Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

56

разность потенциальной можно изменить этим прибором, если присоединить к нему добавочное сопротивление $R_\pi=90$ кОм?

9. Перемещая линзу между предметом и экраном, нашли два положения, при которых линза дает на экранное изображение предмета. Найдите высоту предмета, зная, что высота первого изображения $h_1$, а второго $h_2$.

10. Источник света расположен на расстоянии, равном 1,5 F от собирающей линзы (F — ее фокусное расстояние). На каком расстоянии от линзы необходимо поместить плоское зеркало, чтобы лучи, отраженные от зеркала, вторично проядяли линзу, собравлись на двойном фокусном расстоянии от нее?

Публикация подготовили В. Ф. Оспинов, В. Н. Скребов, Г. А. Федогов

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1
(Факультеты физико-меchanической, технической кубернетики, радиофизической)

1. Найдите tg 2α, если известно, что sin (α−90°) = $\frac{5}{13}$ и sin α < 0.

2. В конус вписана правильная шестугольная парамида так, что их вершины и плоскости оснований совпадают. Найдите объем и боковую поверхность конуса, если боковые грани парамиды составляют угол $\frac{\pi}{3}$ с основанием, а длина стороны основания равна 2.

3. Решите неравенство $\frac{\lg^2 x - 3\lg x + 3}{\lg x - 1} < 1$.

4. Найдите перiod функции $y=f'(x)$ и нарисуйте ее график, если $f(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + \sin(3\pi - 4x) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6x\right) - \frac{4\sin(5\pi - 3x)\cos(x - 2\pi)}{3} - \frac{3}{4}x$.

5. Известно, что многочлен $p(x) = x^4 + (\beta + 2)x^3 + (a + 2\beta)x^2 + (3a + \beta - 4)x + 2a - 3$ имеет корень, не зависящий от α и β. Найдите этот корень. Найдите все такие числа α, β, что p(x) равен квадрату квадратного трехчлена.

Вариант 2
(Факультет технической кубернетики)

1. Найдите x, если числа lg 2, lg(2^x - 1), lg(2^x + 3) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

2. Решите уравнение 2(1−cos 2x) = $\sqrt{3}$ tg x.

3. Решите уравнение 2−4$\log_3\sqrt{x-1}$ = $\log_3(5x+3)$.

4. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC, точка N — середина CD. Пусть E — точка пересечения AM с BD, а F — точка пересечения AN с BD. Выразите вектор $\vec{NE}$ через $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$, если они имеют единичную длину и совпавлены с $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответственно, a |AB| = 4, |AD| = 7.

5. Найдите область определения функции $f(x) = \lg \frac{4\cos^2 x - 6e^{\cos 2x} + 2}{30x^2 - x - 1}$.

Вариант 3
(Факультеты физико-меchanической и радиофизической)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 9, \\ xy = 324. \end{cases}$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{x}{x-3} - 1 > \frac{1}{x+2}.$$

3. Решите уравнение
   $$\log_3(4 \cdot 3^x - 1) = 2x - 1.$$

4. Диагонали разбивают выпуклы четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны 2. Найдите длины сторон четырехугольника.

5. Для функции $F(x) = (\sin x)^{-1/3}\cos x + x + 1$ найдите область определения и промежутки возрастания и убывания. Исподя из найденного установленное, что больше: A = cos 3×$\sqrt{3}\sin 2$−cos 2·$\sqrt{3}\sin 3$ или B =$\sqrt{3}\sin 2$·sin 3.

Физика
Задачи устойчивости экземена

1. Тело подвешено на нити длиной l. Какую скорость надо сообщить этому телу, чтобы оно, движясь по окружности, могло только только доступнуть верхней точки своей траектории?

2. Твердое тело движется в воздухе со скоростью v, превышающей среднюю скорость движения молекул воздуха. Покажите, что сила сопротивления пропорциональна S v², где S — площадьLOBового сеанса тела.

3. Оноотоматный газ массой m = 5 кг (молярная масса газа M = 4·10⁻³ кг/mоль) нагревают на ΔT = 150 K при постоянном объеме. Найдите количество теплоты, сообщенное газу.

4. Электрон движется в магнитном поле по круговой орбите с угловой скоростью $\omega = 2 \cdot 10^{10}$ rad/c. Индивиду магнитного поля увеличили в n = 1,5 раза. С какой угловой скоростью теперь врашает электрон?

5. Упругая прижинажность k = 40 H/m подвешена вертикально. К ее нижнему концу прикреплено тело массой m = 0,8 кг. В некоторых моменте только оттягается взница на a = 0,15 м и освобождается a). На какую максимальную площадь по сравнению с массой шара.

6. Две тонкие собирающие линзы с фокусными расстояниями F₁ и F₂ расположены рядом (вплотную друг к другу). Найдите оптическую силу этой системы.

Публикацию подготовили Ю. Д. Максимов, В. П. Попов, С. П. Пребраженский, И. В. Русов