Số học của số Gaussian

8

Số học của số Gaussian

A. V. GONCHAROV

Một trong những lý thuyết số học hay nhất do nhà toán học vĩ đại người Đức K. F. Gauss xây dựng, được mô tả trong bài viết này. Số Gaussian (các điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng) có thể được cộng và nhân theo một cách nhất định. Lý thuyết chia hết, lấp đầy số học tổng quát của các con số, nhưng cũng có những nét đặc trưng riêng, toát lên vẻ đẹp và sự hài hòa bên trong. Tuy nhiên, lý thuyết về số Gaussian không chỉ là một món đồ chơi toán học tao nhã - nó còn là một công cụ hữu ích cho phép bạn tìm ra bằng chứng màu đỏ về nhiều sự kiện khác nhau từ lý thuyết số (bộ ba Pyfarodian, biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng của hai bình phương) và thậm chí cả tinh thể học (xem bài viết của A. L. Petelin và A. I. Fedoseev trong số này «Kvant»).

Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, … là cơ sở của mọi toán học. Về phép cộng, chúng được sắp xếp theo trọng số đơn giản, cụ thể là: 1, 2=1+1, 3=1+1+1, …, sao cho viên gạch ban đầu duy nhất là 1.

Bằng cách đưa phép trừ vào trò chơi, chúng ta thấy mình đang ở trong lĩnh vực các số nguyên - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3… Về phép nhân, cùng một dãy số nguyên phức tạp hơn nhiều. Cụ thể, có vô số viên gạch đơn giản nhất mà từ đó tất cả các số nguyên khác 0 được xây dựng bằng phép nhân - đây đều là các số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Các số tự nhiên lớn hơn 1 có được từ chúng bằng phép nhân: 2, 3, 2×2, 5, 2×3, 7, 2×2×2, 3×3, …. Tuy nhiên, để có được tất cả các số nguyên hữu tỷ bằng cách phép nhân, chúng ta cũng phải liên quan đến cả đơn vị 1 và -1.

Định lý sau đây quy định theo nghĩa nào các số nguyên tố là vật liệu xây dựng cho việc xây dựng các số tự nhiên (tức là liên quan đến phép nhân).

Định lý cơ bản của số học số nguyên. Mọi số khác 0 a = εp₁ᵢ p₂ᵢ … pₙᵢ (1)

zde n ≥0, pᵢ là các số nguyên tố khác nhau, eᵢ là số nguyên dương và ε là một trong các đơn vị. Biểu diễn này được xác định duy nhất theo thứ tự của các thừa số.

Nếu các số nguyên tố p₁, p₂, …, pₙ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (điều này là tự nhiên) thì đẳng thức (1) hoàn toàn được xác định bởi số a: cả số ε (bằng ±1) và các thừa số nguyên tố p₁<p₂<…<pₙ và các số mũ của chúng e₁, e₂, …, eₙ đều được xác định duy nhất bằng cách chọn a.

Định lý này*) đã được biết đến từ thời cổ đại.

Trong một thời gian dài, các nhà toán học đã chứng minh được các định lý số học về số tự nhiên, chỉ làm việc với số nguyên. Tuy nhiên, vào đầu thế kỷ 19, Gauss phát hiện ra rằng một số câu hỏi về lý thuyết số chỉ xuất hiện một cách rõ ràng và vẻ đẹp tự nhiên khi lĩnh vực số học còn mở rộng đến những “con số” mà ngày nay chúng ta gọi là số nguyên Gaussian. Những con số này là gì?

Số Gaussian G là một cặp số nguyên đơn giản

G = {(a, b)|a, b∈Z},

cộng và nhân theo các quy tắc sau

(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d), (2)
(a; b)·(c; d)=(ac-bd; ad+bc). (3)

Để rõ ràng, chúng ta có thể tưởng tượng tập G là một “mạng số nguyên trên mặt phẳng”, tức là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà cả trục hoành và tọa độ đều là số nguyên (hình 1), hoặc - giống nhau - là tập hợp tất cả các vectơ có đầu O và kết thúc tại các điểm này. Khi đó phép cộng các số Gaussian (2) được biểu diễn dưới dạng phép cộng tổng quát của các vectơ theo quy tắc hình bình hành, nhưng phép nhân có vẻ hơi phức tạp - đối với người đọc, nó không có ý nghĩa gì ở trang 11).

10

Hình 4. Số Gaussian chia cho 2+3i.

$$5 - 3i = 1 + 1 + 1 + 1 + (-i) + (-i).$$

Hóa ra các số Gaussian có “định lý cơ bản của số học” của riêng chúng, điều này làm giảm việc nghiên cứu cấu trúc đa dạng của các số Gaussian thành nghiên cứu các số Gaussian đơn giản.

Số Gaussian nguyên tố và tính chia hết. Nếu đối với hai số Gaussian $a, b$ có số thứ ba $c \in G$ sao cho $a = b \cdot c$, thì ta nói rằng $a$ chia hết cho $b$ (bản ghi $a \div b$) hoặc $b$ chia $a$ (bản ghi $b \mid a$). Ví dụ: $2 \div 1 + i$ và $2 = (1 + i) \cdot (1 - i)$. hình4 hiển thị các số Gaussian chia hết cho $2 + 3i$.

Bài tập 4. a) Kiểm tra xem $1 + i \div 1 - i$. 6) Chứng minh tính chất chia hết thông thường của số Gaussian:

$$a \div b \Rightarrow ac \div bc,$$
$$ac \div bc, c \neq 0 \Rightarrow a \div b,$$
$$a \div b, b \div c \Rightarrow a \div c.$$

c) Đánh dấu trên mặt phẳng tọa độ tất cả các số Gaussian chia hết cho $3 - 2i$.

Trong miền số nguyên, sự tương ứng giữa $a \div b$ và $b \div a$ ngụ ý rằng $a = \pm b$. Trong miền số Gaussian, điều này không còn đúng nữa, ví dụ $a \div \pm a, a \div \pm ia$. Tuy nhiên, điều sau đây là đúng:

$$a \div b, b \div a \Rightarrow a = \pm ib$$

Bằng chứng. Đặt $a \mid b = c$ thì $c$ và $c^{-1} = b \mid a$ là các số Gaussian. Rõ ràng

$$1 = N(1) = N(c \cdot c^{-1}) = N(c)N(c^{-1})$$,

từ đó $N(c) = N(c^{-1}) = 1$ (vì $N(c)$ và $N(c^{-1})$ là các số nguyên dương thông thường). Nhưng chỉ có 4 số Gaussian có số chuẩn $1 -$ $1, -1, i, -i$, từ đó chúng ta sẽ gọi là đơn vị.

Chúng ta gọi hai số Gaussian là liên hợp nếu thương của chúng là một trong một (hình 5). Một số Gaussian được gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước số khác 0 nào khác ngoài các số và đơn vị đi kèm với nó. Ví dụ: số 3 và $2 + 3i$ là số nguyên tố nhưng số 5 thì không: $5 = (2 + i)(2 - i)$. (Để chứng minh tính nguyên tố của số 3 và $2 + 3i$, bạn cần sử dụng sự tương ứng $N(a)N(b) = N(ab)$ và liệt kê tất cả các số Gaussian có chuẩn là ước số của chuẩn của các số này.)

Bài tập 5. Tìm các số nguyên tố từ 2 đến 30 là số nguyên tố Gauss.

Định lý cơ bản của số học số Gaussian. Số Gaussian g khác 0 nào có thể được biểu diễn dưới dạng

$$g = \varepsilon \cdot g_1^{e_1} g_2^{e_2} \dots g_n^{e_n}$$

food $\varepsilon$ là một trong các đơn vị, $g_1, g_2, \dots g_n$ là các số nguyên tố Gaussian riêng biệt (nghĩa là không liên minh) và $e_1, e_2, \dots e_n$ là số mũ dương. Sự phân rã này là duy nhất theo nghĩa là bất kỳ sự phân tách nào khác của g thành các thành phần đơn giản đều có dạng $a = \varepsilon' \cdot h_1^{e_1} h_2^{e_2} \dots h_n^{e_n}$, trong đó một tập hợp các thành phần đơn giản và thay thế một số thành phần đó bằng các thành phần liên minh và một tập hợp số mũ bao gồm các số giống nhau, chỉ khác nhau về thứ tự.

Bằng chứng. Để chứng minh sự tồn tại của khai triển (6), ta thực hiện quy nạp theo chuẩn $N(g)$ của số g. Cơ sở quy nạp: số ít c normalie

13

Bây giờ chúng ta hãy tìm số phân tách $n=a^2+b^2$ cho một số tự nhiên tùy ý $n$. Sẽ thuận tiện cho chúng ta khi coi các khai triển khác nhau khác nhau về sự thay đổi dấu của $a$ và $b$ hoặc thứ tự của các số hạng. Khi đó số này sẽ bằng số điểm có tọa độ nguyên trên đường tròn bán kính $\sqrt{n}$ có tâm là 0.

Định lý 3. Số điểm nguyên trên đường tròn bán kính $\sqrt{n}$, $n \in \mathbb{N}$ hoặc (giống nhau) số phân tách của số nguyên $n$ thành tổng hai bình phương bằng ảnh bội của ước số $n$ có dạng $4k+1$ trên ước số có dạng $4k+3$.

Ví dụ, dễ dàng nhận thấy các đường tròn bán kính $\sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{17}, 5$ đi qua 4, 4, 4, 12 điểm tương ứng (kiểm tra xem trong cả ba trường hợp, số này có bằng ảnh tứ phân tương ứng của ước số $n$ có dạng $4k+1$ trên ước số có dạng $4k+3$.

Ví dụ, dễ dàng nhận thấy các đường tròn bán kính $\sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{17}, 5$ đi qua 4, 4, 4, 12 điểm tương ứng (kiểm tra xem trong cả ba trường hợp, số này có bằng ảnh tứ phân tương ứng của ước số $n$ có dạng $4k+1$ trên ước số có dạng $4k+3$.

Bằng chứng. Hãy biểu thị $n$ dưới dạng $n=2^a q_1^{a_1} \cdots q_k^{a_k} p_1^{e_1} p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m} p_m^{e_m}$,

trong đó $q_j=q_j>0$ và $p_j, p_j$ là số nguyên tố Hussian ($p_j$ và $p_j$ không nhất quán). Hãy để $n=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$. Từ định lý chính, dễ dàng suy ra rằng $a+bi$ liên minh với số $(1+i)^a \cdot q_1^{a_1/2} \cdots q_k^{a_k/2} \cdot p_1^{f_1} \cdot p_1^{e_1}-f_1 \cdot \cdots \cdot p_m^{f_m} p_m^{e_m}-f_m$,

ở đâu $0 \leq f_j \leq e_j$.

Điều này cho thấy số được biểu thị bằng $n$ là tổng của hai bình phương bằng

$$\begin{cases} 0 - \text{если среди чисел } a_i \text{ есть нечетные числа}, \\ 4(e_1+1) \cdot \cdots \cdot (e_m+1) - \text{если все } (13) \\ a_i \text{ четные} \end{cases}$$

(4 xuất hiện do thực tế là biểu thức (12) khác với $a+bi$ một và một chỉ là 4).

Mặt khác, bất kỳ ước số lẻ nào $x$ của $n$ đều có sự phân tách thành các số Hussian nguyên tố có dạng

$$x=q_1^{q_1} \cdot \cdots \cdot q_k^{q_k} p_1^{p_1} p_1^{p_1} \cdots p_m^{p_m} p_m^{p_m},$$

ở đâu $b_1 \leq a_1, \cdots, b_k \leq a_k; f_1 \leq e_1, \cdots, f_m \leq e_m$.

Nhưng $q_i$ là các số tự nhiên là số nguyên tố Hussian nên $q_i$ khi chia cho 4 còn dư 3 và

$$(b_1+\cdots+b_k):2 \Leftrightarrow x=4k+1 \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Từ đây dễ dàng suy ra (suy ra!) rằng ảnh của ước số có dạng $4k+1$ trên ước số có dạng $4k+3$ bằng

$$\begin{cases} 0, \text{ если среди чисел } a_i \text{ есть нечетное}, \\ (e_1+1) \cdot \cdots \cdot (e_m+1), \text{ если все } a_i - \quad (14) \\ \text{ четные числа.} \end{cases}$$

So sánh (13) và (14), ta thu được chứng minh định lý.

Phần kết luận. Chúng tôi chưa giải thích lý thuyết nêu trên đến từ đâu. Và nó như thế này: vào năm 1796, Gauss 19 tuổi đã chứng minh được định luật bậc hai về sự tương hỗ, một trong những viên ngọc đẹp nhất của lý thuyết số. Lịch sử nguồn gốc và cách chứng minh của nó được mô tả trong bài viết “Định lý vàng” của S. G. Gindikin (trong «Kvant», 1973, số 1).

Định luật tương hỗ bậc hai cho phép chúng ta nghiên cứu kỹ lưỡng phương trình có dạng $x^2-a \equiv 0(\text{mod } b)$, tức là tìm tất cả $x \in N$ sao cho số $x^2-a$ chia hết cho $b$.

Đương nhiên, Gauss muốn có một lý thuyết tương tự cho phương trình ở mức độ cao hơn, chẳng hạn như $x^4-a \equiv 0(\text{mod } b)$, và do đó bắt đầu tìm kiếm “định luật tương hỗ hai bậc hai”. Và sau đó họ phát hiện ra rằng mặc dù đây là phương trình phân tích đầu tiên trong lĩnh vực số tự nhiên, nhưng nó hoàn toàn là kết quả của sự cần thiết thực tế để lập công thức (!) không có số nguyên Hussian. Sau đó (1832), Gauss viết:

“Sau khi chúng tôi bắt đầu điều tra những câu hỏi này vào năm 1805, (…) chúng tôi nhanh chóng bị thuyết phục rằng (…) đối với một lý thuyết tổng quát, theo một nghĩa nào đó, cần phải mở rộng không ngừng lĩnh vực số học cao hơn. Ngay khi bước vào lĩnh vực này, chúng tôi ngay lập tức khám phá ra một cách tiếp cận để tìm ra trọng lượng của các lý thuyết đơn giản và đầy đủ theo phương pháp quy nạp; tuy nhiên, bằng chứng của chúng bị che giấu sâu đến mức chúng chỉ được đưa ra ánh sáng sau vô số nỗ lực.”

Lĩnh vực mà Gauss viết đến là lý thuyết về những con số ngày nay mang tên ông.