Производная логарифма

25

Математика 10
Эта заметка предназначена десятиклассикм. В ней излагаются некоторые весы полезные факты, связанные с числом e.

Производная логарифма

В учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» на с. 208 выводится формула для произвольной логарифмической функции. Эта формула получается там с помощью теоремы о произвольной обратной функции и формулы для произвольной показательной функции. В этой заметке мы получим формулу для произвольной логарифмической функции непредседательной — нахождения соответствующего предела.

No bначale определим
Число e

Рассмотрим кривolineную графиком функции y = $\frac{1}{x}$, отрезком [1; t] оси Ox и прямыми x=1, x=t (рис. 1). Площадь этой кривolineной грапейции есть функции от t — обозначим ее через S(t). Эта функция на промежутке [1; ∞] возвращает и непрерывна.

Доказательство непрерывности функции S(t) неявно содержится в п. 59 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10»: там показывается, что функция S(t) дифференцируем; всякая же дифференцируемая функция является непрерывной. В проечем, непрерывность S(t) можно вывести прямо из определения непрерывной функции. Попробуйте это сделать.

Поскольку S(2)<1 (рис. 2), а S(4)>1 (рис. 3; $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$), то между чисlami 2 и 4 существует единственное число — его обозначают буквой e, такое, что S(e)=1.

На с. 200 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10» число e определяется по другому. Можно доказать, что эти два определения эквивалентны.

Так как e>0 и отлично от 1, могут быть определены логарифмы по основанию e. Эти логарифмы называются натуральными и обозначются ln, то есть ln a=log_e a. Так как e>1,

функция y=ln x на промежутке ]0; ∞[ возвращает.

Два важных неравенства

Докажем теперь, что для любого натурального числа n выполено неравенство

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \quad (1)$$

Из неравенства (1) непредседательно следует, что

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

(именно так определяется число e вузовских курах математического анализа).

Действительно, возьмем любое число ε>0 и положим N=[$\frac{e}{\epsilon}$]. Тогда для любого натурального n>N выполено неравенство

$$n > \frac{e}{\epsilon} \quad \text{и}$$

$$\left| \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - e \right| = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 + \frac{1}{n} - 1\right) < \frac{e}{n} < \epsilon.$$

Зафиксируем любое натуральное число n, положим q=1+$\frac{1}{n}$ и рас-

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.