Các quá trình nhiệt trong chất khí

49

Các quá trình nhiệt trong chất khí

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. BUZDIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. S. KROTV

Khi chuyển từ phần “Cơ học” sang phần “Vật lý phân tử và hiện tượng nhiệt”, học sinh không phải lúc nào cũng hiểu rõ nguyên lý biến đổi trong cách tiếp cận mô tả các hệ đang nghiên cứu.

Trong tất cả các vật thể tồn tại trong tự nhiên, sự chuyển động của các hạt nhỏ nhất (nguyên tử và phân tử) tạo nên các vật thể này đều diễn ra. Người ta gọi nó là chuyển động nhiệt và đặc điểm đặc trưng của nó là mất trật tự. Trong cơ học, chúng ta loại bỏ chuyển động bên trong này của các hạt và nghiên cứu chuyển động của toàn bộ cơ thể. Thông thường người ta có thể hoàn toàn bỏ qua các kích thước của một vật thể khi mô tả chuyển động của nó và coi vật thể của vật liệu là một điểm. Điểm vật chất là đối tượng chính của cơ học.

Ngược lại, trong vật lý các hiện tượng nhiệt, cần phải tính đến chuyển động hỗn loạn của một số lượng lớn các hạt tạo nên chất khí, chất lỏng và chất rắn (theo cấp số Avogadro $N_A \sim 10^{23}$ 1/mol). Trong trường hợp này, mối quan tâm chính là tìm các đại lượng trung bình mô tả toàn bộ trạng thái của hệ thống - nhiệt độ, áp suất, mật độ, v.v.

Sự chú ý lớn nhất ở trường đối với khí lý tưởng, thuộc về Mendeleev - Clapeyron

$$pV = \frac{m}{M}RT,$$

trong đó $p$ là áp suất, $V$ là thể tích, $m$ là khối lượng, $M$ là khối lượng mol của khí, $R$ là hằng số khí phổ quát, $T$ là nhiệt độ khí.

Bất kỳ quá trình nào trong đó có ít nhất một tham số đặc trưng cho trạng thái thay đổi của khí đều có thể được coi là quá trình tăng nhiệt. Vì vậy, ví dụ, trong quá trình sản xuất một lượng khí nhất định, nhiệt độ được duy trì không đổi, áp suất và thể tích thay đổi (nhưng $pV = \text{const}$, tương ứng với định luật Boyle-Mariotte).

Hãy nhớ rằng quy trình có các thông số khí là dành cho các quá trình đẳng tích và đẳng áp.

Bài toán 1. Quá trình nhiệt xảy ra với chất khí ở trạng thái kín trên sơ đồ $V$ - $T$ có ​​dạng hình tròn (hình 1). Nhiệt độ, thể tích và áp suất khí tối đa và tối thiểu ở những điểm nào?

Các điểm mà thể tích và nhiệt độ tối đa và tối thiểu được chỉ định dễ dàng. Đây là các điểm tiếp xúc của một vòng tròn nhất định với các đường thẳng ngang và dọc tương ứng - đường đẳng nhiệt và đường đẳng nhiệt. Đối với đáp số, khi được hỏi về áp suất, chúng ta sẽ xây dựng các đường đẳng áp trên cùng một sơ đồ.

Trong quá trình đẳng áp, thể tích của một chất khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ của nó:

$$V = \frac{mR}{Mp}T,$$

do đó, các đường đẳng áp là những đường thẳng đi qua gốc tọa độ, độ dốc của chúng càng nhỏ thì áp suất càng lớn. Bây giờ rõ ràng là chúng ta phải vẽ các tiếp tuyến của đường tròn từ gốc tọa độ. Trong trường hợp này, tiếp tuyến dưới sẽ tương ứng với áp suất tối đa và tiếp tuyến trên sẽ tương ứng với áp suất tối thiểu.

Bài toán 2. Biểu đồ $p$ - $V$ thể hiện quá trình giãn nở của chất khí, trong đó chất khí chuyển từ trạng thái 1 với áp suất $p_0$ và thể tích $V_0$ sang trạng thái 2 với áp suất $p_0/2$ và thể tích

50

2V₀ (viết 2, a). Vẽ quá trình tương ứng trên biểu đồ p-T và V-T.

Vì quá trình được mô tả trên sơ đồ p-V dưới dạng một đoạn thẳng nên áp suất và thể tích có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ p=αV+β, trong đó α và β là các hằng số. Để xác định chúng, hãy tính đến mối quan hệ giữa các tham số p và V ở trạng thái 1 và 2 tương ứng:

$$p_0 = \alpha V_0 + \beta, \frac{p_0}{2} = 2\alpha V_0 + \beta.$$

Từ đây

$$\alpha = -\frac{p_0}{2V_0}, \beta = \frac{3}{2}p_0.$$

Như vậy phương trình của quá trình nhiệt theo các biến p, V có dạng

$$p = -p_0 \frac{V}{2V_0} + \frac{3}{2}p_0.$$

Xét phương trình Mendeleev-Clapeyron viết dưới dạng pV=AT (A=mR/M=const), ta tìm được phương trình quá trình với các biến p, T:

$$\left( \frac{3}{2}p_0 - p \right) p = \frac{Ap_0}{2V_0} T$$

và các biến V, T:

$$V \left( 3 - \frac{V}{V_0} \right) = \frac{2A}{p_0} T.$$

Vì tích pV ở trạng thái 1 và 2 là như nhau nên nhiệt độ cuối cùng và nhiệt độ ban đầu trùng nhau và bằng T₀=p₀V₀/A. Trong các biến p,

$$T \text{ и } V, T \text{ графики процесс будут участипарабол, изображенных на рисунках 2, 6 и 8:}$$

Bài 3. Nhiệt độ của khí thay đổi như thế nào trong quá trình nhiệt 1-2-3-4-1 (Hình 3)?

Trong phần 1-2, áp suất tăng với một thể tích không đổi, nghĩa là (theo định luật Charles), nhiệt độ cũng tăng. Trong phần 2-3, nhiệt độ cũng tăng vì thể tích khí tăng ở áp suất không đổi (định luật Geylossk). Lý luận tương tự cho phép chúng ta kết luận rằng ở các khu vực 3-4 và 4-1 nhiệt độ giảm xuống. Đáp số cũng có thể dễ dàng thu được bằng cách kiểm tra các hình ảnh tương ứng trên biểu đồ p-V.

Với lời giải cho trước bài toán, điều đó ngụ ý rằng khối lượng của chất khí luôn không đổi. Hãy tự trả lời câu hỏi này: khối lượng của khí phải thay đổi như thế nào để ở nhiệt độ không đổi, quá trình nhiệt trên biểu đồ p-V được mô tả giống như trong hình 3?

Bài 4. Trên hình 4 có hai ảnh chất khí có cùng khối lượng. Các khí này khác nhau như thế nào nếu nhiệt độ của chúng giống nhau?

Theo định luật Mendeleev-Clapeyron,

$$p = \frac{mR}{MV} T,$$

Rõ ràng, lý do duy nhất khiến khí 1 luôn có áp suất cao (ở cùng thể tích) là vì nó có khối lượng mol ít hơn so với khí 2.

Câu hỏi: Có thể có hình ảnh nào của các chất khí chồng lên nhau không?

Bài 5. Một mol khí lý tưởng tham gia vào quá trình nhiệt 1-2-3-4-1, như hình hình 5, a. Phần mở rộng của các đoạn đường 1-2 và 3-4 đi qua gốc tọa độ và các đường cong 1-4 và 2-3 là hình ảnh

51

Mi. Hãy hình dung quá trình này theo tọa độ $V-T$ và tìm âm lượng $V_3$ nếu biết âm lượng $V_1$ và $V_2=V_4$.

Các tham số khoa học 1-2 $p$ và $V$ có liên quan đến các mối quan hệ $p=\alpha_1V$, trong phần 3-4 $p=\alpha_2V$ và $\alpha_1>\alpha_2$. Sau đó, trong các biến $V$, $T$, quy trình có thể được mô tả bằng các đẳng thức sau: trong phần 1-2 $\alpha_1V^2=RT$, trong phần 2-3 $T=T_2=$ const, trong phần 3-4 $\alpha_2V^2=RT$ và trong phần 4-1 $T=T_1=$ const. Biểu đồ tương ứng được hiển thị tại hình 5, 6.

Vì $T_1=T_4$, thì $\alpha_1V^2_1=RT_1$ và $\alpha_2V^2_2=RT_1$, từ đó đến
$$\alpha_1V^2_1=\alpha_2V^2_2.$$

Bên cạnh đó,
$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_3V_3}{T_2}.$$

Sau đó
$$\frac{V_1^2}{T_1}=\frac{V_2^2}{T_2}, \quad \frac{\alpha_2V^2_3}{T_2}=\frac{\alpha_1V^2_1}{T_1}$$
Và
$$V_3=\frac{V_2^2}{V_1}.$$

Đặc tính quan trọng nhất của chất khí là nội năng $U$. Theo quan điểm của lý thuyết động học phân tử, nội năng của khí lý tưởng là động năng trung bình của chuyển động xaotic của các phân tử của nó. Điều quan trọng cần lưu ý là nội năng có liên quan duy nhất đến trạng thái của khí.

Sự thay đổi năng lượng bên trong trong quá trình chuyển khí từ trạng thái này sang trạng thái khác không phụ thuộc vào phương pháp chuyển đổi (vào loại quá trình nhiệt), mà chỉ được xác định bởi giá trị của các tham số ở trạng thái cuối cùng và ban đầu của hệ thống. Vì vậy, đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử
$$U=\frac{3}{2}\frac{m}{M}RT, \quad \Delta U=\frac{3}{2}\frac{m}{M}R\Delta T.$$

Đối với bất kỳ quá trình nhiệt nào, độ biến thiên nội năng $\Delta U$ bằng tổng lượng nhiệt $Q$ cung cấp cho hệ và công thực hiện trên chất khí $A$:
$$\Delta U=Q+A.$$
Đây là định luật đầu tiên của nhiệt động lực học và về cơ bản là định luật bảo toàn năng lượng trong các quá trình nhiệt. Nó có thể được xây dựng hơi khác một chút:
$$Q=\Delta U+A',$$
trong đó $A'$ là công được thực hiện đối với chính hệ thống.

Nhiệt độ của chất khí thay đổi như thế nào khi nhiệt lượng được cung cấp cho nó quyết định nhiệt dung riêng của chất khí. Công suất nhiệt $C$ thay đổi tương ứng với lượng nhiệt $Q$ cung cấp cho khí, với sự thay đổi của nhiệt độ khí $\Delta T:C=Q/\Delta T$. Khi thực hiện các phép tính cụ thể, sẽ thuận tiện khi sử dụng cả công suất nhiệt tổng và công suất nhiệt từ xa (trên một đơn vị khối lượng) hoặc công suất nhiệt mol (trên mỗi mol). Chúng ta hãy lưu ý rằng nhiệt dung không chỉ phụ thuộc vào tính chất của chất khí mà còn phụ thuộc vào các điều kiện mà nhiệt được truyền cho nó, tức là vào loại quá trình nhiệt thực hiện trên chất khí đó.*) Vì vậy, ví dụ, nhiệt dung của chất khí trong quá trình đẳng áp $C_p$ luôn lớn hơn nhiệt dung trong quá trình đẳng tích $C_V$.

Hãy suy nghĩ: Nhiệt lượng của khí trong quá trình advabatic là bao nhiêu? Còn đẳng nhiệt thì sao? Có thể thực hiện được một quá trình trong đó nhiệt dung riêng âm?

Bài 6. Một bình hình trụ đứng yên nằm ngang, được đóng kín bởi một piston có khối lượng $M$, chứa một mol khí lý tưởng. Khí được gọi là; trong khi piston

*) Bạn có thể đọc thêm chi tiết về nhiệt dung của khí trong bài viết của S. M. Kozel và A. A. Sheronov “Nhiệt dung của khí lý tưởng” («Kvant», 1984, số 4). (Ghi chú của biên tập viên)

52

chuyển động với vận tốc không đổi thì đạt vận tốc v. Tìm nhiệt lượng truyền cho chất khí. Nội năng của một mol khí U=CT. Công bố về nhiệt dung của bình và piston, cũng như áp suất bên ngoài.

Lực duy nhất truyền gia tốc cho piston là lực áp suất khí. Vì piston chuyển động với tốc độ không đổi nên áp suất khí được duy trì không đổi. Đặt áp suất này bằng p₀ thì công của chất khí

$$A' = p_0 \Delta V = \frac{M v^2}{2}.$$

Từ phương trình trạng thái của một mol khí

$$p_0 \Delta V = R \Delta T,$$

và từ định luật nhiệt động thứ nhất

$$Q = \Delta U + A' = C \Delta T + \frac{M v^2}{2}.$$

Chúng ta lấy nó từ đâu?

$$Q = \frac{M v^2}{2} \left( \frac{C}{R} + 1 \right).$$

Bài toán 7. Trong bình phía trên có thể tích V, đặt dưới một pít-tông nặng có một chất khí ở nhiệt độ T. Khối lượng của pít-tông là M, diện tích của nó là S. Để tăng nhiệt độ của chất khí lên ΔT độ, người ta đã cho một lượng nhiệt Q. Tìm độ biến thiên nội năng của chất khí. Áp suất khí quyển p₀, gia tốc áp suất tự do g. Bỏ qua trenze.

Vì đã biết lượng nhiệt truyền cho chất khí nên để sử dụng định luật nhiệt động thứ nhất và tìm ra sự biến thiên nội năng của chất khí, chúng ta phải tìm công A thực hiện lên chất khí. Khí được ép bởi một piston có lực F, về số lượng bằng tổng lực hấp dẫn của piston Mg và lực áp suất nguyên tử lên piston p₀S. Khi chất khí nóng lên, nó nở ra, pít-tông chuyển động đi lên, nghĩa là chống lại tác dụng của ngoại lực nên công A âm và bằng

$$A = - F x = - (Mg + p_0 S) x,$$

trong đó x là độ dịch chuyển của piston.

Trong quá trình nung nóng, lực F không thay đổi nên áp suất của khí không đổi, và khi đó, theo định luật Gay-Lussac,

$$\frac{V'}{V} = \frac{T'}{T},$$

trong đó V’ = V + ΔV là thể tích khí sau khi đun nóng và T’ = T + ΔT là nhiệt độ của nó. Từ đây ta tìm được sự thay đổi thể tích ΔV và độ dịch chuyển của piston x:

$$\Delta V = V \frac{\Delta T}{T}, x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{V \Delta T}{TS}.$$

Bây giờ chúng ta có thể xác định công thực hiện được trên chất khí:

$$A = - F x = - (Mg + p_0 S) \frac{V \Delta T}{TS}$$

và độ biến thiên nội năng của nó:

$$\Delta U = Q + A = Q - (Mg + p_0 S) \frac{V \Delta T}{TS}.$$

Bài toán 8*. Một quá trình được thực hiện trên một khí hai nguyên tử lý tưởng trong đó áp suất và thể tích của khí liên hệ với nhau theo tỷ số p=αV. Nhiệt độ mol của khí trong quá trình giãn nở trong quá trình như vậy là bao nhiêu? Nhiệt độ mol ở thể tích không đổi C_V = 5/2 R.

Xét một quá trình có một mol khí lý tưởng. Nếu thể tích của nó không thay đổi thì không có công nào được thực hiện và Q = ΔU = C_V ΔT, tức là giá trị nhiệt độ ở một thể tích không đổi ngay lập tức cho phép chúng ta tìm ra sự thay đổi nội năng của khí:

$$\Delta U = \frac{5}{2} R \Delta T.$$

Bây giờ chúng ta xác định công việc đã thực hiện A'.

Giả sử, do sự giãn nở của một chất khí từ thể tích V đến V + ΔV, nhiệt độ của nó thay đổi từ T thành T + ΔT (chúng ta coi ΔV và ΔT là nhỏ). Áp suất khí tăng từ p lên p + Δp, trong đó Δp = αΔV. Vì ΔV nhỏ nên công của khí có thể coi là bằng

$$A' = p \Delta V.$$

Sau đó, chúng ta viết phương trình Mendeleev-Clapeyron cho một mol khí ở nhiệt độ T và T + ΔT:

$$p V = RT, (p + \Delta p) (V + \Delta V) = R (T + \Delta T).$$

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và chạy tích của các đại lượng nhỏ ΔpΔV so với Δp và ΔV, chúng ta thu được

$$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T.$$

Vì V = p/α và Δp = αΔV nên tích VΔp = (p/α) (αΔV) = pΔV và pΔV + VΔp = 2pΔV = RΔT.

Do đó công mà khí thực hiện

$$A' = p \Delta V = \frac{R \Delta T}{2}$$

và lượng nhiệt cung cấp cho khí.

Do đó, nhiệt độ mol của khí trong quá trình này sẽ bằng

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = 3R.$$