Bài toán M891—M895; F903—F907

35

Nhiệm vụ

M891 — M895, F903 — F907

M891. Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác và hai đường trung tuyến của nó. Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.

A. A. Muratov

M892. a) Chứng minh rằng trong các số $2^m+2^k$, cũng như trong các số $3^m+3^k$ có ​​vô số số bình phương, và trong các số $4^m+4^k$, $5^m+5^k$ và $6^m+6^k$ không có một số bình phương nào là số nguyên (ở đây $m$ và $k$ là các số tự nhiên, $m \neq k$).

6)* Có hình vuông nào trong số $7^m+7^k$ không?

A. I. Zaichik

M893. Mỗi khối máy tính $n$ được kết nối bằng dây. Có thể phủ mỗi dây này bằng một trong $n-1$ màu để $n-1$ dây có màu khác nhau đến từ mỗi khối, nếu $n=6$; 6) $n=13$?

V. B. Alekseev

M894. a) Tổng gót của các số không âm bằng 1. Chứng minh rằng chúng có thể xếp thành một đường tròn sao cho tổng gót của tích từng cặp của các số liên tiếp không vượt quá 1/5.

6)* Có $n \geqslant 4$ các số không âm được đặt xung quanh một vòng tròn, tổng của chúng bằng 1. Chứng minh rằng tổng của tất cả $n$ tích từng cặp của các số liên thông không vượt quá 1/4.

S. B. Gashkov, A. N. Dranitsnikov

M895*. Chứng minh rằng diện tích mặt cắt ngang của hình lập phương bởi mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu nội tiếp trong đó không vượt quá một nửa diện tích hình lập phương. Giải quyết trường hợp khi phần này là a) hình tam giác, 6) hình tứ giác. C) Chứng minh rằng trong trường hợp a) tổng diện tích toàn phần của tứ diện cắt khỏi hình lập phương nhỏ hơn diện tích hình lập phương.

S. B. Gashkov, I. F. Sharytsin

F903. Trên máy phát phía trên của hình trụ chính có bán kính $R$, trục của nó nghiêng một góc $\alpha$ so với đường chân trời, một sợi dây linh hoạt không trọng lượng có chiều dài $l$ được cố định (Hình 1). Một vật nặng nhỏ được gắn vào đầu kia của sợi dây. Định nghĩa:

1. chiều dài phần treo của dây ở vị trí cân bằng tải;
2. chu kỳ dao động nhỏ của tải trọng trong mặt phẳng thẳng đứng song song với trục hình trụ.

S. S. Krotov

36

F904. Một hình cầu có bán kính $R$, bao gồm hai bán cầu có thành mỏng có mật độ bằng nhau, mỗi bán cầu có thành mỏng $m$, chứa đầy chất lỏng có mật độ $\rho$.

1. Cần phải tác dụng lực thẳng đứng nào lên bán cầu dưới để ngăn chất lỏng tràn ra ngoài nếu quả cầu phía trên được cố định (Hình 2)?
2. Cần nén bán cầu trái và bán cầu phải bằng lực nào (Hình 3) để chất lỏng không tràn ra ngoài?

L. G. Markovich

F905. Một hình trụ chứa đầy khí có thành mỏng có khối lượng $M$ có chiều cao $H$ và diện tích đáy $S$ nổi trong nước (Hình 4). Do sự mất nhiệt ở phần dưới của hình trụ, độ sâu ngâm của nó tăng lên $\Delta H$. Áp suất khí ban đầu trong xi lanh là bao nhiêu? Áp suất khí quyển $p$, nhiệt độ không thay đổi.

Ô. Yu. Nikshina

F906. Một dây dẫn có điện trở phụ thuộc vào nhiệt độ được nối với nguồn điện áp không đổi $U$. Điện trở của dây dẫn thay đổi tùy theo nhiệt độ theo định luật $R = R_0(1 - \mu t)$, trong đó $R_0$ là điện trở ở $t = 0^\circ C$, $\mu > 0$. Xác định nhiệt độ ở trạng thái ổn định của dây dẫn nếu nhiệt độ môi trường là $0^\circ C$ và nhiệt năng do dây dẫn tỏa ra môi trường là $W = b \cdot \Delta t$, trong đó $\Delta t$ là chênh lệch nhiệt độ giữa dây dẫn và môi trường. Bỏ qua sự thay đổi kích thước của dây dẫn do sự giãn nở nhiệt.

R. Yu. Vinokur

F907. Hai quả cầu kim loại có khối lượng $m$, mỗi quả có bán kính $r$ và $2r$ được đặt trong một điện trường, hướng của quả cầu đó hướng từ quả bóng lớn đến quả bóng nhỏ hơn và bằng $E$. Khoảng cách giữa tâm của các quả bóng là $R_0 = 4r$. Quả bóng lớn mang điện tích $q\left(k \frac{q}{r^2} \ll E\right)$, quả bóng nhỏ không nhiễm điện. Những quả bóng được thả ra. Thời gian giữa quả bóng va chạm thứ nhất và thứ hai là $t$. Tìm thời gian giữa lần va chạm thứ $n$ và lần va chạm thứ $(n+1)$ và khoảng cách mà các quả bóng sẽ di chuyển giữa những lần va chạm này. Gia tốc trung bình của các quả bóng trong một khoảng thời gian đủ dài là bao nhiêu? Các va chạm được coi là đàn hồi tuyệt đối.

A. A. LanUDEC

Problems
M891 — M895; P903 — P907

M891. A circle touches two sides of a triangle and two of its medians. Prove that this triangle is isosceles.

A. A. Muratov

M892. a) Prove that there are infinitely many squares of integers among the numbers $2^m + 2^k$ and also among the numbers $3^m + 3^k$, but there are no squares