Решения задач М956—М960; Ф968—Ф972

36

Решения задач

M956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через одну точку A, и три — через точку B. Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от A и B, вершины параллелограмма.

M957. Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди 9 простых чисел 2,3,…,23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвертая степень целого числа.

М956—M960; Ф968—Ф972
Приведем одно из многоих решений задачи.
Обозначим центры окружностей через $O_1, O_2, O_3, O_4$, точки их попарного пересечения — через $K, L, M, N$ (см. рисунок). Посокльку окружности равны, точка $P$ пересечения общей хорды $AK$ окружностей $O_1$ и $O_2$ с их линейным центров $O_1O_2$ делит оба отрезка $AK$ и $O_1O_2$ пополам. Аналогично, отрезки $O_3O_2$ и $AL$ имеют общую середину $Q$. Следовательно, отрезок $PQ$ является средней линий двух треугольников — $O_1O_2O_3$ и $AKL$, то есть $\overrightarrow{O_1O_3}=2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{KL}$. Точно также доказывается, что $\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$, а из равенства $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$ следует, что $KLMN$ — параллелограмм.

Докажите самостояльно, что $A$ и $B$ — точки пересечения высот треугольников $BKL$ и $AMN$; этот факт можно использовать для другого решения задачи (ср. с заключительным замечанием в решении задачи M951 в прошлом номере «Кванта»).

В. Н. Дубровский

Докажем, что из данных чисел можно выбрать достаточно много таких пар $(a,b)$, что произведение $ab$ — квадрат целого числа; точнее: из $N$ чисел (с 9 простыми множителими) можно выбрать не менее $(N-2^9)/2$ таких пар. В нашей задаче $N=1985$, так что можно выделить не менее $(1985-512)/2$, то есть по крайней мере 737 пар $(a,b)$. Затем к $N=737$ целым числом $\sqrt{ab}$ можно применить еще раз то же рассудение и получить такую пару $(\sqrt{ab}, \sqrt{cd})$ — даже $(737-512)/2+1/2=113$ таких пар,— что произведение $\sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd}$ квадрат целого числа, то есть $abcd$ — четвертая степень целого числа.

Осталось доказать формулированный факт. По основной теореме арифметики каждое натуральное число однозначно представляется в виде произведения простых множителей. Произведение $ab$ двух целых чисел

$$a=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}...23^{\alpha_9} \text{ и } b=2^{\beta_1}3^{\beta_2}...23^{\beta_9}$$

будет точным квадратом в том и только том случае, если показатели $\alpha_i$ и $\beta_i$ имеют одинаковую четность (для каждой $i$ от 1 до 9); в этом случае наборы $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_9)$ и $(\beta_1,\beta_2,...,\beta_9)$ показателей мы будем называть сравнимыми. Будем из $N$ наборов показателей, соответствующих $N$ данным числом (с множеством 2,3,…,23), выделять одну за другой пары сравнимых наборов, до тех пор, пока это возможно. набор без пары остается не более $2^9$, поскольку существует всего $2^9$ попарно несравнимых наборов показателей (на каждом из 9 мест может стоять либо четное, либо нечетное число — всего $2^9$ вариантов).

Эта задача, предложенная Монголей на последней международной оптимизации, — частный случай следующего, видимо, очень трудной проблемы. Пусть заданы натуральные

38

четным коэффициентом $P_2$ при той же степени $x$, возникает новый в члене степени на $q$ большей многочлена $x^qP_2(x)$, поэтому $w(i_1) \leqslant W(P_1) \leqslant W(P)$.

Приведем еще одно рассудение — индукцией по $i_1$. Для $i_1=0$ наше утверждение очевидно $(w(0)=1)$.

Докажем, что если оно верно для некоторого $i_1=j_1$, то оно также верно для $i_1=2j_1$ и $i_1=2j_1+1$. Для этого, пользоваться предположением индикции и формулами (2), (3) и (4) на полях, учитем отдельно коэффициенты при четных и нечетных степенях $x$ в многочленах $(1+x)^{i_1}$ и $P(x)$. Положив, в зависимости от четности $i_8$, $i_8=2j_8$ или $i_8=2j_8+1$ и применяя формулы на полях, запишем многочлен $P(x)$ в виде $F_1(x^2)+xF_2(x^2)$.

Если $i_1=2j_1$, то, согласно (2), $w(i_1)=w(j_1)$. При этом, если $i_2>i_1+1$, то запись $P(x)$ начинается с $(1+x^2)^{j_1}$ и включает коэффициентов при четных степенях $x$ в вес $P(x)$ (то есть вес $F_1(x)$) уже не меньше $w(j_1)$. Если же $i_2=i_1+1$, то, используя (4), мы начнем запись $P(x)$ с $(1+x^2)^{j_1}$ и по предположению индикции вклад $W(F_2)$ коэффициентов при нечетных степенях $x$ в вес $P(x)$ не меньше $w(j_1)$.

Если $i_1=2j_1+1$, то, согласно (3), $w(i_1)=2w(j_1)$ и включает в вес $P(x)$ и нечетных, и нечетных степеней $x$ не меньше $w(j_1)$, так что $W(P) \geqslant 2w(j_1)=w(i_1)$.

Наконец, наметим наиболее почительное решение, использующее общее правило описания всех нечетных коэффициентов многочлена $(1+x)^i$. Представим $i$ в виде

$$i=2^{m_1}+2^{m_2}+\dots+2^{m_r}, m_1<m_2<\dots<m_r;$$

такое представление всегда существует и единственно $(m_1,...,m_r)$ — это номера разрядов двойной записи числа $i$, в которых стоит 1). Тогда по формуле (1) на полях $(1+x)^i=(1+x^{q_1})\dots(1+x^{q_r})$, где $q_i=2^{m_i}$. Поэтому коэффициент $C_i^k$ многочлена $(1+x)^i$ при $x^k$ нечетен тогда и только тогда, когда к равно нечетной подсумме суммы (*). Обозначая через $M(i)$ множество показателей $\{m_1,...,m_r\}$ в двойном разложении $i$, это условие можно записать в виде $M(k)\subset M(i)$. Следовательно, коэффициент при $x^k$ многочлена $P(x)$ нечетен тогда и только тогда, когда множество $B=M(k)$ содержится в нечетном числе многочлены $A_s=M(i_s)$, $s=1,2,...,n$; также многочстве $B$ будем называть нечетными. Итак, нужно доказать такой число комбinatorный факт: число всех подмножества многочства $A_1$ не меньше числа всех нечетных многочств. Для этого достаточно сопоставить всем $C \subset A_1$ различных нечетные подмножества $F(C)$.

Если $C$ само нечетно, положим $F(C)=C$. В противном случае добавим к $C$ множество, выбранное следующим образом. Расмотрим все $A_s$. содержащие $C(s \geqslant 2)$ — их число нечетно, — и множество $D_s$, состоящие из всех элементов $A_s$, не входящих в $A_1$. Среди этих множеств могут встретиться одинаковые; оставим лишь те, которые представлены нечетным числом копий, из них выберем нечетное наиболее наибольшее (не содержащие в других) $D_h$ и положим $F(C)=C \cup D_h$. Легко видеть, что все множество $F(C)$ нечетны и различны $(F(C) \cap A_1=C)$.

Если выписать коэффициенты $(1+x)^i$, заменяющие на 0, а нечетные — на 1, и составить из таких строкек таблицы, получится «двоичный треугольник Паскала», показанный на полях. Попробуйте разобраться в его структуре и проследить с его помощью за последним решением.

Н. В. Васильев, Д. В. Фукс

M959. В стране между неокторыми параметрами городов установлено авационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более, чем 1/(k—1)—ю часть авационной таким образом, что среди любых k городов найдутся два, не содержанные между собой авационные, если

39

Для этого заметим, что число $n$ внутренних авиалиний (для выбранного «минимального» разбиения), выходящих из любого города $A$, не больше числа $n_i$ авиалиний, ведущих из этого города в любую группу городов $G_i$ ($i=1,...,k-1$): если бы оказалось, что $n > n_i$, мы переведели бы город $A$ в группу $G_i$ и тем самым уменьшили бы число внутренних авиалиний на $n - n_i$. Следовательно, общее число авиалиний, выходящих из города $A$, не меньше $(k-1)n$. Суммируя такие неравенства по всем городам и учтывая, что каждая авиалиния соединяет два города, получим, что $2N \geq 2(k-1)N_{\text{вн}}$. Закроем теперь все внутренние авиалинии нашего «минимального» разбиения. Тогда из любых $k$ городов хотя бы два попадут в одну группу и не будут соединены между собой, причем закрыты будут не более $N/(k-1)$ авиалиний.

A. A. Разборов

M960. Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат неокоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

a) Доказите это утверждение.
b) Вот один пример таких чисел: $8^3 - 7^3 = (2^2 + 3^2)^2$; приведите еще хотя бы один пример.
b) Доказите, что их существует бесконечно много.

a) Пусть $(m+1)^3 - m^3 = n^2$. Раскрывая скобки и умножая обе части равенства на 4, получим, что $3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4m + 4 = 4n^2$ или $3(2m+1)^2 = (2n+1)(2n-1)$. (1)

Поскольку числа $2n+1$ и $2n-1$ взаимно простые, равенство (1) возможно, только когда одно из этих чисел — квадрат натурального, а другой — утроенный квадрат. Но число $n$ нечетно ($n^2$ это разность чисел разной четности), поэтому $2n+1$ дает при делении на 4 остаток 3, а квадрат целого числа либо делится на 4, либо дает при делении на 4 остаток 1; следовательно, точным квадратом является $2n-1$; то есть $2n-1 = (2l+1)^2$ или $n = 2l^2 + 2l + 1 = l^2 + (l+1)^2$.

6), в) Полягая в равенстве (1) $2n=a$, $2m+1=b$, перепшем его в виде $a^2 - 3b^2 = 1$.

Очевидно, каждому решению $(a, b)$ этого уравнения с нечетным $b$ (и, следовательно, четным $a$) ответает пара $(m, n)$, удовлетворяющая условию задачи. Покажем, как по одному решению $(a, b)$ можно построить бесконечную последовательность решений. Мы воспользуемся общим методом построения решений так называемого уравнения $\Pi_1 x^2 - dy^2 = 1$, о котором подробно рассывалось в статье Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Пары чисел и действия с ними» (Квант, 1985, № 1, с. 20).

Пусть $(a_1, b_1)$ — какое-то решение (2). Определим числа $a_k$ и $b_k$ равенством $(a_1 + b_1\sqrt{3})^k = a_k + b_k\sqrt{3}$. Ясно, что тогда $(a_1 - b_1\sqrt{3})^k = a_k - b_k\sqrt{3}$, поэтому $a_k^2 - 3b_k^2 = (a_k + b_k\sqrt{3})(a_k - b_k\sqrt{3}) = ((a_1 + b_1\sqrt{3})(a_1 - b_1\sqrt{3}))^k = (a_1^2 - 3b_1^2)^k = 1$.

Следовательно, пары $(a_k, b_k)$ при всех $k$ также удовлетворяют уравнению (2). При этом, если $b_1$ нечетно $(a a_1$ четно), то при нечетном $k$ число $b_k$ представляется в виде $a_1 \cdot A + b_1^k (k-1)/2$ и тоже нечетно.

Таким образом, начав, скажем, с $(a_1, b_1) = (2, 1)$ и последовательно вычисляется нечетные степени

40

(2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt{3}, (2+\sqrt{3})^5=362+209\sqrt{3},…, мы получим бесконечный набор решений (2): $(a_3, b_3)=(26, 15), (a_5, b_5)=(362, 209),..., а из них — решения исходной задачи:$(m, n)=(7, 13), (104, 181),…, которые отвечают соответствия $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$ (пример из условия задачи 6)), $105^3-104^3=(9^2+10^2)^2$ (ответ к задаче 6)) и т. д.

А. П. Савин, В. Н. Дубровский

Ф968. На три паралельных оси, соединенных жесткими стержнями, насажены три зацепленных шестеренки с радиусами $r_1, r_2$ и $r_3$ (рис. 1). Оси В и С врачаются вокруг неподвижной оси A с угловой скоростью $\omega_0$; при этом размеры треугольника ABC остаются неизменными, а шестерена радиуса $r_3$ движется поступательно. С какой угловой скоростью врачается шестерена радиуса $r_1$?

Рис. 1.

На рисунке 2 показано положение системы через время $t$. За это время точки $B$ и $C$ повернуть на угол $\varphi=\omega_0 t$. Шестерена радиуса $r_3$, согласно условиям движения, движется поступательно. Это значит, что за время $t$ эта шестерена повернулась как целое вокруг оси $A$ на угол $\varphi$. И вокруг собственной оси $C$ — тоже на угол $\varphi$. Значит, все другие отношения на рисунке 2, равны $\varphi r_3$, и угловая скорость $\omega$ врачается шестерена радиуса $r_1$ определяется условиям движения.

Рис. 2.

Отсюда

$\omega=\omega_0\left(1-\frac{r_3}{r_1}\right)$.

В. Ванцелов (Болгария)

Ф969. Две банки, сделанные из одного и того же материалов, имеют одну и ту же геометрическую форму, причем все линейные размеры одной банки в к раз меньше, чем другой (см. рисунок). В две каждой банки сделано отверстие. Банки одновременно опускают на воду. Какая банка угодет скорее? Во сколько раз?

Из-за того что банки, которые погружаются в воду, сделаны из одного и того же материалов, в первый момент глубина погружения каждой из них линейно связана с размером. То есть, если размеры банок различаются в $k$ раз $l_2=kl_1$, то в $k$ раз различаются расстояния от поверхности воды до поверхности $h_2=kh_1$.

Так как перепад давления по обе стороны ответствия зависит от глубины погружения $\Delta p=\rho_{\text{воды}}gh$, а скорость воды, заполняющей банку через ответствие, связана с перепадом давления — $\Delta p=\frac{1}{2}q_{\text{воды}}v^2$, то

$v^2=2gh$.

В свою очередь, скорость определяет время $t$, за которым банка наполнится водой и поддет ко дну.

41

Таким образом, зависимости (*) являются ключевым соотношением, связывающим время с линейными размерами через ускорение свободного давления $g$, которое в этой задаче играет роль единственной размерной constantsы, определяющей диапазму процесса. Το есть величины, имеющие размерность $m/c^2$, например $l/t^2$, выражаются только через $g$ и поэтому не зависит от $l$:

$$l_2/t_2^2 = l_1/t_1^2.$$

Следовательно,

$$t_2 = \sqrt{k} t_1.$$

И. К. Соболев

Ф970. В тонкостенной непрозрачной сферической области находится шар, радиус которого в несколько раз меньше радиуса оболочки. Предложите способ определения плотности вещества, из которого сделан шар. Масса оболочки неизвестна.

Измерем вес сферы с шаром $P = (M + m)g$, где $M$ и $m$ — массы сферы и шара соответствующего. Прикладываем к сфере силу $F$ (силу измеряем), направленную вертикально вниз, и в момент $t = 0$ убираем опору из-под сферы. Сфера начинает двигаться вниз с ускорением

$$g + a = \frac{Mg + F}{M}.$$

Масса $m$ в формулу не входит, поскольку шар в момент $t = 0$ отрывается от сферы и с ускорением $a$ (относительно сферы) движется вверх. Измерив ускорение $a$, находим массу сферы $M = F/a$. Измерение ускорения $a$ надо закончит до момента удара шара о сферу в ее верхней точке. Отметив этот момент времени (по звуку удара или по скачку показанной диамометра, измеряющего силу $F$), расчитываем радиус $r$ шара. Из $S = a(\Delta t)^2/2$, где $\Delta t$ — время движения шара, находим:

$$r = R - \frac{a(\Delta t)^2}{4}.$$

Здесь $R$ — радиус сферы, который можно измерить непосредственно, а пусть $S = 2(R - r)$. Теперь мы знаем и радиус шара, и его массу $\left(m = \frac{P}{g} - \frac{F}{a}\right)$, что позволяет решить задачу.

С. А. Хорозов

Ф971. В магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которой вертикальная, врачается около вертикальной оси так, как показано на рисунке, металлический стержень. Условая скорость врачия равна $\omega$, $R$ и $\alpha$ заданы. Найти разность потенциаль на концах стержня.

Для решения воспользовемся выражением для ЭДС в виде

$$\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.$$

Прежде всего отметим, что ЭДС будет постоянной в любой момент времени, так как стержень всегда находится в одинаковых условиях. Поэтому мы имеем право рассмотреть его полный оборот:

$$-\Delta\Phi = \pi R^2 B,$$

$$\Delta t = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\mathcal{E} = \frac{\pi R^2 B}{2\pi} \omega = \frac{1}{2} BR^2 \omega,$$

то есть зависит только от $R$, а не от $\alpha$.

Л. Г. Маркович

42

Ф972. В высокоскоростном киностемом аппарате, приемаемом для съемки быстропroteкαιощих процессов, ленка движется непрерывно со скоростью v. Для предотвращения смызывания изображения между ленкой и объективом установлена четьрегранная стеклянная прізма с показателем преломления n, врачающая с постоянной угловой скоростью (рис. 1). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определяте, при какой угловой скорости изображение на ленке не смызывается. Определите толщину прізмы при условии, что экспонирование изображения одного кара проводится в пределах $-\alpha_0, \alpha_0$ ее угла поворота, а минимальный размер различных деталей изображения равен $\delta$.

Рассмотрим точку $A$ на оптической оси. Ее изображение $A'$ также расположено на оптической оси при положении прізмы, изображением на рисунке 1. При повороте прізмы на угол $\alpha$ изображение $A'$ смешается по горизонтали на $\xi(\alpha)$ от плоскости, в которой со скоростью $v$ движется кипопленка, и на величину $\Delta(\alpha)$ в направлении движения пленки (рис. 2). Смешение по горизонтали приводит к расфокусировке изображения. По условияю этим эфектом можно пренебреть.

Рассмотрим, к чем приводит смение $\Delta(\alpha)$. Относительно пленки изображение $A'$ движется со скоростью $u = \frac{\Delta(\alpha)}{t} - v$. Скорость $\omega$ вращения прізмы подбирают такой, что при малых углах $\alpha$ скорость $u$ близка к нулю, и изображение $A'$ не подвижно относительно пленки. Это объясняет назначение вращающей прізмы — она компенсирует смение пленки. Зависимость $\Delta(\alpha)$ от $\alpha$ имеет вид ($h$ — толщина прізмы)

$$\Delta(\alpha) = h \sin \omega t \left(1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)$$

(выведите эту формулу самостояльно, пользоваться законом преломления).

Мгновенная скорость изображения $A'$ в тот момент, когда оно находится на оптической оси, равна

$$\frac{d\Delta(\alpha)}{dt} \bigg|_{t=0} = \frac{d\Delta(\alpha)}{d\alpha} \cdot \frac{d\alpha}{dt} \bigg|_{\alpha=0} = h \frac{n-1}{n} \omega$$

и по условияю

$$h \frac{n-1}{n} \omega = v.$$

(*)

С ростом $\alpha$ мгновенная скорость уменьшается, и точка $A'$ за время поворота прізмы на угол $\alpha$ ($t=\alpha/\omega$) экспонирует на пленке отрезок длиной $\Delta = \left(v - \frac{\Delta(\alpha)}{\alpha} \omega\right) \frac{\alpha}{\omega}$. Изображение на пленке не смазано, если за время экспониции кара длина этого отрезка не больше $\delta$, то есть при $\alpha=\alpha_0 \Delta=\delta$, или $-\alpha_0 h \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right) + h \frac{n-1}{n} \alpha_0=\delta$.

Отсюда находится $h$:

$$h = \frac{\delta}{\alpha_0} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right)^{-1}$$

С учетом этого (*) находится прізмы изображение на пленке не смазано:

$$\omega = \frac{v n}{n-1} \cdot \frac{\alpha_0}{\delta} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right).$$

А. А. ЛанUDEC