Задачи и головоломки

33

вем второй. Третья окружность будет касаться двух данных и второй окружности и т. д. Может служить, что на некоторых шале очередная окружность косется первой окружности, как на рисунке 1. Утверждение Штейнера состоит в том, что если для некоторых начальной (первой) окружности получится такая целочка, то подобная целочка образуется при любом другом выборе первой окружности. При этом и количество окружностей в целочке не будет зависеть от того, какую окружность мы взяли в качестве первой.

Вторая теорема принадлежит французскому математике и механику Ж. Виктору Понселле (1788—1867) и утверждает следующее:

Пусть снова имеется две непересекающей окружности

Рис. 1.

ности. Будем считать, что одна из них находится внутри другой. Выберем на внешней окружности некоторую точку и проведем из нее касательную к внутренней окружности. Из новой точки пересечения этой касательной с внешней окружностью проведем еще одну касательную к внутренней окружности и т. д. (рис. 2). И вывод: если на некоторых шале мы попадем в начальную точку, то такой

Рис. 2.

процесс «замкнется» при выборе в качестве начальной точки любой другой точки внешней окружности.

Третья теорема была доказана современно американскими математики В. Л. Блеком, Г. К. Хаулендом и В. Хаулендом и носит название «теоремы о зигзарах»:

Вновь возьмем некоторую

Рис. 3.

рую точку на внешней окружности и, поставив пожек циркуля в выбранную точку, сделаем на внутренней окружности засечку. Поставим пожек циркуля в получившую точку внутренней окружности и тем же растором циркуля сделаем засечку на внешней окружности. Из полученной точки снова «загаем» тем же радиусом на внутреннюю окружность, затем снова на внешнюю и т. д. Соединив последовательно получаемые точки, мы образуем зигзагообразную ломаную (рис. 3). И вывод оказывается, что если эта ломанная на некотором шале замкнется, то она замкнется при любом другой точке (растор циркуля оставляем прежим). Сохранится и число отрезков ломаной.

А. П.

Задания
и ГОЛОВОЛОМКИ

1. Возьмем прямогольный листок бумаги, который можно накрыть кругом радиуса 1. Перенем листок (рис. 1). Можно

Рис. 1.

ли теперь накрыть его тем же кругом?

В. В. Произвольов

2. К двум окружностям проведена внешняя касательная AB и две внутренние касательные, пересечения которых AB в точках C и D (рис. 2). Доказите, что AC=DB.

Г. А. Гальперин

3. Решите числовой ребус:

радиус
дуга
фигры

34

Ф989. Модель тележки на гусеничном ходу поставили на наклонную плоскость с углом наклона α=30° и отпустили. Найти ускорение модели. Длина модели l=50 см, высота h=2 см. Гусеницы сделаны из резины, их масса составляет 80 % всей массы модели. Трене в механизме модели пренебрежимо мало.

А. И. Буздин

Ф990. Тепловой двигатель представляет собой полененный газом цилиндр с поршнем, движение которого ограничено упорами AA и BB (рис. 1). Газ медленно нагревалот, пока поршень не коснется упоров BB, после чего основаниеружины смешают из положения BB в положение ГГ. Затем сосуд медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не коснется упоров AA. Тогда основаниеружины смешают назад до BB, цилиндр снова нагревалот, и т. д. Найти КПД этого двигателя. Цилиндр заполнен глием; площадь поршня S=10 см²; жесткостьружины k=10 Н/м, длина ее в нерастинутом состоянии l₀=60 см. Внешнее давление приять равным нулю.

А. Р. Зильберман

Ф991. В схеме, приведенной на рисунке 2, U₀=2,4 В, R=600 Ом, r=200 Ом, диоды Д₁ и Д₂ имеют одинаковые волтамперные характеристики (рис. 3). Найти ток через диод Д₂.

Р. З. Александров

Ф992. При съемке кадара из фильма «Гулливер в стране лилипутов» актера, играющего роль Гулливера, помещили на расстоянии 4 м от кинокамеры с короткофокусным объективом, а актера, исполняющего роль лилипута, — на расстоянии 40 м. На какое расстояние нужно навести объектив камеры, чтобы изобразения обихгеров на киноленте были одинаково четкими?

Почему при такой съемке используется короткофокусный объектив? Оцените фокусное расстояние такого объектава, если известно, что объная (некомбинированная) съемка людей с расстояния 5 м проводится объективом с фокусным расстоянием 50 см и глубина резкости при этом 0,5 м.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M976—M980; P988—P992

M976. Two rays, forming an angle of 45°, are drawn from the vertex A of the square ABCD. One intersects side BC at the point E and the diagonal BD at the point P, the other intersects side CD at the point F and the diagonal BD at the point O. Prove that the area of triangle AEF is twice that of APO.

E. G. Gotman