Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

57

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Физика
Задачи устного экзамена

Физический факультет

1. Из водоема с глубины $h=11$ м подъемным краном равномерно поднимают бетонный куб массой $m=2200$ кг. Определите механическую работу по подъему этого куба до касания его верхней грани поверхности воды. Плотность бетона $q=2200$ кг/$m^3$.
2. К закрепленному вертикально в шатите диамометру подвески неокторный груз. При этом груз пришел в колебание с частотой $v=5$ Гц. На сколько окажется растянутый пружина диамометра после полного прекрашения колебаний груза? Массу пружины не учитывать.
3. Точка расположена в фокальной плоскости рассеивающей линии, фокусное расстояние которого $F=10$ см, на расстоянии $a=2$ см от главной оптической оси линии. Найдите положение изображения этой точки в лице. Результат получите аналитической и графической.

Matематический факультет

1. Тело движется из состояния покоя равновесно. Определите, во сколько раз путь, проеденный этим телом за вос卑ую секунду, будет больше пути, проеденного за третью секунду.
2. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает через $t_1=15$ мин, при включении другой — через $t_2=30$ мин. Через сколько минут закипит вода в чайнике при одновременном паралелном включении обихих обмоток?
   Индuctrialно-педагогический факультет
3. Колбу наполнили наполовину горячей воды, закрыли и стали выкачивать из нее воздуха. Опишите, какие процессы при этом будут наблюдаться.
4. При ремонте электропитки ее спираль укоротили на 0,1 ее первоначальной длины. Во сколько раз при этом изменится мощность питания?
   Естестенный факультет
5. Снаряд разорвался при padении на поверхности земли через $t_1=10$ с после выстрела. Второй снаряд разорвался через $t_2=5$ с после выстрела. На какой высоте разорвался второй снаряд, если условия стреллы не менялись?
6. Какую работу совершит воздух, масса которого $m=200$ г, при изобарном нагревании на $\Lambda T=20$ К? Какое количество теплоты при этом будет передано воздуху? Удельная тепломкость воздуха при постоянном давлении $c=14$ кДж/(кг·К).
7. Какую энергию надо израхходовать, чтобы при электролизе расторга медного купороса выделить $m=1$ г меди? Электролиз ведется при направлении $U=4$ В. Электрохимический эквивалент меди $k=0,33$ мг/Kл. Потери на нагревание не учитывать.

Публикация подготовил
Л. А. Вирюков

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

Matematika
Письменный экзамен
Вариант 1

1. Дана функция $f(x)=3x(x-1)^2$.
   1.1. Найдите экстремумы функции $f$ при $x<1$.
   1.2. Решите неравенство $f(x)<6(x-1)$.
   1.3. Сколько различных корней имеет уравнение $f(x)=kx$ в зависимости от $k$?
   1.4. Есть ли на графике функции $f(x)$ пары различных точек, симметричных относительной прямой $3x=1$?

2. Четыре поселка $A, B, C$ и $D$ находятся в вершинах прямогольника $8\times 10$ км (см. рисунок). Предполагается соединить их сетью дорог по схеме, указанной на рисунке ($|AL|=|BL|=|CK|=|DK|$).

2.1. Докажите, что общая длина всех пятей участков дороги равна $L(x)=x+2\sqrt{164-20x}+x^2$.
2.2. Найдите $x$, если $L(x)=24$.
2.3. При каком значении $x$ общая длина дороги минимальная?
3. Данные функции $f(x)=x^2$, $g(x)=\ln x$.
3.1. Найдите промежутки monotonности функций $f-g$.
3.2. Решите уравнение $f(g(x))=g(f(x))$.
3.3. При каких значениях $k$ уравнение $f(x)=kg(x)$ имеет единственное решение?

Вариант 2

1. Дана функция $f(x)=\log_3(9-3^x)-1$.
   1.1. Найдите область определения функций $f$.
   1.2. Решите уравнение $f(x)=0$.
   1.3. Решите неравенство $f(x)<2x$.
   1.4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)=a-x$ имеет хотя бы один корень?
2. В равноведренный треугольник ABC с углом $a$ при основании AC вписана окружность радиуса 1 с центром в точке $O$.
   2.1. Найдите площадь $S(a)$ треугольника ABC.
   2.2. Пусть $t=\text{tg}\frac{a}{2}$. Докажите, что $S(a)=\frac{2}{t-t^3}$.
   2.3. Найдите наименьшее значение величины $S(a)$.
   2.4. Какие значения может применить теруговник ABC?
3. Цилиндр обмена 1 имеет радиус основания $R$. Второй цилиндр имеет на 0,1 больший радиус, и на 0,2 большую высоту, чем первый.
   3.1. Найдите $V(R)$ — объем второго цилиндра.
   3.2. При каком $R$ величина $V(R)$ минимальная?

Публикацию подготовил С. В. Фомин