Избранные школьные задачи

35

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. а) Пусть $a > 0, b > 0, c > 0$. Доказите неравенство
   $$abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).$$

6. Пусть $r$ и $R$ — соответственно радиусы окружности, описанной в треугольник, и окружности, описанной около него. Доказите, что $R \geq 2r$. Выясните, в каком случае это неравенство превращается в равенство.

2. Надите наименьшее значение многочлена
   $$x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x-1.$$
3. Доказите, что число $n^4+64$ является составным.
4. Доказите, что уравнение
   $$x^2+y^3+z^5=t^7$$
   иметет бесконечного много решений в натуральных числах.
5. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ даны точки $M$ и $N$ такие, что $AM:MB=BN:NC$. Пусть $Q$ — точка пересечения прямых $AN$ и $CM$. Доказите, что площадь четырехугольника $MBNQ$ равняется площади треугольника $ACQ$.

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x^2-yz=y-x, \\ y^2-xz=z-y, \\ z^2-xy=x-z. \end{cases}$$
7. Углы $A, B, C$ треугольника $ABC$ равны соответствию $\alpha, \beta, \gamma$; стороны, лежащие против соответствующих углов, равны $a, b, c$.
a) Доказите неравенство
$$a \cos \alpha+b \cos \beta \leq c.$$
6) Надите наименьшее значение произведения
$$\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$

Для каждого треугольника это наиболее значение достигается?
8. Найдите все целые $k$, при которых $k^5+3$ делится на $k^2+1$.
9. В треугольник $ABC$ описан треугольник $MNP$ ($M \in AB, N \in BC, P \in AC$) так, что сторона $MN$ перpendикулярна стороне $BC$, а сторона $MP$ перpendикулярна стороне $AC$. Найдите положение точки $M$ (на стороне $AB$), при котором сторона $PN$ будет наименьшей.
10. Доказите, что уравнение
$$x^{10}-x^7+x^2-x+1=0$$
не имеет решений.

Десять класс
11. Решите уравнение
$$x^2+2x \sin xy+1=0.$$
12. Вычислите сумму
$$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$$
13. Доказите равенство ($n \geq 2$)
$$tg x \cdot tg 2x+tg 2x \cdot tg 3x+\dots+tg(n-1)xtg nx=\frac{tg nx}{tg x}-n.$$
14. Решите уравнение
$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}-1=0.$$
15. На сторонах остроугольного треугольника, как на диаметрах, во внешнюю сторону постройки полукружности. Высоты треугольника продолжили до пересечения с построенными полукружностями, после чего эти точки пересечения соединили с ближайшими вершинами треугольника. Доказите, что из положившегося шестиугольника можно склить тетраэд.

В подготовке публикации использованы задачи, предложенные С.Р. Сефибековым, а также А. А. Егоровым, В. Н. Дубровским и Э. А. Ясиновым.

Урок одной задачи
(Начало см. на c. 23)
претающий среднего гармоничского чисел $a$ и $b$ (здесяв они основания трапеции). Отрезок $MN$ меньше отрезка $L_1L_2$ — среднего геометрического двух чисел, и, наконец, отрезок $MN$ меньше отрезка $L_5L_6$ — среднего квадратичного двух чисел $a$ и $b$ — отрезка, разбиающего трапецию на две равновеликие части и паралельного основания, то есть
$$\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$