Bài toán M1001—M1005; F1013—F1017

36

Vấn đề
lượng tử

Bài toán

M1001 — M1005; F1013 — F1017

M1001. Có 1001 viên đá trong đống. Cô ngẫu nhiên chia mình thành hai chồng, đếm số viên đá trong đó và viết tích của hai số này. Sau đó, với một trong những đống này (có nhiều hơn một viên đá), thao tác tương tự được thực hiện: nó được chia thành hai và ghi ra tích của số viên đá trong hai đống giáo dục mới. Sau đó, thao tác tương tự được lặp lại với một trong ba đống kết quả, v.v., cho đến khi tất cả các đống đều chứa một viên đá. Tổng số 1000 tác phẩm được ghi lại là bao nhiêu?

A. S. Merkuryev

M1002. a)*Nhà toán học phân tán, sau khi nhập mã gồm ba chữ số cho lối vào của mình, nhấn các nút (với các số 0,1,…,9) mỗi giây một lần. Cửa sẽ mở nếu ba chữ số của mã được quay liên tiếp theo thứ tự yêu cầu. Nhà toán học tự tin rằng ngay cả trong trường hợp “cực kỳ xui xẻo” (nếu gặp phải sự kết hợp mong muốn cuối cùng), anh ta sẽ có thể vào được lối vào chậm nhất là sau 16 phút. 42 giây (1002 giây). Anh ấy có đúng không? Anh ta nên hành động thế nào để về nhà kịp giờ?

Trả lời câu hỏi cuối cùng nếu 6) chỉ các nút có số 1, 2, 3 hoạt động (các số khác không có trong mã);
c) *tất cả các nút đều hoạt động, nhưng nhà toán học nhớ rằng cả ba chữ số của mã đều khác nhau.

M1003. Cho tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CL. Chứng minh đẳng thức
AK · BL · CH=AL · BH · CK=HK · KL · LH

S. A. Genkin

M1004. Qua đỉnh A của tam giác ABC, vẽ AB≠AC tất cả các đường thẳng có thể có. Chứng minh rằng a) trên mỗi điểm đều có nhiều hơn một điểm M, khác các đỉnh của tam giác, sao cho ∠ABM=∠ACM;
b) có nhiều nhất một phần năm các đường thẳng này không chứa điểm M.

O. P. Musin

M1005. Các ô của bảng vuông có kích thước n×n (n ≥3) được điền các số ±1 theo quy tắc sau:

1. các số - 1 - được đặt trong tất cả các ô viền của bảng;
2. số điền vào chỗ trống tiếp theo

37

Chúng tôi khuyến khích độc giả của chúng tôi (ngoại trừ cư dân Moscow và Leningrad) gửi cho họ lời giải trước ngày 1 tháng 12 - chúng cũng sẽ được tính đến trong cuộc thi “Sách Vấn đề Kvant”. Điều danh nghĩa là khi xác định những người chiến thắng trong cuộc thi được chấp nhận tham dự Olympic của đảng cộng hòa, chúng tôi sẽ có thể tính đến những lá thư nhận được chậm nhất là ngày 10 tháng 12.

ô của bảng bằng tích của các số gần ô này nhất, nằm ở hai phía đối diện của nó và nằm trong cùng một hàng với nó hoặc trong cùng một cột với nó. Điều này được thực hiện cho đến khi tất cả các ô của bảng được lấp đầy.

a) Số lượng +1 nhiều nhất có thể đạt được trong bảng là bao nhiêu?
b) Số lượng +1 nhiều nhất có thể đạt được trong bảng là bao nhiêu?

N. Kh. Adakhanov

F1013. Hai vận động viên đứng ở điểm A và B và cầm một chiếc vít cao su. Theo tín hiệu, vận động viên A bắt đầu di chuyển về phía đông với tốc độ $v_0=1$ m/s, và vận động viên B bắt đầu di chuyển về phía nam với gia tốc không đổi. Tìm gia tốc này nếu biết rằng nút B, buộc trên dây, đi qua điểm Γ (hình 1; thang đo được biểu thị là hình) trong quá trình chuyển động.

S. S. Krotov

F1014. Một bóng bán dẫn mạnh tạo ra nhiệt được gắn trên một tấm tản nhiệt, được thổi bằng không khí có nhiệt độ 30°C. hình2 hiển thị sự phân bổ nhiệt độ trên tấm. Xác định công suất tiêu tán. Người ta biết rằng một tấm được làm nóng đồng đều đến 70 °C sẽ tiêu tán năng lượng $P=10$ W ở nhiệt độ không khí 20 °C. Truyền nhiệt tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa tấm và không khí.

A. R. Zilberman

F1015. Mạch điện ở hình hình 3 chứa 50 ampe khác nhau và 50 vôn kế giống hệt nhau. Số chỉ của vôn kế thứ nhất là $U_1=9,6$ V, ampe thứ nhất là $I_1=9,5$ mA, ampe thứ hai là $I_2=9,2$ mA. Sử dụng những dữ liệu này, xác định tổng số đọc của tất cả các vôn kế.

A. R. Zilberman

F1016. Một lõi sắt từ nặng $M=0,01$ kg có thể được hút tự do vào cuộn dây. Cuộn dây được nối với nguồn có điện áp $U=100$ V và dòng điện thể hiện ở hình 4 chạy qua nó. Tính độ tự cảm ban đầu của cuộn dây. Bỏ qua tổn hao, tìm vận tốc của lõi tại thời điểm $\tau=10^{-3}$ s.

V. E. Skorovarov

F1017. Chiếc điện thoại lớn nhất thế giới của Liên Xô có một tấm gương có đường kính $D=6$ m làm thấu kính. Sẽ mất bao lâu, bằng cách so sánh các bức ảnh chụp trên điện thoại này, để nhận thấy sự quay lẫn nhau của Thiên hà của chúng ta và tinh vân Tiên Nữ xung quanh một khối tâm chung?

Khoảng cách đến Andromeda là $R=1,42 \cdot 10^{11}$ $R_0$, trong đó $R_0$ là bán kính quỹ đạo Trái đất. Khối lượng của Thiên hà và Tiên nữ lần lượt bằng nhau, $M_\Gamma=2,5 \times 10^{11}$ $M_0$, $M_A=3,6 \cdot 10^{11}$ $M_0$, trong đó $M_0$ là khối lượng của Mặt trời. Việc chụp ảnh được thực hiện dưới ánh sáng khả kiến ​​ở bước sóng $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ m.

V. E. Belonuchkin