Bài toán và câu đố

33

chúng tôi là người thứ hai Vòng tròn thứ ba sẽ chạm vào hai dữ liệu và vòng tròn thứ hai, v.v. Có thể ở một số nhà gỗ, vòng tròn tiếp theo chạm vào vòng tròn đầu tiên, như trên hình 1. Tuyên bố của Steiner là nếu đối với một số vòng tròn ban đầu (đầu tiên) thu được một số nguyên như vậy thì một số nguyên tương tự sẽ được hình thành cho bất kỳ lựa chọn nào khác của vòng tròn đầu tiên. Đồng thời, số lượng hình tròn trong một số nguyên sẽ không phụ thuộc vào hình tròn nào chúng ta lấy làm hình tròn đầu tiên.

Định lý thứ hai là của nhà toán học và cơ khí người Pháp J. Victor Poncellet (1788–1867) và phát biểu như sau:

Giả sử lần nữa có hai vòng tròn rời nhau

Hình 1.

ness. Chúng ta sẽ giả sử rằng một trong số chúng ở bên trong cái kia. Chúng ta hãy chọn một điểm nhất định trên đường tròn bên ngoài và vẽ một tiếp tuyến từ điểm đó với đường tròn bên trong. Từ giao điểm mới của tiếp tuyến này với đường tròn bên ngoài, chúng ta vẽ một tiếp tuyến khác với đường tròn bên trong, v.v. (hình 2). Và kết luận: nếu tại một số nhà gỗ, chúng ta đến điểm xuất phát, thì đây

Hình 2.

quá trình sẽ “đóng” khi bất kỳ điểm nào khác trên vòng tròn bên ngoài được chọn làm điểm bắt đầu.

Định lý thứ ba được chứng minh bởi các nhà toán học hiện đại người Mỹ W. L. Black, G. K. Howland và W. Howland và được gọi là “định lý zigzar”:

Chúng ta hãy lấy một ít lần nữa

Hình 3.

Tôi sẽ tìm một điểm trên vòng tròn bên ngoài và đặt đầu la bàn vào điểm đã chọn, chúng ta sẽ tạo một vết khía trên vòng tròn bên trong. Hãy đặt đầu la bàn tại điểm kết quả trên vòng tròn bên trong và sử dụng cùng một điểm của la bàn, tạo một vết khía trên vòng tròn bên ngoài. Từ điểm kết quả, chúng ta lại “uốn cong” có cùng bán kính vào đường tròn bên trong, rồi lại uốn cong vào đường tròn bên ngoài, v.v. Bằng cách nối các điểm thu được liên tiếp, chúng ta tạo thành một đường đứt nét ngoằn ngoèo (hình 3). Và kết luận là nếu đường đứt nét này đóng ở một căn nhà gỗ nào đó thì nó sẽ đóng ở bất kỳ điểm nào khác (chúng ta để nguyên góc la bàn). Số đoạn của đường gãy cũng sẽ được giữ nguyên.

A.P.

Nhiệm vụ
và CÂU ĐỐ

1. Lấy một mảnh giấy hình chữ nhật có thể che được bằng một hình tròn có bán kính 1. Chuyển tờ giấy (hình 1). Có thể

Hình 1.

bây giờ chúng ta có nên che nó bằng cùng một vòng tròn không?

V. V. Proizvolov

2. Vẽ một tiếp tuyến ngoài AB và hai tiếp tuyến trong của hai đường tròn, giao nhau của chúng là AB tại các điểm C và D (hình 2). Chứng minh rằng AC=DB.

G. A. Galperin

3. Giải bài toán số:

bán kính
vòng cung
số liệu

34

F989. Một mô hình xe bánh xích được đặt trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α=30° rồi thả ra. Tìm gia tốc của mô hình. Chiều dài mô hình l=50 cm, chiều cao h=2 cm. Các đường ray được làm bằng cao su, khối lượng của chúng bằng 80% tổng khối lượng của mô hình. Ma sát trong cơ cấu của mô hình là không đáng kể.

A. I. Buzdin

F990. Động cơ nhiệt là một xi lanh chứa đầy khí có một pít-tông, chuyển động của nó bị giới hạn bởi các điểm dừng AA và BB (hình 1). Khí được đốt nóng từ từ cho đến khi piston chạm vào điểm dừng BB, sau đó đế lò xo được trộn từ vị trí BB sang vị trí GG. Sau đó, bình được làm nguội từ từ cho đến khi pít-tông chạm vào điểm dừng AA. Sau đó đế lò xo được trộn lại thành BB, làm nóng xi lanh trở lại v.v. Tìm hiệu suất của động cơ này. Hình trụ chứa đầy glia; diện tích piston S=10 cm2; độ cứng của lò xo là k=10 N/m, chiều dài của lò xo ở trạng thái không dãn là l₀=60 cm. Áp suất bên ngoài được coi là bằng không.

A. R. Zilberman

F991. Trong mạch hiển thị ở hình 2, U₀=2,4 V, R=600 Ohm, r=200 Ohm, điốt D₁ và D₂ có cùng đặc tính dòng điện-điện áp (hình 3). Tìm dòng điện qua diode D₂.

R. Z. Alexandrov

F992. Khi quay một cadar trong bộ phim “Gulliver in the Land of the Lilliputians”, diễn viên đóng vai Gulliver được đặt cách máy quay phim bằng ống kính tiêu cự ngắn 4 m và diễn viên đóng vai Lilliputian được đặt ở khoảng cách 40 m. Ống kính máy ảnh nên hướng về phía nào để hình ảnh của các nhân vật trên phim được rõ nét như nhau?

Tại sao ống kính tiêu cự ngắn được sử dụng cho thể loại nhiếp ảnh này? Hãy ước tính tiêu cự của một ống kính như vậy nếu bạn biết rằng việc chụp ảnh ba chiều (không kết hợp) người từ khoảng cách 5 m được thực hiện với ống kính có tiêu cự 50 cm và độ sâu trường ảnh 0,5 m.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M976—M980; P988—P992

M976. Two rays, forming an angle of 45°, are drawn from the vertex A of the square ABCD. One intersects side BC at the point E and the diagonal BD at the point P, the other intersects side CD at the point F and the diagonal BD at the point O. Prove that the area of triangle AEF is twice that of APO.

E. G. Gotman