Урок одной задачи

Урок
одной задачи

И. А. КУШНИР

— Сегодня, — начал занятие математической кружка Иван Петрович, — наш урок посвящен одной задаче.
— Такая трудная? — удивились мы.
— Нет. Особенно этой задачи в том, что она помогет нам решить другие задачи. Вот ее условия:

Задача 1. В трапеции, основания которого a и b, проведена через точку пересечения диагоналей прямая, паралельная основанием. Надите длину отрезка этой прямой, отсекаемого от нее боковым сторонами.

Иван Петрович вызвал одного из нас к доске, и на доске появился чертеж (рис. 1). Мы сразу заметили подобие треугольников AMO и ABC, MBO и ABD и на доске написали формулы

$$\frac{x}{b} = \frac{h_2}{h}, \quad \frac{x}{a} = \frac{h_1}{h},$$

в которых $h, h_1, h_2$ — высоты треугольников ABD, MBO, AMO, а $x = MO$. Сложив эти равенства, мы получили

$$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{h_1 + h_2}{h} = 1,$$

то есть $x = ab/(a+b)$. Аналогично $ON = ab/(a+b)$, открываются ответы:

$$MN = \frac{2ab}{a+b}.$$

— Иван Петрович, — посылалось из класса, — я уже вижу, как из этой задачи можно составить новую задачу. На доске появился такая запись:

Задача 2. Докажите, что в трапеции отрезок прямой, паралельный основанием, которое принадлежит точка пересечения диагоналей и концы которого находится на боковых сторонах трапеции, делится в этой точке пополам.

— Хорошая задача, — пожвали Иван Петрович, — а теперь я изменю рисунок, — и он, продолжав боковые стороны трапеции до пересечения в точке $E$ (рис. 2), провел через точки $O$ и $E$ прямую. Точки пересечения прямой с основаниями учитель обозначил $F$ и $H$.

— Обращаю выше внимание, — продолжал он, — на такой задачу:

Задача 3. Докажите, что в произвольной трапеции середины основании, пересечение боковых сторон и пересечение диагоналей принадлежит одной прямой.

Решение получилось сразу: ведь оно следует из предыдущей задачи, так как $EH$ — медиана в треугольнике $EBC, EMN, EAD$.

— Правильно, — заметил Иван Петрович. — А как решить эту задачу другим способом?

Мы задумали…
— Тогда путь это будет ваша домашнее задание. Подсказываю: примените готовую.

— Иван Петрович, а я знаю, почему вы обращаете внимание на эту задачу, — ведь с ее помощью можно решать задачи на построение с одной линейкой. Вот, например, на районной олимпиде была такая задача:

Задча 4. На прямой даны три точки A, B, C, из которых В находится посредине между A и C. Через произвольную точку K, не принадлежащую отрезку AC, с помощью одной линиики проведите прямых, параллельных AC.

— Тоже хорошая задача, — согласно Иван Петрович, — но о ней мы поговорим в следующий раз, а сегодня рассмотрим более сложную задачу:

Задча 5. На каждой из двух параллельных прямых расположены по одному отрезки длиной a и b. С помощью одной линиики построить отрезок:

$$x = \frac{ab}{a+b}.$$

Сами мы бы быстро не справились, если бы не помощь Ивана Петрович:

— Продолжим стороны трапеции ABCD, у которой основания — заданные отрезки a и b (рис. 3). Точки пересечения диагоналей AC и BD и отрезков AB и DC обозначаим O и E. Проведем прямую EO, которая пересечет основания трапеции в точках F и H. Соединим точки D и F, A и F, B и H, C и H, получим точки K и L. Отрезок KL — искомый.

Дейстительно, треугольники BKF и AKH, CFL и LHD подобны, поэтому

$$\frac{BK}{KH} = \frac{BF}{AH}; \quad \frac{FL}{LD} = \frac{FC}{HD}.$$

Но BF = FC и AH = HD (задча 2), значит,

$$\frac{BK}{KH} = \frac{FL}{LD},$$

следоватьно, отрезок KL параллель основания BC и AD. А поскольку точка O принадлежит отрезку KL и MK = KO, a OL = LN (задча 2), получаем

$$OL = \frac{1}{2} \frac{ab}{a+b}, \quad KL = \frac{ab}{a+b}.$$

— А чтобы вы глубже разобрались в таких задах, дома сделайте еще и также задачи:

6. Отрезки длиной a и b принадлежат одной из параллельных прямых, а отрезок длиной c — другой из них. При помощи одной линиики построить отрезок длиной x, чтобы

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$

7. Даны параллельные отрезки. Разделите с помощью одной линиики один из них пополам.

8. С помощью одной линиики разделите трапецию на две равновеликие фигуры.

9. Даны две параллельные прямые. Проведите через данную точку третью прямую, параллельную данных, с помощью одной линиики.

10. Увеличите данный отрезок, лежащий на одной из двух параллельных прямых, с помощью одной линиики в 2, 3, …, n раз.

11. Найдите половину, треть, …, n-ю часть такого отрезка.

— И все эти задачи, — напомним учитель, — решаются с помощью той первой задачи, с которой мы познакомились сегодня.

— Кто же придумал эту задачу?

— Первого автора задачи я вам назвать не могу, — сказал Иван Петрович, — но известно, что она встречается в трактате XII века индиского математика Бхаскары «Венец астрономического учения» в таком виде:

Задча 12. Зная длины a и b двух параллельных бамбука, вертикально вткнутых в землю на известном расстоянии, вычислить длину перпендикуляра к земле, опущенного из точки пересечения прямых, соединяющих конец одной палки с основанием другой, и длины между основанием этого perpenдикуляра и основанием палок.

— И, наконец, — заканчивая запятые, развернуть таблицу с чертежом Иван Петрович (рис. 4), — наша задача связана с неравенствами: отрезок MN является геометрической интер-

(Окончание см. на с. 35)