Задачи Ленинградской городской олимпиады по физике

58

опущенного из $A$ на прямую $BC$, лежит на отрезке $BC$.

2. Марсинин рождает в полное и живетровно стукток. Известно, что за всю историю марсианской цивилизации (ныне вымершей) родилось нечетное число марсиан. Докажите, что было по крайней мере 100 дней, в каждой из которых число життелей Марса было нечетным.

3. В Швамбрании закрыли одну бесплатную авалилию. Известно, что после этого от любого швамбранского аэропорта до любого другого можно делать, быть может, с пересадками. До закрытия линии это можно было сделать, совершив не более чем $N$ посадок. Докажите, что теперь можно делать из любого аэропорта в любой другой не более чем $2N$ посадками. (При подсчете числа посадок учитывает и посадка в пункте назначения.)

4. Докажите, что на плоскости можно проведсти несколько прямых и отметить несколько точку так, чтобы на любой прямой лежалоровно 4 отмеченных точки и через каждую отмеченную точку прохождение былровно 4 прямых.

5. Имеется лист клетчатой бумаги размером: $a) 30 \times 45, 6) 30 \times 30$ клеток. Двое играют в следующую игру. За один ход (ходят по очереди) произвольятся разрез по линии, соединяющей два соседних узла сетки. Первый игрок начинает резать от края листа. Каждый следующий разрез должен продолжать линю, образованную предыдущими разрезами. Выигрывает игрок, после хода которого лист распадается на два куска. Кто выигрывает при правильной игре?

6. Множество $A$ состоит из вещественных чисел. Известно, что сумма любых двух его элементов также является его элементом, и любой отрезок $[a, b]$, $a < b$ содержит отрезок, целком состоящий из элементов множества $A$. Докажите, что $A$ содержит все вещественные числа.

7. Расмотрим следующий алгоритм:
   Шаг 0. Положить $n = m$.
   Шаг 1. Если $n$ четно, уменьшить $n$ в два раза. Если $n$ нечетно, увеличить $n$ на 1.
   Шаг 2. Если $n > 1$, перейти к шагу 1. Если $n = 1$, закончить выполнение алгоритма.
   Сколько существует натуральных чисел $m$, для которых при выполнении этого алгоритма шаг 1 будет выполнатьсяровно 15 раз?

8. Король обошел доску $9 \times 9$, повышавровно один раз на каждом ее поле. (Маршрут короля неамкнутый и, возможно, самопересекающийся.) Какова максимальное возможная длина такого маршрута, если длина хода по диагонали равна $\sqrt{2}$, а длина ходов по вертикали и по горизонтали равна 1?

9. Диаметром множества на плоскости называется наиболее израсстояний между двумя его точками. (Если такое существует.) Известно, что сумма диаметров многоугольников $M_1, M_2, \dots, M_n$ меньше, чем диаметр их объединения. Докажите, что существует прямая, не пересекающая ни один из этих многоугольников, по каждому сторону от которой лежит хотя бы один из них.

10. Докажите, что
    $$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{9997}+\sqrt{9999}} > 24.$$

11. Вычислите интеграл
    $$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^3+\sqrt{1+x^6}}.$$

12. Дано: $u_1=ax+by+cz, v_1=ax+bz+cy, u_2=ay+bz+cx, v_2=az+by+cx, u_3=az+bx+cy, v_3=ay+bx+cz,$ где $a, b, c, x, y, z$ — вещественные числа. Известно, что $u_1u_2u_3=v_1v_2v_3$. Докажите, что перестановкой чисел в тройке ($u_1, u_2, u_3$) можно получить тройку ($v_1, v_2, v_3$).

Публикацию подготовил С. В. Фомин

Задачи Ленинградской городской олимпiadы по физике

8 класс

1. Определите радиус орбиты спутника Земли, который все время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Радиус Земли $R=6400$ км,ускорение свободного падения на ее поверхности $g=10 \text{ m/c}^2$.

2. На наблюдаемый станции на планете $X$ местное солнечноеникогда не поднимается над горизонтом выше $a=75^\circ$. Найдите шпроту, на которой находится станция, если ось пламенты наклонена под углом $\beta=50^\circ$ к плоскости ее вращения.

3. Чтобы вытащить пробку из горышка термosa, вы втыкаете в нее шпило (рис. 1). Под каким углом можно втыкать шпило, не опасаться, что пробка провалится внутри термosa? Коэффициент треня о стенки $\mu=0,5$.

Рис. 1.

4. На краю тележки массой $M$ и длиной $l$, стоящей на гладком горизонтальном столе, находится груз массой $m$. Вы толькоете груз с постоянной силой $\vec{F}$, направленной горизонтальной, к противоположному краю тележки (рис. 2). Через какое время груз достигнет противоположного края тележки? Коэффициент треня между грузом и тележкой $\mu$. Считать, что все масса тележки сосредоточена в доске.

Рис. 2.

5. Два велосипеда — складной и обычный — выполнен так, что усилия, необходимые для движения, в общих случаях одинаковы. Известно, что у обычного велосипеда радиус колес в 1,2 раза, а радиус колевой шестерики (связанной с передами) в 1,5 раза больше, чем у складного. Найдите соответствие между радиусом колесом и общих велосипедов, потеряями на внутреннее трене претензь.

6. На гладкой наклонной плоскости с углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту установлен устойчиво, стрелляющее маленьким шариком. Началь-

59

ная скорость шарика направлена горизонтально вдоль плоскости. По плоскости свободно скользит шайба. Ее положение относительно стрелляющего устройства в момент вылета шарика показано на рисунке 3; скорость $v_0 = 10$ м/c и направлена под углом $\beta = 60^\circ$ к горизонтали. Какую начальную скорость должен иметь шарик, чтобы попасть в шайбу?

Рис. 3.

7. Автомобиль едет по месту, имеющему форму парабольы. Высота места $h = 5$ м, длина по горизонтали $l = 60$ м. Найдите относение силы давления автоматически на дорогу на вершине места к его весу наровной дороге, если по месту он едет с постоянной скоростью $v = 54$ km/ч.

8. Система из трех одинаковых сосудов показана на рисунке 4. Два крайних сосуда заполнены водой, в среднем сосуде и в трубке — воздух, высота левого колена трубки в 3 раза меньше высоты сосудов $H$. Начальное давление в среднем сосуде $p_0 \gg qgH$ (q — плотность воды). В какое состояние перейдет система после открывания крана?

Рис. 4.

9 класс

1. Легкая пружина длиной $l$ с жесткостью $k$ одним концом прикреплена к вертикальной оси, вокруг которой может свободно врашаться, а другим — к маленьому грузу массой $m$. Вся система нахождения на горизонтальном гладком столе, пружина не растянута. Грузу ударом сообщают скорость $v$, направленную перпендикулярно пружине. Найдите минимальное и максимальное расстояние груза от оси.

2. См. задачу 7 для 8 класса.

3. Если столкнуть два стеклянных шара, то один из них разобется. Почему не разбиются сразу оба шара?

4. В ванчине с водой (глубина воды $h$, площадь ванчники $S$, $\sqrt{S} \gg h$) образоваляется расторженныхонов (заряд она +q, масса $m$, масса всехонов $M$). Растор перемешали. Опишите качественное и дайте количество оценки распределенияонов в ванчке после установки равновесия. Как это распределение зависит от температуры расторга?

5. В кастрюле находит вода при температуре $t_1 = 60^\circ$ С. Кастрюлю закрывают крышкой массой $m = 5$ кг и площадью $S = 100$ см² и медленно нагревают до $t_2 = 70^\circ$ С. Сколько раз подрыгнет крышка кастрюли за это время, если давление насыщенных паров при $t_1$ равно $p_1 = 2,0 \cdot 10^4$ Па, при $t_2 = 3,1 \cdot 10^4$ Па, атомсферное давление $p_0 = 10^5$ Па.

6. В большую точку с водой бросают раскаленные металлические шарики одинаковой температуры. Известно, что шарик радиусом $r_1 = 0,5$ см нагревается вода на $\Delta t_1 = 0,1^\circ$ С, а радиусом $r_2 = 1$ см — на $\Delta t_2 = 1,2^\circ$ С. Оцените изменение температуры воды при броске шарика радиусом $r_3 = 1,5$ см.

7. В схеме, изображенной на рисунке 5, на металлическом шаре $A$ имеется заряд $q$. Каким будет заряд на шаре, если поменять местами резисторы с сопротивлениями $r_1$ и $r_2$?

Рис. 5.

10 класс

1. См. задачу 1 для 9 класса.

2. Тонкую легкую резину натянули на горизонтальной обручу радиусом $r$; в центре обруча к резине прикрепили маленькую гирю массой $m$. Если обруч поднять, гиря опустится в расстояние $d (d \ll r)$. Оцените величины перiodа малых горизонтальных колебаний гирю при закреплении на горизонтальном гладком столе обручу (прогиба нет).

3. См. задачу 4 для 9 класса.

4. В кристалле существует виделенная ось $X$, вдоль которой уделяя проводимость равна $\sigma_1$ (то есть если вырезать из кристалла прямой провод с осью, параллельной оси $X$, то сопротивление такого провода будет равен $R = l / (S\sigma_1)$, где $l$ и $S$ — длина и площадь сечения провода). Удельная проводимость по осям $Y$ и $Z$ равна $\sigma_2$, $\sigma_2 \neq \sigma_1$. Чему будет равна удельная проводимость прямого провода, вырезанного из этого кристалла под углом $a$ к оси $X$?

5. Квадратная проводочная рамка (длина стороны $a$, сопротивление единиц длины проводки $q$) выражается вокруг одной из своих сторон с угловой скоростью $\omega$ в постоянном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перpendикулярной оси врашения. Как изменится мощность, выделяемая в рамке, если средины противоположных сторон замкнуты проводкой из того же материалов и длиной $a$?

6. У электромобиля четырехости, переключающей при помощи коробки передач (то есть двигатель может быть соединен с колесами с четырьмя разными коэффициентами передачи). Рекомендаемые скорости, при которых следует изменить коэффициент передачи (для того чтобы двигатель потреблял минимальную мощность), также: 10 км/ч, 20 км/ч, 45 км/ч. Максимальное скорость электромобиля 180 км/ч. Найдите соответствие между коэффициентами передачи (то есть между радиусами шестеренок, соединенной двигацией с колесами) на различных скорости. Для простоты можно считать, что в двигатель электромобиля потор вращается в постоянном магнитном поле.

7. Как бы мы стали видеть, если бы скорость света возросла в 10⁵ раз?

Публикацию подготовил А. Ю. Алексеев