Bài toán M956—M960; F968—F972

26

Bài toán

M956—M960; F968—F972

M956. Bốn đường tròn có cùng bán kính được vẽ trên mặt phẳng sao cho ba đường tròn đi qua điểm A và ba đường tròn đi qua điểm B (hình 1). Chứng minh rằng bốn điểm giao nhau của chúng, không phải A và B, đều là các đỉnh của hình bình hành.

V. và I. Kapovits, học sinh lớp 10

M957. Chứng minh rằng từ năm 1985 các số tự nhiên khác nhau đều có thừa số nguyên tố nằm trong 9 số nguyên tố đầu tiên 2,3,…,23, có thể chọn được 4 số có tích là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.

M958*. Đặt $0 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ là số nguyên. Chứng minh rằng số hệ số lẻ của một đa thức

$$(1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\dots+(1+x)^{i_n}$$

không nhỏ hơn đa thức $(1+x)^{i_1}$.

M959*. Có kết nối hàng không giữa một số thành phố trong nước. Chứng minh rằng có thể đóng cửa không quá $1/(k-1)$ một phần các hãng hàng không theo cách mà trong số $k$ thành phố bất kỳ có hai thành phố không được kết nối bởi các hãng hàng không nếu $k=3$; 6) $k$ - bất kỳ số tự nhiên nào.

A. A. Razborov

M960*. Nếu hiệu giữa lập phương của hai số tự nhiên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên $n$, thì số $n$ được biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp.

a) Chứng minh khẳng định này.

6. Bot là một ví dụ về những con số như vậy: $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$; Hãy cho ít nhất một ví dụ nữa.

b) Chứng minh rằng có vô số ví dụ như vậy.

P. Lyness (Anh)

F968. Ba bánh răng ăn khớp có bán kính $r_1$, $r_2$ và $r_3$ (hình 2) được gắn trên ba trục song song nối với nhau bằng thanh cứng. Trục $B$ và $C$ quay quanh một trục cố định $A$ với vận tốc góc $\omega_0$; trong khi kích thước của tam giác là

27

Chỗ đặt $ABC$ không thay đổi và bánh răng bán kính $r_3$ chuyển động tịnh tiến. Bánh răng có bán kính $r_1$ quay với tốc độ góc bằng bao nhiêu?

V. Vandelov (Vourgas, NRV)

F969. Hai lon làm từ cùng một chất liệu có hình dạng hình học giống nhau và tất cả các kích thước tuyến tính của một lon nhỏ hơn $k$ lần so với lon kia (hình 3). Một lỗ được tạo ra ở hai trong số mỗi lon. Các lọ đồng thời được hạ xuống nước. Chiếc bình nào sẽ chìm nhanh hơn? Bao nhiêu lần?

I. K. Sobolev

F970. Một vỏ hình cầu có thành mỏng, đục, chứa một quả cầu có bán kính nhỏ hơn bán kính của vỏ mấy lần. Đề xuất cách xác định khối lượng riêng của chất làm ra quả bóng. Khối lượng của vỏ chưa được biết.

S. A. Khorozov

F971. Trong một từ trường, cảm ứng $\vec{B}$ thẳng đứng, thanh kim loại quay quanh trục thẳng đứng như hình hình 4. Vận tốc góc quay là $\omega$, $R$ và $\alpha$ cho trước. Tìm hiệu điện thế ở hai đầu thanh.

L. G. Markovich

F972. Trong thiết bị quay phim tốc độ cao được sử dụng để quay các quá trình bảo vệ nhanh, phim chuyển động liên tục với tốc độ $v$. Để tránh làm mờ hình ảnh, một lăng kính thủy tinh tứ diện có chiết suất $n$, quay với vận tốc góc không đổi (hình 5), được lắp đặt giữa phim và thấu kính. Bỏ qua hiện tượng nhòe ảnh, xác định vận tốc góc mà ảnh trên phim không bị mờ. Xác định độ dày của đối tượng địa lý $d$, với điều kiện là hình ảnh của một khung hình được hiển thị trong phạm vi $(-\alpha_0, \alpha_0)$ góc quay của khung hình đó và kích thước tối thiểu của các chi tiết hình ảnh khác nhau là $\delta$.

A. A. LanUDEC

Problems

M956—M960; P968—P972

M956. Four circles of the same radius are drawn on the plane so that three pass through the point $A$ and three through the point $B$ (Fig. 1). Prove that the four pairwise intersection points (other than $A$ and $B$) are the vertices of a parallelogram.

V. and I. Kapovich, 10th form students

M957. Prove that it is possible to choose four numbers whose product is the fourth power of an integer from any distinct 1985 natural numbers whose prime divisors are all contained in the set {2, 3, …, 23} of the first nine primes.

M958*. Suppose $0 \leq i_1 < i_2 < ... < i_n$ are integers. Prove that the number of odd coefficients of the polynomial

29

chúng tôi loại bỏ viên nhẹ hơn và so sánh viên nặng hơn với viên đá mới thuộc nhóm T; sau khi loại bỏ $n$ viên đá, viên được yêu cầu sẽ còn lại - viên nặng nhất. Tương tự, sau lần cân $n$, viên đá nhẹ nhất từ ​​nhóm L được chọn.

Nhiều thuật toán chính xác khác có thể được đề xuất cho phép chọn viên đá nặng nhất và nhẹ nhất từ ​​$2n+2$ trong các lần cân $3n+1$. Chúng tôi để lại cho độc giả một câu hỏi khó hơn bài toán: tìm hiểu xem số lần cân tối thiểu có thể chọn được viên đá $N$ nặng nhất và nhẹ nhất. (Tương tự bài toán: cần bao nhiêu cặp so sánh để chọn ra $k=2, 3, \dots$ viên đá nặng nhất trong số $N$ - thảo luận trong bài viết “Ai sẽ đến Rio” của G. Adelson-Velsky, I. Bershtein và M. Gerver («Kvant», 1972, số 8, trang 2), cũng như trong phần sách về sắp xếp và tìm kiếm - ví dụ: trong tập 3 cuốn sách “Nghệ thuật lập trình” của D. Knuth (M.: “Mir”, 1978).

S. V. Fomin,
N. V. Vasiliev

M937. Có hình $F$ nào không thể che được bởi hình bán nguyệt bán kính 1, nhưng hai bản sao của nó có thể được che bởi hình tròn 1, nếu $F$ là a) một hình tùy ý; b) một hình lồi?

Đáp số cho cả hai câu hỏi a) và b) đều dương. Ví dụ được trình bày tại hình. Đối với đáp số cho câu hỏi a), ngoài các biến thể khác nhau của hình dưới dạng “cánh quạt” hoặc biểu tượng Kist cổ “Dương và Âm”, ví dụ suy biến sau đây cũng phù hợp: từ một đường tròn bán kính 1 có tâm $O$ ba điểm được rút ra - các đỉnh của một tam giác đều có tâm $O$. Đối với đáp số cho câu hỏi 6), hình sau đây là phù hợp: một hình tròn có bán kính 1 với tâm $O$ được chia thành bốn cung có kích thước $\varepsilon, \varepsilon, \pi-\varepsilon, \pi-\varepsilon$ và dựng một “thân lồi” gồm hai cung không liền kề. (Phần dưới bên trái hình tương ứng với $\varepsilon=\pi/2$.) Lưu ý rằng đối với $\varepsilon$ nhỏ, hình được xây dựng có diện tích gần bằng một góc với diện tích của hình bán nguyệt.

Bằng chứng cho thấy hình được dựng không bao phủ hình bán nguyệt trong mọi trường hợp đều dựa trên thông điệp sau: các đầu của đường kính hình bán nguyệt cách nhau 2, do đó, chúng chỉ có thể được che bởi hai điểm của hình đã dựng là các điểm đối xứng đường kính của hình tròn có bán kính 1 mà chúng ta cắt ra; Do đó, hình của chúng ta phải chứa hình bán nguyệt mục tiêu có tâm $O$ bán kính 1.

Việc hai bản sao của một hình có thể bao phủ một vòng tròn là rất rõ ràng (trong tất cả các ví dụ, chỉ cần xoay hình so với tâm vòng tròn một góc nào đó hoặc phản xạ từ một đường thẳng nào đó đi qua tâm là đủ).

N. V. Vasiliev

M938. Bán kính của hình tròn có tâm $O$ được điều chỉnh đều, trong một giây quay một góc $360^\circ/n$ (ede $n$ là số tự nhiên lớn hơn 3). Tại thời điểm ban đầu, nó chiếm Om$_0$, sau một giây - vị trí Om$_1$, sau 2 giây nữa - vị trí Om$_0$, Om$_1$, …, Om$_{n-1}$ chia hình tròn thành $n$ các phần bằng nhau khi và chỉ khi $n=2^k$ (k là số tự nhiên; các hình thể hiện trường hợp $k=2$ và $k=3$).

Vì các điểm $M_0, M_1, M_2, \dots, M_{n-1}$ rơi vào các đỉnh của một $n$-giác đều có tâm $O$, nên để $n$ bán kính Ohm$_0, OM_1, \dots, OM_{n-1}$ chia hình tròn thành các phần bằng nhau, điều cần thiết là

31

Nếu bảng $N \times N$ được tô màu bằng các màu $N$ sao cho các ô của mỗi màu là $N$ và $N > (n-1)^2$, thì sẽ có một hàng hoặc cột trong đó có các ô $n$ có các màu khác nhau (trong bài toán của chúng tôi có $N=10$, $n=4$).

Chúng tôi mời độc giả chứng minh rằng ước tính này là chính xác và suy nghĩ về những khái quát hóa có thể có của bài toán này (ví dụ: đối với bảng hình chữ nhật, đối với mặt phẳng ba chiều).

N. N. Konstantinov, L. D. Kurlyandchik

M940*. a) Hình vuông được chia thành các hình chữ nhật. Chúng ta hãy gọi “số nguyên” là một tập hợp các hình chữ nhật sao cho hình chiếu của chúng lên một cạnh của hình vuông bao phủ hoàn toàn cạnh này mà không chồng lên nhau. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật bất kỳ đều thuộc một dãy nhất định.

b) Chứng minh tương tự cho trường hợp khối lập phương được chia thành các hình chữ nhật song song (trong định nghĩa dây chuyền, cạnh của hình vuông phải thay cạnh của hình lập phương). b) Có đúng là hai đường thẳng song song bất kỳ trong phép chia hình lập phương đều thuộc về một “lát cắt” - một tập hợp các đường thẳng song song có các hình chiếu lên một ranh giới nhất định sẽ lấp đầy nó một cách cố kết mà không chồng chéo lên nhau?

Hình 1.

Chúng ta sẽ gọi các hình chữ nhật (trong đoạn 6) - các hình song song) để chia hình vuông (khối lập phương) là “kirits” và chính hình vuông (tương ứng là hình lập phương) - “ngôi nhà”. Thật thuận tiện khi giả định rằng “ngôi nhà” là một hình chữ nhật tùy ý (song song primogol).

Cả hai câu a) và 6) đều có thể được chứng minh theo cách gần giống nhau - bằng quy nạp theo số $n$ kiriches tạo nên ngôi nhà. Chúng tôi sẽ chứng minh chi tiết a) và sau đó chỉ ra các thông báo bổ sung cần thiết ở điểm 6).

Đối với $n \leq 2$ Kirichs, tuyên bố này là hiển nhiên. Giả sử rằng với số lượng kirich nhỏ hơn $n$ thì điều đó đã được chứng minh. Đặt $\alpha$ và $\beta$ là hai trong số $n$ kiriches tạo nên ngôi nhà mà chúng ta muốn kết nối bằng một chuỗi. Chúng ta sẽ nói rằng chuỗi đi “dọc theo cạnh $a$” nếu hình chiếu của các thành phần của chuỗi lên $a$ bao phủ $a$ trong một lớp. Lưu ý rằng chỉ cần xây dựng một phần của chuỗi giữa $\alpha$ và $\beta$, chạy dọc theo $a$ (biểu thị Kirichi có các hình chiếu trên $a$ điền vào một lớp đoạn giữa các hình chiếu của Kirichi $\alpha$ và $\beta$), - sau đó, thật dễ dàng để hoàn thành nó thành một chuỗi: đối với điều này, chỉ cần tìm từ đó là đủ $\alpha$ và $\beta$ theo hướng $a$ sang các cạnh vuông góc với $a$ và nằm trong chuỗi gặp nhau tại kirichia này (hình 1).

Nghe này, khi kirichias $\alpha$ và $\beta$ có thể giao nhau bởi một đường thẳng song song với cạnh nhà thì điều hiển nhiên là: tất cả các kirichia giao nhau bởi một đường thẳng như vậy sẽ tạo thành chuỗi mong muốn. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng mỗi bên của ngôi nhà có một đường thẳng ngăn cách kirichias $\alpha$ và $\beta$. Trong trường hợp này, có một đỉnh kirichia $\alpha$ gần nhất với $\beta$; chúng tôi biểu thị nó $A$. Trong số các ước tính trực tiếp về kirichi, ngoài $\alpha$, còn có ít nhất một kirichi $\gamma$ nữa, trong đó $A$ đóng vai trò là đỉnh và liền kề với $\alpha$ ở bên cạnh. Nó được ngăn cách với $\alpha$ bởi một đường thẳng nào đó $l$ (đi dọc theo các cạnh $\alpha$ và $\gamma$, hình 2).

Bằng cách cắt ngôi nhà cùng với kirichi của đường thẳng $l$ này, chúng ta thu được một ngôi nhà chứa kirichi $\gamma$ và $\beta$, nhưng nhỏ hơn ngôi nhà ban đầu (về số lượng kirichi). Trong đó, theo giả thuyết quy nạp có thể nối $\gamma$ và $\beta$ bằng một chuỗi; chúng tôi quan tâm đến phần $\gamma$, $\delta_1$, $\delta_2$, …, $\delta$, $\beta$ từ $\gamma$ đến $\beta$. Nếu nó đi theo hướng $l$ thì chúng ta có thể thay thế $\gamma$ bằng $\alpha$ và chúng ta cần một phần của chuỗi từ $\alpha$ đến $\beta$ sẵn sàng: $\alpha, \delta_1$

32

δ₂, …, δ, β (ở đây chúng ta sử dụng thực tế rằng A là đỉnh α, hình 2, a) gần nhất với β. Nếu số nguyên γ, δ₁, δ₂, …, δ, β đi theo hướng xuyên chuẩn l, thì chúng ta chỉ cần thêm α vào nó (hình 2, b).

Hãy chuyển sang lời giải b). Ở đây suy ra rằng khi các viên gạch α và β có thể giao nhau bởi một mặt phẳng song song với mép nhà thì tương ứng với điểm a). Trường hợp còn lại là khi α và β cách nhau bởi ba mặt phẳng song song với các mặt khác nhau của ngôi nhà. Ba mặt phẳng của nó đi qua đỉnh A của viên gạch α gần β nhất. Họ chia không gian thành 8 đường viền và mỗi viên gạch liền kề với A chiếm một, hai hoặc bốn trong số chúng (trong vùng lân cận của A). Vì số 8-1=7 là số lẻ nên trong số chúng, ngoài α, còn có một viên gạch γ khác, mà A đóng vai trò là đỉnh (chiếm một cạnh) và được ngăn cách với α bởi một mặt phẳng p nhất định.

Việc suy luận sâu hơn được thực hiện tương tự như ở điểm a): mặt phẳng cắt ngôi nhà nhỏ hơn chứa γ và β; Vẫn còn phải xem xét hai trường hợp - khi số nguyên tồn tại theo giả định quy nạp từ γ đến β đi theo hướng song song với mặt phẳng p hoặc perepredkulyarny ei.

c) Tuyên bố này nói chung là sai. Một ví dụ đơn giản là khối lập phương 2x2x2 được tạo thành từ hai cốc 1x1x1 liền kề với các đỉnh đối diện của khối và ba hình bình hành 2x1x1 (hình 3). Dễ dàng nhận thấy những chiếc cốc ở đây không thuộc về một người.

Một ví dụ tương tự về một ngôi nhà 3x3x3 được làm từ ba cốc 1x1x1 được sắp xếp theo đường chéo và sáu viên gạch 2x2x1 có thể dễ dàng hình dung ra bởi những người sở hữu khối Rubik.

N.V. Vasiliev,
A. I. Golber

F948. Được biết, ở một “khoảng trống” nhỏ giữa các ô tô đang đứng trên vỉa hè, nên lái xe lùi thay vì tiến. Tại sao?

Cho ô tô chạy vào một khoảng trống nhỏ giữa hai ô tô đang đứng trên vỉa hè (xem hìnhnok). Chúng ta hãy đặt câu hỏi theo cách này: làm thế nào để ô tô rời đi bây giờ dễ dàng hơn - tiến hay lùi?

Khi bạn bẻ lái, bánh trước quay ngay lập tức, trong khi bánh sau ban đầu giữ nguyên hướng; sao cho trong bất kỳ quá trình điều khiển ô tô nào, tâm của đường tròn mà ô tô đang di chuyển (tiến hoặc lùi) luôn nằm trên đường thẳng đi qua tâm bánh sau.

hình hiển thị quỹ đạo mà ô tô có thể thoát ra khỏi khoảng trống. Có thể thấy, khi lái xe lùi khả năng lùi xe bên cạnh cao hơn so với khi lái xe tiến.

Dễ hiểu rằng sự ra đi của một chiếc ô tô là một sự nhập cảnh bị đảo ngược về thời gian. Vì vậy, các phương tiện nên lùi xe vào một khoảng trống nhỏ.

S. S. Krotov,
G. Vâng. Myakshev

33

F949. Các chỉ số của nhiệt kế có giống nhau không, một nhiệt kế đặt trên bề mặt chất lỏng đang sôi, còn nhiệt kế kia đặt ở độ sâu của nó?

Để bong bóng chứa đầy hơi bão hòa hình thành trong chất lỏng trong quá trình sôi và không bị xẹp, áp suất bên trong bong bóng phải bằng áp suất bên ngoài, tức là áp suất của chất lỏng xung quanh bong bóng. Nếu bong bóng nằm sâu trong chất lỏng và chiều cao của lượng chất lỏng phía trên nó là $h$, thì áp suất bên ngoài là

$$p = p_0 + \rho gh,$$

trong đó $p_0$ là áp suất trên bề mặt chất lỏng. Do đó, bong bóng càng sâu thì áp suất $p_H$ của hơi bão hòa trong bong bóng phải lớn hơn để nó không bị xẹp. Nhưng giá trị áp suất cao hơn $p_H$ tương ứng với nhiệt độ cao hơn. Điều này có nghĩa là có thể tồn tại các bong bóng sâu trong chất lỏng đang sôi ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ trên bề mặt.

Chúng ta hãy ước tính nhiệt độ $T_h$ ở độ sâu $h = 0,5$ m khác với nhiệt độ $T_0$ trên bề mặt nước sôi như thế nào. The additional pressure at this depth is $\Delta p = \rho gh \approx 5 \cdot 10^3$ Pa. Assuming that the pressure above the surface of the water is equal to normal atmospheric pressure, that is, $p_0 = 1,033 \cdot 10^5$ Pa, from the table of the dependence of saturated vapor pressure on temperature, we find how much higher the temperature of water vapor must be $100^\circ\text{C}$ for its pressure to be greater than $p_0$ by $5 \cdot 10^3$ Pa: $\Delta T \approx 1^\circ\text{C}$.

T. S. Petrova

F950. Trong một ống mao dẫn kín có rất nhiều ruti, cách nhau bằng một giọt dung dịch điện phân nước $\text{HgI}_2$. Đường kính trong của ống là $d = 0,3$ mm. Ống được nối nối tiếp với một điện trở có điện trở $R = 390$ kOhm với pin có suất điện động $\mathcal{E} = 10$ V (xem hìnhok). Sẽ mất bao lâu để giọt nước di chuyển một vạch chia tỷ lệ?

◆ Dòng điện trong điện cực có liên quan đến sự truyền khối. In this case, at the cathode there is a reduction of metallic ru from the electrolyte solution, and at the end there is oxidation of ru, that is, its transition into the electrolyte solution. Theo định luật điện phân Faraday, khối lượng ruth thoát ra ở cực âm trong thời gian $t$ bằng

$$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I t,$$

where $F = 9,65 \cdot 10^4$ C/mol is the Faraday number, $M = 0,201$ kg/mol is the molar mass of ruti, $n = 2$ is the valency of ruti, $I$ is the flowing current. This current is practically determined by the resistance $R$, since in comparison with it the resistance of the metallic ruthe and electrolyte and the internal resistance of the source are negligible. Do đó $I = \mathcal{E}/R$, và

$$m = \frac{M \mathcal{E}}{FnR} t. \tag{1}$$

Sự giải phóng ruti ở cực âm và sự hòa tan của nó ở ande dẫn đến sự trộn lẫn các giọt chất điện phân vào hai bên ande để hòa tan $l$ như vậy

$$m = \rho \frac{\pi d^2}{4} l, \tag{2}$$

trong đó $\rho = 13,6 \cdot 10^3$ kg/m$^3$ là mật độ của ruti.

34

Từ (1) và (2) chúng ta có thể tìm được thời gian mà một giọt năng lượng cười ở khoảng cách $l$:

$$i = \frac{\pi d^2 F n_0 R l}{4 M C}.$$

Thay các giá trị đã cho trong điều kiện và $l = 1$ cm, ta thu được $t = 100$ h.

Những chiếc đồng hồ tương tự khác đã được ứng dụng trong công nghệ điện tử như những thiết bị tiêu tốn thời gian cỡ nhỏ và bộ đếm thời gian hoạt động. Chúng cũng được sử dụng để đo điện tích – để chế tạo máy đo điện lượng.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F951. Xác định điện dung của hệ tụ điện như hình hình. Mỗi tụ điện được biểu thị bằng giá trị điện dung của nó, được đo bằng microfarad.

◆ Không thể hình dung mạch điện ban đầu là một hệ tụ điện mắc song song và nối tiếp. Trong những trường hợp như vậy, có thể nói, cần phải đơn giản hóa sơ đồ. Ví dụ, điều này có nghĩa là gì.

Thông thường, dựa trên các thông điệp về sự đối xứng hình học hoặc vật lý, một số nút của mạch bị ngắt kết nối hoặc ngược lại, được kết nối, một số tụ điện bị loại bỏ, v.v., thêm rằng mạch mới gồm các tụ điện nối tiếp và song song tương đương với mạch ban đầu, nghĩa là, để khi đặt cùng một điện áp cho mạch ban đầu và mạch chuyển đổi, các mạch được tích điện như nhau - trong trường hợp này, điện dung của các mạch là như nhau và điện dung của mạch chuyển đổi được tính toán.

Việc áp dụng phương pháp được mô tả ở trên dựa trên định lý duy nhất, bản chất của nó trong trường hợp của chúng tôi trùng khớp với định lý sau. Nếu một điện áp nhất định được đặt vào mạch, thì điện áp (và theo đó là điện tích) trên tất cả các tụ điện sẽ nhận các giá trị duy nhất có thể. Chúng ta hãy đưa ra một chứng minh không chặt chẽ lắm về định lý này bằng phản chứng.

Chúng ta hãy giả sử rằng có hai khả năng để điện tích “tiêu tán” trên các tụ điện của mạch điện khi đặt điện áp vào nó. $U_0$. Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các tụ điện, ví dụ, có điện dung $C_0$, mức phí trong trường hợp thứ nhất và thứ hai sẽ khác nhau. Hãy đặt các nguồn điện áp nối vào mạch vào mạch $U_0$ Và - $U_0$ (nghĩa là tổng điện áp đặt vào mạch bằng 0). Do theo nguyên lý nên mạch sẽ “điều chỉnh” độc lập theo điện áp $U_0$ Và - $U_0$; trong trường hợp đầu tiên trên một tụ điện $C_0$ hóa ra là một khoản phí $q_0$, và trong đáp số cho điện áp - $U_0$ tụ điện sẽ sạc $q'_0$ có cực tính ngược lại và $|q_0 + q'_0| \neq 0$. Do đó, điện áp bằng 0 được đặt vào mạch, công của các nguồn bên ngoài bằng 0 và trên tụ điện $C_0$ hóa ra là nguồn dự trữ năng lượng điện $\frac{(q_0 + q'_0)^2}{2} \neq 0$. Sự mâu thuẫn.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang sơ đồ của chúng tôi. Tỷ lệ giữa các giá trị điện dung của các phần nằm ngang của mạch gợi ý chiến lược sau - đơn giản hóa mạch bằng cách loại bỏ tụ điện giữa các tham số của các điểm: $c$ và $d$, $e$ và $f$, $f$ và $g$.

Thật vậy, nếu bạn loại bỏ các tụ điện và đặt một số điện áp vào mạch đơn giản, thì điện thế tương ứng với các điểm sẽ giống nhau: $\varphi_c=\varphi_d$, $\varphi_e=\varphi_f=\varphi_g$ (bạn hãy tự chỉ ra điều này!). Hãy đặt các tụ điện đã tháo ra trở lại vị trí cũ. Do định lý duy nhất nên không có sự phân phối lại điện tích cho các tụ điện khác trong mạch. Do đó, điện dung của mạch ban đầu và mạch chuyển đổi sẽ giống nhau.

Công suất của mạch biến đổi bằng

$$C_{AB}=1:\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{2} \text{ мкФ.}$$

A. I. Buzdin, S. S. Krotov

F952. Người quan sát kiểm tra một vật thể ở xa và một bức ảnh của vật thể này được chụp từ điểm đặt người quan sát. Đối với anh ta, cái gì có vẻ lớn hơn - vật thể hay ảnh chụp của nó? Bao nhiêu lần? Bức ảnh được chụp bởi Annaparat, vật kính có tiêu cự $F=3$ cm; Khi in ảnh, một tấm màn che $k=2,5$ đã được tạo ra.

Kích thước hình ảnh của một vật thể trên võng mạc tỷ lệ thuận với $tg\varphi$, trong đó $\varphi$ là góc nhìn của một vật thể nhất định. Do đó, độ phóng đại biểu kiến ​​khi xem một vật thể trong ảnh bằng

$$\Gamma=\frac{tg\varphi}{tg\varphi},$$

trong đó $\varphi_1$ là góc nhìn thấy được vật thể trong ảnh, $\varphi$ là góc nhìn thấy khi nhìn trực tiếp vật thể đó. Nếu $l$ là kích thước của vật thể trong ảnh và $D$ là khoảng cách từ đó hình ảnh được xem, thì $tg\varphi_1=l/D$. Hãy tìm $l$.

Khi chụp ảnh các vật ở xa, sẽ thu được ảnh sắc nét trong mặt phẳng tiêu điểm. Do đó, khoảng cách từ thấu kính đến phim trong trường hợp này phải bằng tiêu cự $F$. Kích thước hình ảnh trên phim là $l_1=F tg\varphi$. Sau khi in, kích thước ảnh trong ảnh trở thành $l=kl_1=kF tg\varphi$.

Như vậy,

$$\Gamma=\frac{kF}{D}.$$

Với tầm nhìn bình thường, $D$ không dưới 25 cm. Thay thế $D=25$ cm cho ước tính, chúng ta nhận được $\Gamma=0,3$ - khi nhìn vào ảnh chụp một vật thể, mỗi vật thể nhỏ hơn khoảng 3 lần so với khi quan sát trực tiếp.

V. S. Rybin