Избранные школьные задачи

48

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Найдите наименьшее значение выражения
   $$2x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x + 2y.$$
2. Найдите сумму
   $$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 7 \cdot 9 + \dots + 999 \cdot 1001.$$
3. Известно, что $n-1$ делится на 15, а 1001 делится на $n+1$. Найдите $n$.
4. В прямогольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CD$. Найдите: a) радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если радиус окружностей, вписанных в треугольника $ACD$ и $BCD$, равны $r_1$ и $r_2$; b) перimetр треугольника $ABC$, если перimetры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны $P_1$ и $P_2$.
5. На окружности, описанной около правлого треугольника $ABC$, взята точка. Найдите сумму квадратов расстояний от этой точки до вершин треугольника, если сторона треугольника равна $a$.

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + \dots + 9x_9 + 10x_{10} = 55, \\ x_2 + 2x_3 + \dots + 9x_{10} + 10x_{11} = 55, \\ x_{10} + 2x_1 + \dots + 9x_8 + 10x_9 = 55. \end{cases}$$
7. Доказите неравенство

Учитены не только солнечные возможности, но и влияние несферических Земли, притяжение планет, небольшая релятивистская поправка. И все же теория Брауна обнаруживала страницы неувязки, давала хотя и очень малые, но заметные расхождения с наблюдамими. Уже в 40-х годах нашего столета было установлено, что теория здесь опять не винована, а имеет место неравномерность вращения Земли, а значит, и неравномерность времени, которое определяется по вращению нашей планеты. С переходом к эфемеридному времени, текущему равномерно (ono определяется с помощью atomных часов), все неувязки отпалили.

Развитие космических пqlетов, в том числе к Луне, установка на поверхности Луны угловых отражателей для лазерной локации существенного повышения к точности лунной теории. Тепер расстояние до Луны мы можем определить с точностью до 25 см. Совершенствование ЭВМ открыло новые возможности.

Группа французских учены сумела с помощью ЭВМ проверить теории Делоне и Хилла — Брауна и получила все нужные величины с потрясающей точностью: до $1''$ по углам и с «лазерной» точностью по расстоянию. Для этого прилось брать в разложения уже много тысяч членов. Впрочем, для ЭВМ это особого труда не составило. Созданная таким образом теория была затем с успехом применена и к изучению движения искусственных спутников Земли.

Так завершилась многоvekовая история построения теории движения Луны. Тепер мы знаем, что скрывается столь, казалось бы, простой фразой: «Луна движется вокруг Земли по эллипсу…»