Bài học của một bài toán

Bài học
một bài toán

I. A. KUSHNIR

“Hôm nay,” Ivan Petrovich bắt đầu bài học trong câu lạc bộ toán, “bài học của chúng tôi dành riêng cho một bài toán.”

• Khó thế à? - chúng tôi rất ngạc nhiên.
• Không. Đặc biệt cái bài toán này là nó sẽ giúp chúng ta giải được cái bài toán kia. Đây là các điều khoản của nó:

Bài toán 1. Trong một hình thang có hai đáy là a và b, kẻ một đường thẳng song song với đáy đi qua giao điểm của hai đường chéo. Tìm độ dài đoạn thẳng này bị cắt bởi hai cạnh.

Ivan Petrovich gọi một người trong chúng tôi lên bảng, và một hình vẽ xuất hiện trên bảng (hình 1). Chúng ta nhận thấy ngay sự giống nhau giữa các tam giác AMO và ABC, MBO và ABD và viết công thức lên bảng

$$\frac{x}{b} = \frac{h_2}{h}, \quad \frac{x}{a} = \frac{h_1}{h},$$

trong đó $h, h_1, h_2$ là chiều cao của các tam giác ABD, MBO, AMO và $x = MO$. Cộng các đẳng thức này, ta được

$$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{h_1 + h_2}{h} = 1,$$

nghĩa là, $x = ab/(a+b)$. Tương tự như $ON = ab/(a+b)$, đáp số mở:

$$MN = \frac{2ab}{a+b}.$$

“Ivan Petrovich,” được gửi từ lớp, “Tôi đã thấy cách từ bài toán này bạn có thể tạo một bài toán mới.” Ghi chú sau đây xuất hiện trên bảng:

Bài toán 2. Chứng minh rằng trong một hình thang, đoạn thẳng song song với đáy, thuộc giao điểm của hai đường chéo và có hai đầu nằm trên các cạnh bên của hình thang thì tại điểm này được chia làm đôi.

“Tốt bài toán,” Ivan Petrovich nhún vai, “và bây giờ tôi sẽ thay đổi hình,” và anh ấy, tiếp tục các cạnh của hình thang cho đến giao điểm tại điểm $E$ (hình 2), vẽ một đường thẳng qua các điểm $O$ và $E$. Giáo viên chỉ định giao điểm của đường thẳng với các đáy là $F$ và $H$.

“Tôi thu hút sự chú ý ở trên,” anh ấy tiếp tục, “về điều này bài toán:

Bài toán 3. Chứng minh rằng trong một hình thang tùy ý thì trung điểm đáy, giao điểm các cạnh bên và giao điểm của hai đường chéo cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải đã xảy ra ngay lập tức: xét cho cùng, nó diễn ra sau bài toán trước đó, vì $EH$ là đường trung bình trong tam giác $EBC, EMN, EAD$.

“Đúng vậy,” Ivan Petrovich lưu ý. - Làm cách nào tôi có thể giải quyết bài toán này theo cách khác?

Chúng tôi đã lên kế hoạch…

• Vậy thì đây sẽ là bài tập về nhà của bạn. Tôi đề nghị: sử dụng một cái làm sẵn.

— Ivan Petrovich, tôi biết tại sao bạn chú ý đến bài toán này, bởi vì với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải quyết bài toán để xây dựng bằng một thước kẻ. Ví dụ: tại Olympic khu vực có bài toán:

Bài 4. Trên một đường thẳng có ba điểm A, B, C, trong đó B nằm giữa A và C. Qua điểm K tùy ý không thuộc đoạn AC, dùng 1 đường thẳng vẽ các đường thẳng song song với AC.

“Cũng tốt bài toán,” theo Ivan Petrovich, “nhưng chúng ta sẽ nói về nó vào lần tới và hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán phức tạp hơn:

Bài 5. Trên mỗi đường thẳng song song có một đoạn thẳng có độ dài a và b. Sử dụng một dòng, xây dựng một đoạn:

$$x = \frac{ab}{a+b}.$$

Bản thân chúng tôi sẽ không thể đối phó nhanh chóng nếu không có sự giúp đỡ của Ivan Petrovich:

— Chúng ta hãy tiếp tục các cạnh của hình thang ABCD có đáy là các đoạn a và b (hình 3) cho trước. Chúng ta ký hiệu giao điểm của các đường chéo AC và BD và các đoạn AB và DC là O và E. Vẽ đường thẳng EO cắt các đáy của hình thang tại các điểm F và H. Chúng ta nối các điểm D và F, A và F, B và H, C và H để thu được các điểm K và L. Đoạn KL là đoạn cần thiết.

Thật vậy, các tam giác BKF và AKH, CFL và LHD đồng dạng nên

$$\frac{BK}{KH} = \frac{BF}{AH}; \quad \frac{FL}{LD} = \frac{FC}{HD}.$$

Nhưng BF = FC và AH = HD (bài toán 2), nghĩa là

$$\frac{BK}{KH} = \frac{FL}{LD},$$

Do đó, đoạn KL song song với đáy BC và AD. Và vì điểm O thuộc đoạn KL và MK = KO, và OL = LN (bài toán 2), nên ta có

$$OL = \frac{1}{2} \frac{ab}{a+b}, \quad KL = \frac{ab}{a+b}.$$

— Và để hiểu rõ hơn những vấn đề như vậy, hãy làm điều tương tự ở nhà bài toán:

6. Các đoạn có độ dài a và b thuộc về một trong các đường thẳng song song và một đoạn có độ dài c thuộc về một đường thẳng khác. Dùng một đường thẳng vẽ một đoạn có độ dài x sao cho

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$

7. Các phân đoạn song song được đưa ra. Chia một trong số chúng làm đôi bằng cách sử dụng một dòng.

8. Sử dụng một dòng, chia hình thang thành hai hình có kích thước bằng nhau.

9. Cho hai đường thẳng song song. Vẽ đường thứ ba song song với dữ liệu qua điểm này bằng một đường.

10. Phóng to một đoạn thẳng nằm trên một trong hai đường thẳng song song sử dụng một đường thẳng gấp 2, 3, …, n lần.

11. Tìm một nửa, phần thứ ba, …, phần thứ n của đoạn đó.

“Và tất cả những bài toán này,” chúng ta hãy nhắc giáo viên, “được giải quyết với sự trợ giúp của bài toán đầu tiên mà chúng ta đã gặp hôm nay.”

• Ai nghĩ ra cái này bài toán?

“Tôi không thể cho bạn biết tác giả đầu tiên của bài toán,” Ivan Petrovich nói, “nhưng người ta biết rằng nó xuất hiện trong chuyên luận thế kỷ 12 của nhà toán học Ấn Độ Bhaskara “Vương miện của việc giảng dạy thiên văn” dưới dạng này:

Bài 12. Biết độ dài a và b của hai cây tre song song cắm thẳng đứng vào đất ở một khoảng cách đã biết, tính độ dài đường vuông góc với mặt đất vẽ từ giao điểm của các đoạn thẳng nối đầu thanh này với đế thanh kia và độ dài giữa đế của thanh này với đế của thanh.

• Và cuối cùng, - kết thúc dấu phẩy, mở rộng bảng bằng hình vẽ Ivan Petrovich (hình 4), - bài toán của chúng ta gắn liền với các bất đẳng thức: đoạn MN là một liên hình học

(Cuối cùng xem trang 35)