Bài toán Olympic Toán học Thành phố Moscow XLIX

57

Nhiệm vụ XLIX của Olympic Toán học Thành phố Moscow

Vòng chung kết Olympic Toán thành phố Moscow lần thứ 49 diễn ra vào ngày 16/2 tại Đại học Moscow. 608 học sinh từ lớp 7–10 đã tham gia. Dưới đây là bài toán của vòng này, được đề xuất bởi S. B. Gashkov, M. Pentus, A. V. Ryabinin, N. N. Sergeev, N. G. Tsarkov.

lớp 7

1. Một hình tứ giác được vẽ trên mặt giấy chuyên nghiệp. Hãy cho cách gấp tờ giấy này lại (có thể gấp nhiều lần) để xác định xem tứ giác ban đầu có phải là hình thoi hay không.

2. Chứng minh rằng không có số x, y, t nào có thể đồng thời có ba bất đẳng thức: |x| < |y-t|, |y| < |t-x|, |t| < |x-y|.

3. Ba chú lùn sống ở những ngôi nhà khác nhau trên một chiếc máy bay và đi bộ với tốc độ lần lượt là 1, 2 và 3 km/h. Họ nên chọn địa điểm nào cho các cuộc họp hàng ngày sao cho mỗi chú lùn đi từ nhà đến nơi này (theo đường thẳng) là ít nhất?

4. Tích của một số số tự nhiên 1986 có đúng 1986 thừa số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng một trong các số này hoặc tích của nhiều số đó là bình phương của một số tự nhiên.

5. Được biết, trong một ổ khóa mã chỉ có chìa khóa có số 1, 2, 3 là đúng, còn mã của ổ khóa này là ba chữ số và không chứa các số khác. Viết một dãy các chữ số có độ dài ngắn nhất để chắc chắn mở được ổ khóa này (khóa sẽ mở ngay khi nhấn cả ba chữ số của mã của nó liên tiếp và theo đúng thứ tự).

lớp 8

1. Xem bài toán 1 cho lớp 7. với hình thoi được thay thế bằng hình vuông.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn dưới dạng hiệu các bình phương của các số tự nhiên.

3. Chứng minh rằng nếu $a_1 = 1$, $a_n = 1/2 (a_{n-1} + 2/a_{n-1})$ cho $n = 2, \dots, 10$ thì $0 < a_{10} - \sqrt{2} < 10^{-370}$.

4. Cánh đồng hình vuông được chia thành 100 phần giống hệt nhau, 9 phần trong số đó cỏ dại mọc um tùm. Được biết, trong năm Buryan lan sang những khu vực đó và chỉ những khu vực đó, mỗi khu vực có ít nhất hai khu vực lân cận đã bị ảnh hưởng bởi Buryan (các khu vực liền kề nếu có một mặt chung). Chứng minh rằng toàn bộ sân không chứa Buryan.

5. Chứng minh rằng hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} |x| > |y-z+t|, \\ |y| > |x-z+t|, \\ |z| > |x-y+t|, \\ |t| > |x-y+z| \end{cases}$$
   không có lời giải.

lớp 9

1. Các điểm A, B, C, D được đánh dấu trên mặt giấy. Nhận biết thiết bị có thể thực hiện hai loại thao tác với độ chính xác tuyệt đối: a) đo khoảng cách tính bằng centimét giữa hai điểm cho trước; b) so sánh hai số đã cho. Hỏi thiết bị này cần thực hiện ít nhất bao nhiêu phép tính để xác định chắc chắn tứ giác ABCD có phải là hình chữ nhật hay không?

2. Một con kiến ​​bay từ điểm M dọc theo một mặt phẳng với vận tốc không đổi. Đường đi của nó được biểu thị bằng một hình xoắn ốc, được quấn quanh điểm O và được chuẩn bị trên một số phần của nó so với điểm này. Một con kiến ​​có thể đi hết đường đi của nó trong một thời gian hữu hạn không?

3. Giải hệ bất phương trình
   $$\begin{cases} |x| < |y-z+t|, \\ |y| < |x-z+t|, \\ |z| < |x-y+t|, \\ |t| < |x-y+z|. \end{cases}$$

4. Tích của 48 số tự nhiên có đúng 10 thừa số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng tích của một số tứ giác ABC được kéo dài đến giao điểm ở D với đường tròn ngoại tiếp của nó. Chứng minh rằng AD > 1/2 (AB + AC).

5. Các đường tròn có bán kính 1/14 được vẽ trên mặt phẳng tọa độ với tâm tại mỗi điểm mà cả hai tọa độ đều là số nguyên. Chứng minh rằng mọi đường tròn bán kính 100 sẽ cắt ít nhất một đường tròn đã vẽ.

lớp 10

1. Xem bài toán số 1 cho lớp 9. với đường thẳng ABCD được thay thế bằng hình vuông.

2. Các bissertis của góc A của tam giác ABC được kéo dài đến giao điểm tại D với đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng AD > 1/2 (AB + AC).

3. Giải phương trình $x^4 = 4(x > 0)$.

4. Chứng minh rằng không có vectơ a, b, c nào có thể thỏa mãn đồng thời ba bất đẳng thức
   $$\sqrt{3}|a| < |b-c|, \sqrt{3}|b| < |c-a|, \sqrt{3}|c| < |a-b|$$

5. Tìm giá trị nhỏ nhất trên mọi a, β của giá trị lớn nhất của hàm số
   $$y(x) = |\cos x + \alpha \cos 2x + \beta \cos 3x|.$$

Yêu thích bài toán
Olympic Toán thành phố Leningrad

Vòng chung kết (theo truyền thống - truyền miệng) của Olympic Toán thành phố Leningrad diễn ra vào ngày 16/2. Nhiệm vụ 1-4 và 5) nằm trong số 7 bài toán giao cho học sinh lớp 10, nhiệm vụ 1, 2, 6-8 - dành cho học sinh lớp 9, nhiệm vụ 56), 9-12 - dành cho học sinh lớp 10. Nhiệm vụ được đề xuất bởi các đa thức số nguyên S. Genkin, A. Golberg, L. Kurlyandchik, A. Merkuryev, N. Nechetaev, A. Plotkin, D. và S. Fomin.

1. Chứng minh rằng trong mọi đa giác đều có cạnh BC và đỉnh A khác B và C, đồng thời là đáy của đường vuông góc,