Bài toán Olympic Vật lý thành phố Leningrad

58

giảm từ $A$ xuống đường $BC$ nằm trên đoạn $BC$.

2. Marcinin tạo ra tiếng gõ đầy đủ và sống động như thật. Được biết, trong suốt lịch sử của nền văn minh sao Hỏa (hiện đã tuyệt chủng), có một số lượng lẻ người sao Hỏa được sinh ra. Chứng minh rằng có ít nhất 100 ngày trong đó số lượng cư dân trên sao Hỏa là số lẻ.

3. Ở Svambrania, một avalilia miễn phí đã bị đóng cửa. Được biết, sau đó, bạn có thể đi từ bất kỳ sân bay nào ở Schwambran đến bất kỳ sân bay nào khác, có thể bằng phương tiện trung chuyển. Trước khi đóng cửa dây chuyền, việc này có thể được thực hiện với không quá $N$ lần hạ cánh. Chứng minh rằng bây giờ có thể đi từ bất kỳ sân bay nào đến bất kỳ sân bay nào khác không quá $2N$ điểm dừng. (Khi tính số lần hạ cánh, việc hạ cánh tại điểm đến cũng được tính đến.)

4. Chứng minh rằng bạn có thể vẽ nhiều đường thẳng trên một mặt phẳng và đánh dấu nhiều điểm sao cho trên một đường thẳng bất kỳ có đúng 4 điểm đã đánh dấu và qua mỗi điểm đã đánh dấu có đúng 4 đường thẳng.

5. Có một tờ giấy ca-rô có kích thước: $a) 30 \times 45, 6) 30 \times 30$ ô. Hai người chơi trò tiếp theo. Trong một lần di chuyển (họ thay phiên nhau), một vết cắt được thực hiện dọc theo đường nối hai nút lưới liền kề. Người chơi đầu tiên bắt đầu cắt từ mép tờ giấy. Mỗi lần cắt tiếp theo sẽ tiếp tục đường được tạo bởi các lần cắt trước đó. Người chơi nào có nước đi chia tờ giấy thành hai mảnh sẽ thắng. Ai thắng khi chơi đúng?

6. Tập $A$ gồm các số thực. Được biết, tổng của hai phần tử bất kỳ của nó cũng là phần tử của nó và bất kỳ đoạn $[a, b]$, $a < b$ nào cũng chứa một đoạn hoàn toàn bao gồm các phần tử của tập hợp $A$. Chứng minh rằng $A$ chứa mọi số thực.

7. Hãy xem xét thuật toán sau:
   Bước 0. Đặt $n = m$.
   Bước 1. Nếu $n$ chẵn, chia đôi $n$. Nếu $n$ lẻ, hãy tăng $n$ lên 1.
   Bước 2. Nếu $n > 1$, chuyển sang bước 1. Nếu $n = 1$, hãy hoàn tất việc thực hiện thuật toán.
   Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ mà thuật toán này sẽ thực hiện bước 1 đúng 15 lần?

8. Nhà vua đi vòng quanh bàn cờ $9 \times 9$, nâng nó đúng một lần trên mỗi ô vuông của nó. (Tuyến đường của vua không bị đóng và có thể tự giao nhau.) Độ dài tối đa có thể có của một tuyến đường như vậy là bao nhiêu nếu độ dài của nước đi chéo là $\sqrt{2}$ và độ dài của nước đi theo chiều dọc và chiều ngang là 1?

9. Đường kính của một tập hợp trên một mặt phẳng là khoảng cách tối đa giữa hai điểm của nó. (Nếu một thứ như vậy tồn tại.) Người ta biết rằng tổng đường kính của các đa giác $M_1, M_2, \dots, M_n$ nhỏ hơn đường kính giao nhau của chúng. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng không cắt bất kỳ đa giác nào và trên mỗi cạnh của đa giác đó có ít nhất một trong số chúng.

10. Chứng minh rằng
    $$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{9997}+\sqrt{9999}} > 24.$$

11. Đánh giá tích phân
    $$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^3+\sqrt{1+x^6}}.$$

12. Cho trước: $u_1=ax+by+cz, v_1=ax+bz+cy, u_2=ay+bz+cx, v_2=az+by+cx, u_3=az+bx+cy, v_3=ay+bx+cz,$ trong đó $a, b, c, x, y, z$ là số thực. Được biết, $u_1u_2u_3=v_1v_2v_3$. Chứng minh rằng bằng cách sắp xếp lại các số thành bộ ba ($u_1, u_2, u_3$) bạn có thể nhận được bộ ba ($v_1, v_2, v_3$).

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. V. Fomin

Bài toán Olympic Vật lý thành phố Leningrad

lớp 8

1. Xác định bán kính quỹ đạo của vệ tinh Trái đất luôn nằm phía trên cùng một điểm trên bề mặt trái đất. Bán kính Trái đất là $R=6400$ km, gia tốc rơi tự do trên bề mặt của nó là $g=10 \text{ m/c}^2$.

2. Tại trạm quan sát trên hành tinh $X$, mặt trời cục bộ không bao giờ nhô lên trên đường chân trời phía trên $a=75^\circ$. Tìm vị trí đặt trạm nếu trục của ngọn lửa nghiêng một góc $\beta=50^\circ$ với mặt phẳng quay của nó.

3. Để tháo nút chai ra khỏi bình giữ nhiệt, bạn cắm một chiếc ghim vào đó (hình 1). Bạn có thể cắm chốt vào ở góc nào mà không sợ phích cắm rơi vào trong bình thủy? Hệ số ma sát với tường $\mu=0,5$.

Hình 1.

4. Trên mép một chiếc xe đẩy có khối lượng $M$ và chiều dài $l$, đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn có một tải trọng có khối lượng $m$. Bạn chỉ đẩy tải với một lực không đổi $\vec{F}$, hướng theo chiều ngang, về phía mép đối diện của xe đẩy (hình 2). Sẽ mất bao lâu để tải hàng đến được đầu đối diện của xe đẩy? Hệ số ma sát giữa tải và xe đẩy $\mu$. Giả sử toàn bộ khối lượng của xe tập trung vào tấm ván.

Hình 2.

5. Hai chiếc xe đạp - một chiếc gấp và một chiếc thông thường - được thiết kế sao cho các lực cần thiết để chuyển động nhìn chung là như nhau. Được biết, trên một chiếc xe đạp thông thường, bán kính bánh xe lớn hơn 1,2 lần và bán kính bánh răng (nối với các bánh răng) lớn hơn 1,5 lần so với xe đạp gấp. Tìm sự tương ứng giữa bán kính bánh xe và xe đạp nói chung, tổn thất trong yêu cầu đào tạo nội bộ.

6. Trên mặt phẳng nghiêng nhẵn có góc $\alpha=30^\circ$ so với đường chân trời, nó được lắp đặt ổn định, bắn một quả bóng nhỏ. Trang chủ-

59

Vận tốc đã cho của quả bóng được định hướng theo phương ngang dọc theo mặt phẳng. Máy giặt trượt tự do dọc theo mặt phẳng. Vị trí của nó so với thiết bị bắn tại thời điểm bóng rời đi được thể hiện ở hình 3; tốc độ là $v_0 = 10$ m/s và hướng một góc $\beta = 60^\circ$ so với phương ngang. Quả bóng phải đạt vận tốc ban đầu bằng bao nhiêu để chạm vào quả bóng?

Hình 3.

7. Một ô tô chạy qua một khu vực có hình parabol. Chiều cao của nơi này là $h = 5$ m, chiều dài ngang là $l = 60$ m. Tìm tỷ số của lực ép tự động lên đường ở đỉnh địa điểm với trọng lượng của nó trên đường bằng phẳng, nếu anh ta lái xe dọc theo địa điểm đó với tốc độ không đổi $v = 54$ km/h.

8. Hệ gồm ba bình giống nhau được thể hiện ở hình hình 4. Hai bình ngoài cùng chứa đầy nước, bình giữa và trong ống có không khí, chiều cao khuỷu tay trái của ống nhỏ hơn 3 lần so với chiều cao của bình $H$. Áp suất ban đầu ở bình giữa là $p_0 \gg qgH$ (q là mật độ của nước). Hệ thống sẽ chuyển sang trạng thái nào sau khi mở vòi?

Hình 4.

lớp 9

1. Một lò xo nhẹ có chiều dài $l$ có độ cứng $k$ được gắn một đầu vào một trục thẳng đứng xung quanh để nó có thể quay tự do, còn đầu kia gắn với một tải nhỏ có khối lượng $m$. Toàn bộ hệ nằm trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn, lò xo không bị giãn. Tải trọng tác động với tốc độ $v$, hướng vuông góc với lò xo. Tìm khoảng cách tối thiểu và tối đa của tải từ trục xe.

2. Xem bài toán 7 cho lớp 8.

3. Nếu bạn va chạm hai quả cầu thủy tinh, một trong số chúng sẽ vỡ. Tại sao cả hai quả bóng không vỡ cùng một lúc?

4. Trong vanchine có nước (độ sâu nước $h$, diện tích vanchniki $S$, $\sqrt{S} \gg h$) các ion hòa tan được hình thành (điện tích she +q, khối lượng $m$, khối lượng của tất cả các ion $M$). Dung dịch đã được trộn. Mô tả việc đánh giá định tính và định lượng sự phân bố của các ion trong bể sau khi trạng thái cân bằng đã được thiết lập. Sự phân bố này phụ thuộc vào nhiệt độ hòa tan như thế nào?

5. Có nước trong chảo ở nhiệt độ $t_1 = 60^\circ$ C. Đậy nắp chảo có khối lượng $m = 5$ kg và diện tích $S = 100$ cm² và đun nóng từ từ đến $t_2 = 70^\circ$ C. Nắp chảo sẽ nảy lên bao nhiêu lần trong thời gian này, nếu áp suất hơi bão hòa ở $t_1$ là $p_1 = 2,0 \cdot 10^4$ Pa, ở $t_2 = 3,1 \cdot 10^4$ Pa, áp suất nguyên tử $p_0 = 10^5$ Pa.

6. Những quả cầu kim loại nóng có cùng nhiệt độ được ném vào một vũng nước lớn. Được biết, một quả bóng có bán kính $r_1 = 0,5$ cm làm nóng nước lên $\Delta t_1 = 0,1^\circ$ C, và có bán kính $r_2 = 1$ cm - bằng $\Delta t_2 = 1,2^\circ$ C. Hãy ước tính sự thay đổi nhiệt độ của nước khi ném một quả bóng có bán kính $r_3 = 1,5$ cm.

7. Trong mạch điện ở hình 5, quả cầu kim loại $A$ có điện tích $q$. Điện tích trên quả bóng sẽ là bao nhiêu nếu đổi chỗ các điện trở có điện trở $r_1$ và $r_2$?

Hình 5.

lớp 10

1. Xem bài toán 1 cho lớp 9.

2. Cao su mỏng nhẹ được căng trên một vòng nằm ngang có bán kính $r$; Ở giữa vòng, một vật nặng có khối lượng $m$ được gắn vào cao su. Nếu bạn nhấc vòng lên, trọng lượng sẽ giảm xuống khoảng $d (d \ll r)$. Hãy ước tính độ lớn chu kỳ dao động nhỏ theo phương ngang của vật nặng khi treo vòng vào một mặt bàn nằm ngang nhẵn (không có độ lệch).

3. Xem bài toán 4 cho lớp 9.

4. Trong tinh thể có một trục nhìn thấy được $X$, dọc theo đó độ dẫn điện bằng $\sigma_1$ (nghĩa là nếu bạn cắt một dây thẳng từ tinh thể có trục song song với trục $X$, thì điện trở của dây đó sẽ bằng $R = l / (S\sigma_1)$, trong đó $l$ và $S$ là chiều dài và diện tích mặt cắt ngang của dây). Độ dẫn điện cụ thể dọc theo trục $Y$ và $Z$ là $\sigma_2$, $\sigma_2 \neq \sigma_1$. Độ dẫn điện riêng của một sợi dây thẳng cắt từ tinh thể này ở góc $a$ với trục $X$ sẽ là bao nhiêu?

5. Một khung dây hình vuông (chiều dài cạnh $a$, đơn vị điện trở của chiều dài dây $q$) được biểu diễn xung quanh một trong các cạnh của nó với vận tốc góc $\omega$ trong một từ trường không đổi có cảm ứng $\vec{B}$, vuông góc với trục quay. Công suất giải phóng trong khung sẽ thay đổi như thế nào nếu phần giữa của các cạnh đối diện được đóng lại bằng dây làm từ cùng vật liệu và chiều dài $a$?

6. Xe điện có hệ dẫn động 4 bánh, chuyển số bằng hộp số (nghĩa là động cơ có thể nối với các bánh xe có 4 tỷ số truyền khác nhau). Các tốc độ khuyến nghị nên thay đổi tỷ số truyền (sao cho động cơ tiêu thụ công suất tối thiểu) cũng là: 10 km/h, 20 km/h, 45 km/h. Tốc độ tối đa của xe điện là 180 km/h. Tìm sự tương ứng giữa các tỷ số truyền (nghĩa là giữa bán kính của các bánh răng được kết nối bởi chuyển động với các bánh xe) ở các tốc độ khác nhau. Để đơn giản, chúng ta có thể giả sử rằng trong động cơ ô tô điện, rôto quay trong một từ trường không đổi.

7. Làm thế nào chúng ta biết được nếu tốc độ ánh sáng tăng lên 10⁵ lần?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. Yu. Alekseev