Olympic Toán quốc tế XXVI

46

XXVI
Tối ưu hóa toán học quốc tế

T. A. SARYCHEVA,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. FOMIN

Tối ưu hóa toán học quốc tế XXVI (IMO) diễn ra tại Phần Lan tại các thành phố Helsinki, Heinola và Juutsa từ ngày 29/6 đến ngày 10/7/1985. Mức độ phổ biến của sự kiện hiện đại này ngày càng gia tăng, số lượng quốc gia tham gia tăng không ngừng và khá nhanh, điều này gây ra những khó khăn nhất định cho các quốc gia tổ chức. Năm nay, lần đầu tiên Iran, Iceland, Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa, Türkiye tham gia IMO và Ấn Độ cũng có mặt.

Toàn bộ các đội gồm 6 học sinh, mỗi đội tham gia IMO từ 31 quốc gia, từ Ý và Kuwait - mỗi đội 5 người, từ Tây Ban Nha và Tunisia - 4 người từ Iceland và Trung Quốc - mỗi đội 2 người, từ Iran - 1 người tham gia. Như vậy, trong khả năng giải quyết bài toán 209 học sinh hiện đại từ 38 quốc gia trên khắp thế giới.

Ban giám khảo tối ưu hóa, bao gồm các trưởng nhóm, đã làm việc từ ngày 29 tháng 6 tại thị trấn nhỏ đẹp như tranh vẽ Heinola, cách Helsinki 140 km về phía bắc, để biên soạn bài toán. Sau cuộc thi hiện đại, hai loại vào ngày 4 và 5 tháng 7, các thành viên ban giám khảo đã di chuyển đến thị trấn Yuutsu thậm chí còn nhỏ hơn, nơi các học sinh đã ở vài ngày trong một khách sạn đầy đủ tiện nghi trong rừng thông bên bờ một hồ lớn. Ở Yuutse, việc thực hiện và điều phối công việc. Những người tham gia tối ưu hóa đã dành hai ngày qua ở Helsinki, nơi giai đoạn tối ưu hóa kết thúc, một số chuyến du ngoạn cũng như thang đo cuối cùng ở học sinh da đen có thể thể hiện tài năng của họ trong các bài hát, điệu nhảy và trò đùa.

Các nhà tổ chức tối ưu hóa đã đối phó tốt với mọi khó khăn. Đặc biệt đáng chú ý là sự làm việc rõ ràng và tận tâm của chủ tịch ban giám khảo Illju Laine, điều phối viên chính Juha Oikonen, thư ký tối ưu hóa kiêm trưởng ban tuyển chọn bài toán Matti Lehtin, và chủ tịch ban tổ chức Heimo Latva.

Theo truyền thống, vào mỗi ngày trong hai ngày, 3 bài toán được cung cấp cho 4,5 giờ làm việc. Mỗi bài toán có giá trị 7 điểm.

Ngày đầu tiên
1 (Tổ chức tuyệt vời). Cho tứ giác lồi ABCD có thể vẽ được một đường tròn xung quanh. Một số đường tròn có tâm trên cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh còn lại. Chứng minh rằng $|AD| + |BC| = |AB|$.

2 (Úc). Cho các số nguyên tố n và k (0<k<n). Mỗi số trong tập hợp M={1,2,…,n-1} đều ở phần đầu hoặc màu trắng, sao cho đáp ứng các điều kiện sau:

a) với mỗi i trong tập M, các số i và n-i phải được tô cùng một màu;
b) Với mỗi i của M khác k thì số i và |k-i| phải sơn cùng màu.

Chứng minh rằng mọi số trong tập M đều được tô cùng một màu.

3 (Inderland). Đối với mọi đa thức $P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_kx^k$ có hệ số nguyên, chúng ta biểu thị bằng $w(P)$ số lượng hệ số là số lẻ. Đặt $Q_i(x)=(1+x)^i$ cho $i=0, 1, 2, \dots$. Chứng minh rằng nếu các số của số $i_1, i_2, \dots, i_n$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ thì

$$w(Q_{i1}+Q_{i2}+\dots+Q_{i_n}) \geq w(Q_{i1}).$$

Ngày thứ hai
4 (Mông Cổ). Cho tập M gồm 1985 số tự nhiên khác nhau. Các ước nguyên tố của mỗi số trong tập M không thể chuyển đổi được. 26. Chứng minh rằng từ tập M bạn có thể chọn được bốn số phân biệt từng cặp có tích là lũy thừa bậc bốn của một số nguyên nào đó.

5 (SSR). Cho tam giác ABC và đường tròn tâm O đi qua các đỉnh A và C, hai đoạn thẳng này lần lượt cắt các đoạn AB và BC tại các điểm K và N. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN có đúng hai điểm chung B và M. Chứng minh rằng góc OMB vuông.

6 (Thụy Điển). Đối với mỗi số thực $x_1$, chúng ta xây dựng chuỗi $x_1, x_2, \dots$, giả sử

$$x_{n+1}=x_n \cdot (x_n+\frac{1}{n})$$

47

Đội Liên Xô tại Olympic Toán quốc tế XXVI ở Helsinki.

dành cho tất cả mọi người $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một giá trị $x_1$ sao cho $0 < x_n < x_{n+1} < 1$ với mọi $n$.

Đội Liên Xô năm nay bao gồm các học sinh đến từ nhiều thành phố và nguồn lực khác nhau của đất nước chúng tôi, đã giành chiến thắng trong một cuộc đấu tranh khó khăn một huy chương vàng, hai huy chương Serbia và hai huy chương đồng.

Olga Leontyeva đến từ Leningrad, ghi được 36 điểm, lọt vào top 6 chứa đầy máy tính cá nhân và huy chương vàng. Olga là cô gái duy nhất tại Olympic nằm trong số 14 người chiến thắng đầu tiên.

Oleg Bondarenko đến từ Gorlovka, vùng Donetsk và Anatoly Malevaets đến từ Krasny Luts, vùng Voroshilgrad, cả hai đều là sinh viên Trường Vật lý tại KSU, nhận huy chương Serbia với 29 điểm mỗi người. Lev Ivanov đến từ Saratov, sinh viên Khoa Vật lý và Toán học thuộc Đại học quốc gia Moscow, đứng đầu danh sách người đoạt giải ba với 21 điểm, trong đó có Dmitry Bibin đến từ Vitebsk (16 điểm). Mati Pentus từ Tallinn (9 điểm) bị giới hạn bằng tốt nghiệp tham gia. Mati, người bị cảm lạnh trước thềm Olympic, đã thể hiện dưới khả năng của mình, tuy nhiên, như đã nói ở lễ bế mạc, tại Olympic Toán học quốc tế có người chiến thắng nhưng không có người chiến thắng.

Một tiểu ban của ban giám khảo, bao gồm sáu trưởng nhóm quốc gia đã đề xuất bài toán, đã xem xét vấn đề giải thưởng đặc biệt cho lời giải bài toán ban đầu. Mặc dù học sinh nhận thấy các lời giải xuất sắc, bao gồm cả những điểm mà ban giám khảo chưa biết trước đây, đặc biệt là các bài toán hình học, nhưng tiểu ban đã quyết định không trao giải đặc biệt cho người đoạt giải, vì không có lời giải nào trong số này là duy nhất mà được lặp lại trong một số tác phẩm.

MMO hoàn hảo cho học sinh chứ không phải cho các quốc gia. Tuy nhiên, có thể lưu ý rằng học sinh ở các nước xã hội chủ nghĩa có truyền thống học tập rất tốt. Trong số 6 đội ghi được nhiều điểm nhất có 5 đội đến từ các nước xã hội chủ nghĩa: Romania (201), Hungary (168), Bulgaria (165), Việt Nam (144), Liên Xô (140). Đội Mỹ (180) cũng thể hiện tốt. Ngoài ra, 10 đội dẫn đầu là Đức (139), Đông Đức (136), Pháp (125), Anh (121).

Tất cả những người tham dự lễ bế mạc tại Đại học Helsinki, những người đã nhìn thấy khuôn mặt hạnh phúc của những người chiến thắng và nghe những tràng pháo tay nồng nhiệt, đều thấy rõ rằng IMO đóng vai trò to lớn như thế nào trong sự phát triển giáo dục toán học trên thế giới, trong việc xây dựng niềm tin và các mối quan hệ quốc tế khác.

Kỳ thi Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XXVII tiếp theo sẽ diễn ra tại Warsaw vào tháng 7 năm 1986.