $0 < d_2 < a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right)$. Trong trường hợp này, mỗi tia sau khi khúc xạ kép sẽ mới song song với $AC$ (Hình 2, a). Một vòng được chiếu sáng đồng đều sẽ xuất hiện trên màn hình (Hình 2, b). Bán kính đường tròn bên trong và bên ngoài của vòng -

$$r_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}},$$

$$r_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}}(1 + 2\sqrt{2}).$$

Hình ảnh thu được không phụ thuộc vào $l$.

3. Hãy để $a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) < d_2 < a\sqrt{2}$. Trong trường hợp này (Hình 3, a) hình ảnh thu được trên màn hình phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm $C$ đặt màn hình. Hình 3, b hiển thị các hình ảnh thu được ở các vị trí màn hình khác nhau: $\exists_1, \exists_2, \exists_3$.

A. V. Helvas

F888. Hình vẽ là sơ đồ nguyên lý của grammeter - thiết bị đo gia tốc rơi tự do $g$. Trong bình chứa khí cách nhiệt $1$ và $2$, áp suất lần lượt là $p_1 \approx 2 \cdot 10^4$ Pa và $p_2 \approx 3 \cdot 10^4$ Pa. Soda hình trụ $A$ và $B$ có bán kính 10 cm và ống nối chúng chứa đầy ruth. Một chất lỏng rất nhẹ (toluene) được đổ lên trên 력; chất lỏng này cũng lấp đầy một phần mao mạch có bán kính 1 mm, sự kết nối của soda $A$ và $B$ với xi lanh 1 và 2. Hãy mô tả quá trình đo gia tốc $g$ với sự trợ giúp của thiết bị này. Giá trị của warszatz $g$ có thể được dự trữ bằng máy đo ngữ pháp này là bao nhiêu, nếu biết rằng khi đo ở các điểm đo khác nhau, sự khác biệt trong hỗn hợp toluene nằm ngang trong mao quản có thể đạt tới vài

◆ Giả sử rằng tại một số điểm trên bề mặt Trái đất, sự khác biệt giữa mức ruthium trong các bình $A$ và $B$ hóa ra bằng $h_0$. Nếu chênh lệch áp suất $p_2$ và $p_1$ trong bình là cố định thì từ điều kiện $p_2 - p_1 = \varrho g_0 h_0$ giá trị gia tốc rơi tự do $g_0$ tại thời điểm này được xác định:

$$g_0 = \frac{p_2 - p_1}{\varrho h_0}.$$

Tại một thời điểm khác, gia tốc sẽ khác $g_0$; đặt nó bằng $g = g_0 + \Delta g$. Sự khác biệt về nồng độ ruthium trong các mạch $A$ và $B$ bây giờ sẽ là $h = h_0 + \Delta h$. Trong khi duy trì chênh lệch áp suất trong các bình và ở mức tăng nhỏ $\Delta g$ và theo đó, mức tăng nhỏ $\Delta h$

$$\frac{\Delta h}{h_0} \approx \frac{\Delta g}{g_0}.$$

Do đó, thứ tự độ lớn của warszatz $\Delta g$ được xác định theo thứ tự độ lớn $\Delta h$. Rất khó để đo trực tiếp các mức tăng nhỏ $\Delta h$. Để xác định giá trị $\Delta h$, top력 đổ vào dễ dàng thỏa mãn yêu cầu toluene trong mao quản bằng $\Delta l$ (giá trị này được đo) thì hiển nhiên

$$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s,$$

trong đó $S$ và $s$ là diện tích mặt cắt ngang của các mạch và mao mạch tương ứng.

$$\frac{\Delta g}{g_0} \approx \frac{\Delta h}{h_0} = \frac{s}{S} \frac{\Delta l}{h_0} = \frac{s}{S} \left( \frac{\varrho g_0 \cdot \Delta l}{p_2 - p_1} \right).$$

Theo các điều kiện $s/S \sim 10^{-4}$, $\varrho \sim 10^4$ kg/m$^3$, $(p_2 - p_1) \sim 10^4$ Pa, $\Delta l \sim 10^{-2}$ m. Vì $g_0 \sim 10$ m/s$^2$, tham khảo

42

Milimet (lên đến 1 cm)? Nhiệt độ trong những thay đổi khác nhau duy trì mật độ thủy ngân không đổi $\varphi = 13,5 \cdot 10^3 \text{ ке/м}^3$.

F889. Mặt trời ở độ cao góc f so với đường chân trời. Một vật phải được ném ở góc α nào so với bề mặt Trái đất trong một mặt phẳng thẳng đứng đi qua Mặt trời để vật có thể di chuyển một quãng đường dài nhất trên Trái đất?

Chúng ta hãy xem xét riêng trường hợp tương ứng với các tương ứng khác nhau giữa α và φ.

1. Nếu bạn ném một vật thể theo một góc α φ, thì quãng đường mà bóng đi qua trong quá trình bay của vật thể đó sẽ bằng khoảng cách bay, tức là $S_1 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha$ (xem Hình 1).

Đối với $\varphi < 45^\circ$ ($\alpha < 45^\circ$), giá trị của $S_1$ càng lớn thì α càng lớn; do đó cần phải ném vật theo một góc α=φ, sau đó

$$S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\varphi. \tag{1}$$

Nếu $\varphi \geq 45^\circ$ thì α phải bằng 45°, vì $S_1$ tối đa là $\alpha=45^\circ$ (trong trường hợp này là $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$).

2. Nếu bạn ném một vật theo một góc α>φ thì bóng sẽ di chuyển một quãng đường bằng (xem Hình 2)

$$S_2 = 2|OA| + S_x = 2|OA| + \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha. \tag{2}$$

Hãy tìm $|OA|$. Để làm được điều này, chúng ta cần lập phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M và xác định hoành độ $x_A$ của giao điểm của tiếp tuyến với trục X ($|x_A| = |OA|$).

Để thu được phương trình tiếp tuyến AM, ta xác định tọa độ $x_M$ và $y_M$ của điểm M. Hệ số góc của tiếp tuyến là tanφ và bằng hàm số tùy ý $y(x)$ mô tả đường parabol tại điểm M. Dễ dàng chứng minh được rằng

$$y(x) = (tg\alpha)x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,$$

và do đó

$$tg\varphi = \left((tg\alpha)x_M - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M^2\right)' = tg\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M,$$

Ở đâu

$$x_M = \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha,$$

$$y_M = \frac{1}{g} tg\alpha \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$-\frac{1}{2g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha = \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha.$$

Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình tiếp tuyến AM (xem Hình 3) -

$$y_{AM}(x) = x tg\varphi + \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$- \frac{1}{g} tg\varphi \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha =$$

$$= x tg\alpha + \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha -$$

và tìm hoành độ $x_A$ của điểm A (và $|OA| = |x_A|$):

42