Задачи М976—М980; Ф988—Ф992

31

Задчи

M976—М980; Ф988—Ф992

M976. Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ проведены два луца, образующие между собой угол $45^\circ$. Один пересекает сторону $BC$ в точке $E$, диагональ $BD$ — в точке $P$, другой — сторону $CD$ в точке $F$, диагональ $BD$ — в точке $O$. Доказите, что площад треугольника $AEF$ вдвое больше площади треугольника $APO$.

Э. Г. Готман

M977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$ и $g(x)$ получить $x$, если а) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2+2$; б) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2-2$; в) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=2x$; г) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=x^2$.

С. И. Кублановский

M978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами большие $\sqrt{2}/3$, не налегаются друг на друга?

E. А. Карлов, И. К. Димитров (Болгария)

M979. Пусть $k$ и $n$ — натуральные числа, $k \leqslant n$. Изовем набор $k$ положительных чисел $a_1,a_2,...,a_k$ меньше 1 исключительно, если для любого разбиения $n=n_1+n_2+\dots+n_k$ числа $n$ на неотрицательные целые слагаемые хотя бы одно из чисел $a_i n_i$ — целое ($i=1,2,...,n$).

а) Для каких $k$ и $n$ существует исключательные наборы?

б) Каковы эти наборы?

E. А. Горин

M980. Внутри выпукло a) многоугольника, 6) многоугольника с вершинами $A_1,A_2,...,A_n$ взята точка $O$. Доказите, что среди $n(n-1)/2$ углов $A_i O A_k$ ($i,k=1,2,...,n$) не менее, чем $n-1$ имеют величины от $90^\circ$ до $180^\circ$.

В. Г. Болтяский

Ф988. Хоккеист скольит по луду на одном коньке. Известно, что лед тает под коньком на глубину $h=0,03$ мм. Ширина конька $d=2$ мм. Найти силу трения между коньком и лッドом. Удельная теплота плавления льда $\lambda=3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг, плотность льда $\rho=0,9$ г/cm$^3$. Считать теплопроводность льда малой.

М. Г. Гаврилов (Окончание см. на с. 34)